PM紧邻极值Brick

图G中所有完美匹配的关联向量,通过整数线性组合形成的空间,称为图的匹配格.若匹配覆盖图满足G完美匹配数等于匹配格的维数,则称其为匹配覆盖极值图.当图任意去掉两个点不交的匹配交错圈后,剩下的图无完美匹配,则称该图满足PM紧邻.本文证明了所有极值brick均为PM紧邻.     

一类乘积图的Pfaffian性

给图G的边任意一个定向,如果该有向图对应的斜邻接矩阵的行列式等于图G的完美匹配数的平方,那么就称这个定向是Pfaffian定向,图G称为Pfaffian图.研究Pfaffian图的意义在于它的完美匹配数能在多项式时间内得到.该文通过证明给出的定向是Pfaffian定向的方法证明了一类偶剖分图与三个顶点的路的乘积图是Pfaffian图.     

4元n方体的匹配图的若干性质

一个图G的匹配图M(G)的顶点集是G的所有完美匹配的集合,两个顶点相邻当且仅当对应的两个完善匹配的并构成G的一个Hamilton圈.文章给出了4元n方体Qn4的匹配图M(Qn4)的一些性质.     

一类无三角正则图的性质

图为无三角正则图,它满足不相邻的顶点恰有两个公共相邻顶点.先从代数的角度去研究它的特征值,得到了它的顶点个数只能取一些特殊的整数,然后证明了其点连通度与边连通度相等,而且存在完美匹配,最后猜想:(1)x(G)=x'(G)=k;(2)图G是Hamilton图.     

饱和二部图

没有完美匹配的二部图G,若给它任意增加一条新的边,结果得到的二部图有完美匹配,则称图G是饱和的.设X(∈)V(G),T(X)表示V(G)中与X中至少一个顶点相邻的所有顶点组成的集合.本文证明了一个二部图G=(U,W)是饱和的当且仅当(a)存在唯一X(∈)U,使得|X|＞Γ(X)|,|X|-1＞|Γ(X)|且G的导出子图G[X∪Γ (X)]是完全二部图;(6)G的导出子图G[(U-X)∪(W-Γ(X))]是完全二部图,且满足|U-X|+1=|W-Γ(X)|;(c)U-X中每个顶点与W中的每个顶点都相邻,且X∪(W-Γ(X))是图G的一个独立集.     

关于偶匹配可扩图中删去两个点

设G是含有完美匹配的简单图.称G是偶匹配可扩的,如果G中导出子图是偶图的匹配M都可以扩充为G的完美匹配.研究了在偶匹配可扩图中删去两个顶点后该图的性质.这些性质对于偶匹配可扩图的进一步研究会有帮助.     

Kneser图KG(11,5)平方图的色数

Kneser图KG(n,k)的顶点集包括一个n元集的所有k元子集,其中的任意两个顶点相邻当且仅当它们对应的子集不相交.一个图G的平方图G2的顶点集与G的顶点集相同,在G2中两个顶点之间有边当且仅当它们在G中的距离不超过2.通过理论分析和计算机搜索,得到8≤χ(KG2(11,5))≤10,10≤χ(KG2(13,6))≤16,其中前一个结论改进了已知的下界7和上界12.     

多部图的导出匹配可扩性

k-部图G指图的顶点集V(G)被剖分成k个子集,使每一条边所关联的两个顶点不在同一个子集之中.主要研究了完全多部图的导出匹配可扩性,给出了完全多部图是导出匹配可扩图的充要条件.     

图乘积的分数色数

在文中我们对两个图的强乘积的分数色数进行了研究.任意给定两个图G和H,我们证明了ω(G)ω(H)≤χf(GH)≤χ(G)χ(H),这里ω(G)表示图G的最大团所含顶点的个数,χf(G)和χ(G)分别表示图G的分数色数和色数.从而我们可以通过图G和H本身的性质来对它们的强乘积的分数色数和色数进行估计.     

饱和二部图

没有完美匹配的二部图G,若给它任意增加一条新的边,结果得到的二部图有完美匹配,则称图G是饱和的.设X包含于V（G）,Γ（X）表示V（G）中与X中至少一个顶点相邻的所有顶点组成的集合.本文证明了一个二部图G=（U,W）是饱和的当且仅当（a）存在唯一X包含于U,使得X〉Γ（X）,X-1〉Γ（X）且G的导出子图G[X∪Γ（X）]是完全二部图;（b）G的导出子图G[（U-X）∪（W-Γ（X））]是完全二部图,且满足U-X＋1=W-Γ（X）;（c）U-X中每个顶点与W中的每个顶点都相邻,且X∪（W-Γ（X））是图G的一个独立集.     

结合图的导出匹配可扩性

简单图G和H的结合图G[H]的顶点集为V(G)×V(H),其中(u,v)和(u′,v′)相邻的充分必要条件是:或者uu′∈E(G)或者u＝u′并且vv′∈E(H).研究了结合图G[H]的导出匹配可扩性,证明了若G和H是非平凡图,G是连通图,且G和H满足下列条件之一,则G[H]是导出匹配可扩的:(1) G和H中有一个是导出匹配可扩的;(2) G和H都有完美匹配;(3) G和H中一个有完美匹配,另一个有几乎完美匹配.     

关于非广义多边形路的2连通简单MCD图

令Sn是具有n个顶点没有两个等长圈的简单图的集合,若Sn中不存在图G′使│E（G′）│＞│E（G）│,则称图G是简单MCD图,若简单MCD图G是2连通的,则称G是2连通简单MCD图,若G中一条路P的两个内点u都有dG(v)=2,则称P为G的简单路,一个2连通可平面图G称为广义多边形路,如果用下述方法得到图G是路,对应于G的每个内部面f(G-是G的平图）有一个G＊的顶点f*,G*的两个顶点f*和g*,在G＊中相邻当且仅当G－中相应的两个内部面的边界交于一条G－的简单路,作者证明了下述结果,当且仅当n∈{10,11,14,15,16,21,22}时,存在n个顶点的非广义多边形路的2连通简单MCD图。     

关于几乎k-可扩图的若干结论

设G是具有奇数个顶点的图,k是非负整数且满足V(G)≥2k+1,若G中任意一个k-匹配都可以扩充为G的一个几乎完美匹配,则称G是几乎k-可扩图.文中证明了连通的几乎1-可扩图与2-连通的几乎k-可扩二部图分别添加一个新边后仍保持原来的可扩性.     

关于n-可扩图的一些新充分条件

若图G包含一个经过G的每个顶点的圈,则称图G为Hamilton图.若一个连通图G有n条独立边,且任意n条独立边都可扩展为G的完美匹配,则称G为n-可扩图.利用判别Hamilton图的Fan-型条件和Chvatal-Erdos型条件,分别得到两个新的判别n-可扩图的充分条件.     

广义棱柱和补棱柱中的超欧拉图

对于一个图G,它的顶点标号为1,2,…,n,S_n是在{1,2,…,n}上的n次对称群,α∈S_n是一个置换,图G的α-广义棱柱,记作α(G),是指图G的2个复制,G_x和G_y,连同所有置换边(x_i,y_(α(i))(1≤i≤n)所构成的图.图G的补棱柱,记作G G,同构于由G和G的补图G的不交并,再加上一个连接G和G对应顶点的完美匹配构成的图.如果图G有一个生成欧拉子图,那么称G是超欧拉图.研究了完全二部图、路和圈的广义棱柱和补棱柱是超欧拉图的充要条件.     

一类单圈图的度基尔霍夫指数

设G是简单连通图,顶点集为V(G).图G的度基尔霍夫指数定义为图G中所有顶点对的度与顶点之间的电阻距离乘积的和.棒棒糖图Ln,k是路Pn-k的一个端点连接到圈Ck的一个顶点得到的一类特殊的单圈图.给出首先给出Ln,k的度基尔霍夫指数计算公式,然后刻画了相应的极图.     

圈的膨胀图的关联色数

图G膨胀图是指将G的每一个点都用一个完全图替换,且取代两个不同顶点u和v的完全图上的两点相邻当且仅当u和v是相邻的;若取代每个顶点的完全图都是同阶的,则称此膨胀图为一致的.证明了圈的一致膨胀图的关联色数不超过Δ(G) 2.     

一类整和图

一个图G称为整和图,若它有一组互异的整数标号f,使得G中任意两个不同点u、v,uv是G中的一条边当且仅当f(u) f(v)=f(w)(其中w是G中的一点).一个图称为星和图,若它不含与其它顶点都邻接的顶点且有一组整和标号含有负标号和唯一绝对值最大点.广义星是将星的每一边都扩展为一条路的图.粘合是将两个图G1、G2中的各一个点r1、r2合为一个点r的运算.该文考虑了一类新图——星和图与广义星的粘合图,证明了它的整和性.     

变换图G++-的连通度

本文所研究的图G的变换图G++-是以V(G)∪E(G)作为顶点集的图,它的两个顶点u与v被一条边连接当且仅当下列情形之一成立:(ⅰ)如果u,v∈V(G),那么它们在G中邻接.(ⅱ)如果u,v∈E(G),那么它们在G中邻接.(ⅲ)如果u与v一个属于V(G)而另一个属于E(G),那么它们在G中不关联.文章给出了变换图G++-的连通度的一个下限.     

两个图的Corona乘积图的完整度研究

图的完整度／（c）是表示网络的可靠性的重要度量之一。定义为：（G）=mintlsI＋（G—s）}。这里/s/和r（G—s）分别表示图G的顶点集V（G）的子集所包含的点数和G—S的最大连通分支所含的点数。在本文中我们确定了两个图的Corona乘积图和边Corona乘积图的完整度。