关于微分多项式的一个结果

设f(z)是复平面内亚纯函数,本文关于函数Ψ=M[f]Q_1[f]+Q_2[f](其中M[f]是f的微分单项式,Q_1[f]和Q_2[f]都是f的微分多项式)得到了一个较好的不等式.     

一类微分多项式的值分布问题

设f是非常值亚纯函数,讨论了形如F=fn1M[f]+an-1fn-1+…+a0的f的微分多项式的值分布问题,其中an-1 0,M[f]=(f′)n1(f″)n2…(f(k))nk,且n1>1。     

一类微分方程无亚纯函数解

本文推广了华歆厚关于微分方程q(f)P[f] c=0的一个结果,这里q(f)为f的小函数系数多项式,P[f]为f的小函数系数微分多项式,c(z)0为f的小函数,证明这个方程在开平面上无亚纯函数解.     

关于整函数微分多项式的几个结果

设f为超越整函数,本文对于形如f~nQ_1[f] Q_2[f](这里Q_1[f]、Q_2[f]为f的微分多项式)的函数,改进了W.Doeringer、仪洪勋等人的结果。     

涉及微分多项式的亚纯函数的正规族

研究了亚纯函数涉及微分多项式的正规族,证明了:设F为单位圆盘△上的一族亚纯函数,k,n,g为正整数,P(w)=wq+aq-1(z)wq-1+…+a1(z)w是多项式.并且设H(f,f',…,f(k))是不含常数项的微分多项式,a,b为任意的2个非零复数,若对任一f∈ F,f的零点重数≥k+1,极点重数≥2,并且p(f(k))+H(f,f',…,f(k))=a→f(z)=b,则F在单位圆盘△上正规.     

一类亚纯函数多项式的值的分布

设f(z)是复平面上的亚纯函数,P[f]是f的n次常系数多项式,Q[f]是f的微分多项式,满足-N(r,f) -N r,P′1 Q=S(r,f),其中Q[f]的次数vQ≤n-2,本文考虑P′[f] Q[f]的值分布,推广了Hayman K W,Clunie J,Wues E等人关于整函数的结果,进一步改进了张占亮和李伟等人的相关研究结果.     

涉及微分多项式的亚纯函数的正规族

研究了亚纯函数涉及微分多项式的正规族,证明了:设F为单位圆盘Δ上的一族亚纯函数,k,n,q为正整数,P(w)=wq+aq-1(z)wq-1+…+a1(z)w是多项式。并且设H(f,f′,…,f(k))是不含常数项的微分多项式,a,b为任意的2个非零复数,若对任一f∈F,f的零点重数≥k+1,极点重数≥2,并且p(f(k))+H(f,f′,…,f(k))=a f(z)=b,则F在单位圆盘Δ上正规。     

矩阵环的欧拉恒等式与标准多项式恒等式

Szigeti-Tuza和Revesz使用Swan图论定理构造了n×n矩阵环Mn（C）的欧拉恒等式[1].本文中证明这些恒等式可由标准多项式生成,即：若欧拉图Γp,q从某顶点t到u（t,u可为同一点）至少有n条边,则该欧拉图对应的欧拉多项式fΓp,q（X）可由标准多项式Sn（X）生成.该结果不仅推广了Chang[2]和Giambruno-Sehal[3]的结果,而且找到由欧拉恒等式生成的T-理想的一个有限生成集.     

涉及微分多项式的亚纯函数正规性

研究了涉及微分多项式的亚纯函数的正规性.继承Schwick的思想将正规族与分担值联系起来,对一族亚纯函数中函数与该函数微分多项式分担值的情况进行研究,得出亚纯函数的正规性.已知定理:设F为区域D上的全纯函数族,k为正整数,a,b,c和d为有穷复数,b≠0,c≠0且b≠a,若对f∈F,f-d的零点重级至少为k,f=0f(k)=a且f(k)=bf=c. 则F在D上正规.本文将这个定理推广到亚纯函数情形,并且将f(k)用f的微分多项式来代替,结论仍成立.     

多项式代数上的微分理想

设k[x]是特征为零的域k上的一元多项式环.研究了k[x]上带权的非零单项式微分算子对应的微分理想的性质,利用矩阵求最大公因式的方法,确定了由一个多项式生成的微分理想作为通常意义上的理想时的生成元.     

涉及微分多项式的亚纯函数的正规族

设F是区域D内的一族亚纯函数,k,m,q是正整数,P(ω)=ωq+aq-1(z)ωq-1+…+a1(z)ω是一多项式,H(f,f′,…,f(k))是满足γH*0的微分多项式,a(z),b(z),c(z)是区域D内的解析函数,且a(z)≠b(z),c(z)≠0.若对于任意的f∈F,f的零点的重数至少是k+1,且有(1)P(f(k)(z))+H(f,f′,…,f(k))=a(z)时,f(z)=0;(2)P(f(k)(z))+H(f,f′,…,f(k))=b(z)时,f(z)=c(z),则F在D内正规.     

涉及重级零点和分担值的亚纯函数的正规定则

设F是区域D内的一族亚纯函数,k,m,q均为正整数,P(w)=wq+aq-1(z)wq-1+…+a1(z)w,H(f,f′,…,f(k))为f的微分多项式且满足γH*0;a(z)≠0,b(z)≠0为区域D内的解析函数,任意的f∈F的零点重级至少为k+1且满足f(z)=a(z)当且仅当P(f(k)(z))+H(f,f′,…,f(k))=b(z),则F在D内正规.     

亚纯函数系数的高阶微分方程的解与其小函数的增长性

研究了高阶线性齐次微分方程f(k)+Ak-(1z)f(k-1)+…+A(1z)f’+A(0z)eazf=0解的增长性,其中,A(jz)堍0是亚纯函数,σ(A)j<1(j=0,1,2,…,k-1),a为非零复常数,得到了方程解的一阶导数、二阶导数、微分多项式与小函数之间的关系。     

一类带滞量的微分方程解的表达式

讨论了方程anx( n) ( t) +an-1x( n-1) ( t) +… +a0 x( t) +b . x( t-μ) =f ( t)的解的一些表达式 ,其中 f ( t)是 k次多项式 .获得了更一般的结果 .     

微分方程超越整函数解的增长

本文中我们讨论了下面的非线性代数微分方程P(z,f,f',…,f^(n))=O的整函数解的增长，其中n≥1是整数，p(z1,z2,…,zn 2)是一个多项式．紧接着我们将证明，如果p满足某些条件，则上述方程的超越整函数解具有无穷级。     

半正定多项式的构造与逐次差分代换的加速

给出了若干构造半正定多项式的类型和方法,列举了大量问题和例子,并给出了部分解答;提出了解决扩展级递增不等式猜想的一个思路,把多项式f分成正部p(f)和负部n(f)两部分,并用p(f)和n(f)构造了若干逐次差分代换sds的加速因子,从而解决了一大类多项式的正性判定问题.     

亚纯函数正规族的进一步结果

设F是域D内的亚纯函数族,k,n（n≥k+2)是正整数.设a≠0是有限复数.如果对任意f∈F,f的零点重级至少为n,且对F中的任何函数对f与g满足G(f)与G(g)在D内分担b,其中G(f)=P(f(k))+H(f)是f的微分多项式,那么F在D内正规.     

有限伪反射群的二维不变式

设F是特征数为0的域,V是F上的n维向量空间,G是作用在n维向量空间V上的有限伪反射群,F[V*]G是由n个代数无关的齐次不变式f1,f2,…,fn在F上生成的多项式代数.在有限伪反射群的一般不变式理论的基础上,求出了G的二维不变式环F[2V*]G的一组基本不变式,f1(x1,x2,…,xn),f2(x1,x2,…,xn),…,fn(x1,x2,…,xn),f1(y1,y2,…,yn),f2(y1,y2,…,yn),…,fn(y1,y2,…,yn),这里F[2V*]=F[x1,x2,…,xn;y1,y2,…yn].并给出了F[2V*]G的基本不变式和有限伪反射群G之间的关系.     

高阶线性齐次微分方程的解与其小函数的增长性

研究了高阶线性齐次微分方程f（k）＋Ak-1（z）（k-1）＋Ak-2（z）f（k-2）＋……A2（z）f＂＋A1（z）f＇＋A0（z）e az f=0解的增长性,其中Aj（z） 0是亚纯函数,σ（Aj）〈1（j=0,1,2,…,k-1）a为非零复常数,得到了方程解的一阶导数、二阶导数、微分多项式与小函数之间的关系．     

关于Dickson多项式的不动点问题

设,p>3是素数,证明了,当p(?)±1(mod5)或p(?)±1(mod7),且p(?)±1(mod8)或p≡11(mod30),等等,均存在有限域F_p上的d次置换多项式g_d(x,1),使其恰有5个不动点0,±1,±2,并由此提出一个猜想.此结果在运用置换多项式g_d(x,1)构造RSA公开密钥码体制的研究中,有重要意义.