数学思维的基本修养

对于数学教育,钱学森同志曾指出:“今天,数学的应用已不限于自然科学了。大家都知道,马克思在《资本论》中就用到了数学,所以一切科学技术都要用到数学,数学应该称为数学科学,数学科学是现代科学技术的一个大部分”。同时还指出:“数学科学是很重要的,而且现在数学科学正面临着一个很大的发展,所以我谈数学科学一定要看到二十一世纪”.1935年12月15日,Whitehead在哈佛大学讲了这样一段话:“鉴于供数学研究的范围无限广阔,这门科学即使是现代数学,也还是处于婴儿时期,如果文明继续进步,在今后     

自然科学学科发展战略研究报告之七：数学

数学发展的特点和趋势数学是研究现实世界中的空间形式和数量关系的一门科学。随着科学技术的发展,“形”与“数”这两个概念已不限于原来比较直观和狭隘的理解,而有了更普遍、更深刻的含义。可以说数学是关于模式和秩序的科学。数学不断从客观世界中,从数学以外的各个领域抽取事物间相互依存的形式和量的关系加以概括,抽象成为各种数学问题,运用已有的知识积累,找出其中的规律性。同时,数学作为一门科学,在长期发展的过程中形成了     

伽利略《关于两门新科学的对话》中的无限观念

探讨了在《关于两门新科学的对话》中伽利略对无限量及其与有限量之间关系的论述,认为伽利略的无限观念由4种见解构成:(1)物质是由无限多的不可分的原素构成的;(2)由连续可分量到无限不可分量的转换不是通过分割,而是通过数学技巧去把握;(3)单独的不可分量亦等于无限多的不可分量;(4)通常对有限量适用的性质不能用于无限量.这些讨论体现和代表了伽利略关于"新科学"的研究思路和方法,更是后来一些数学思想的早期萌芽和雏形.伽利略对于无限问题的关注也和他的科学研究目的有关,即追求对自然本质的真理性描述.     

破0科学

早年对数学上1／0=不存在，总感到不满，但多次思考，都毫无办法。很久之后，在一次研究另外科学的时候，突发奇想，利用科学的对称性，解决了这一问题，打开了数学的无限空间。     

视觉空间的整体结构

本书是新加坡世界科技出版公司出版的《数学心理学高级丛书》的第1卷。大多数的动物在来回移动时通过视觉获得信息来控制身体，人类也不例外。感知空间是人类逻辑思维的起点，但是“零”与“无限”的概念却超越了我们的感知经验。位置记数法“零”是印度的一个发明，表明不存在；但是数学家对“零”的概念是为了说明不存在什么。“零”就必须存在；而“无限”的概念则更加令人难以捉摸。     

朱梧檟的数学思想

从“中介原则”、“连续统假设相对于一般集合论系统的不可确定性”、“量性对象的可考察性”、“悖论研究”、“数学无限与哲学无限”、“概括原则与多值逻辑系统的不相容性问题”、“数理逻辑及其学科归属”、“数学研究的艺术”、“数学教育中的远见卓识”等九个方面简单评述了数学家朱梧的数学思想。     

遐想无限

人真的很聪明，很早就创造出“无限”这个概念。庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”可谓经典名句，寥寥数语一下子道出了两个“无限”，即空间的无限和时间的无限。没有“无限”，还真不知道学问该如何做下去。人们一直相信“无限”的存在，几千年来，无限的空间和无限的时间一直就是哲学的基础。     

最小数原理——数学归纳法的理论依据

归纳法和演绎法都是重要的数学方法,归纳法中完全归纳法和演绎法都是逻辑方法;不完全归纳法是非逻辑方法。只适用于数学发现思维,不适用数学严格证明。高中阶段学习的数学归纳法,是一种递归推理,是科学归纳法在数学中的应用与体现。数学归纳法是论证关于自然数的无限多个命题的重要方法,它的正确性源于自然数的归纳公理或最小数原理。     

多维空间的几何意义

人们通常认为四维和四维以上的空间没有明确的几何意义,本文通过选择合适的“参考点”和提出“空间级”概念,给出了多维空间的几何意义,认为宇宙是一个无限级无限维空间。     

谈方程中的辩证法

数学是自然科学中的一门学科,它和整个自然科学具有同等的地位。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。恩格斯指出:“数学是数量的科学”(《自然辩证法》235页)、“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材料.”(《反杜林论》35页)数量关系与空间形式本来是客观事物固有的,“起源于外部世界的事实”,不是天上掉下来的,不是人脑中天生的,不是来自“先天的直觉”,不是来自“思维的自由创造”,而是在生产实践中对客观事物的数量关系和空间形式的抽象。人类认识数和形的能力是长期社会实践发展的结果。“数和形的概念不是从其它任何地方,而是从现实世界中得来的。”(《反杜林论》)是从客观事物中抽象出来的,是人类在社会实践中不断锻炼发展起来的。     

宇宙中存在“无限”吗

从圆周率到微积分，从黑洞难题到超弦理论 人类在很早的时候就有了“无限”的概念，并对它怀有特殊的感情。无论在哲学上还是在宗教上，关于这种“绝不可能达到的某种境界”的无限概念早就已经占有十分重要的位置。然而，无限概念对于人类能够产生的最大影响，却是到了近代。这一概念极大地推动了数学和物理学的发展。     

关于数学中的逻辑思维能力

所谓数学能力就是指:正确、迅速的运算能力、一定的逻辑思维能力和一定的空间想象能力,即分析问题和解决问题的能力。本文就为什么强调数学能力的问题和从方法论的角度如何去认识关于数学中逻辑思维能力的培养与提高问题阐述几点看法。一各门科学技术的数学化是现代科学技术发展的主要特点之一。“数学化”包括了科学知识的数学化、数学方法在各门科学中的普遍运用以及数学思维方法越来越广泛地成为一种科     

无限小量方法与非标准分析

非标准分析是近十几年来发展起来的一种新的数学研究领域和方法。它运用数理逻辑的科学方法,论证了无限小量方法的逻辑严谨性,为微积分的理论基础提供了一种新的说明。牛顿、莱布尼茨在创立微积分时,曾广泛地运用了无限小量和无限小量方法。但是,他们关于无限小量的概念是不清楚的,在运用无限小量进行推理的时候,时而把它当作0,时而把它当作不是0,因此,显现了某种神秘性。主观唯心主义的代表贝克莱主教曾经抓住     

中学生数学学习障碍及对策

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门基础学科，是“一切科学之母”、“思维的体操”，在当代已成为推进人类文明的不可或缺的重要因素。然而，现在有部分学生“谈数色变”，数学成绩和解决数学问题的能力较差，直接影响了后续知识和相关学科的学习。究其原因．主要表现在以下几个方面。     

试论数学中的有限与无限

有限与无限是数学中的一对基本矛盾。数学发展史上的三次危机都与之有关。每一次矛盾的解决过程,都推动了数学的发展。不少新的学科和领域的开拓也由此发端。有限与无限是对立的统一:它们有着质的差异,但在一定条件下又可以互相转化。只有用辩证法才能正确理解和认识无限问题。随着科学的发展,人们对无限的认识也在逐步深化。     

解读霍金的宇宙

为什么叫“果壳中的宇宙”?果壳中的宇宙出典于英国戏剧大师莎士比亚的名著《哈姆莱特》。在剧中,主人公哈姆莱特有这样一句吟唱:即使把他关在果壳中,他仍然是无限空间之王。艺术与科学     

学习数学必须坚持理论联系实际的原则

数学是劳动人民长期以来从生产实践中总结出来的、研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学,尽管它表现得非常抽象,但它的根源却深深扎在现实材料之中。一些资产阶级学者,往往利用数学的抽象性宣扬唯心论的先验论,他们认为数学就是少数“天才”的数学家的“自由创造物和想象物”,似乎全部数学理论都不需要外部世界提     

培养经济管理类学生的数学建模能力

“数学是研究空间形式和数量关系的科学。数学能够处理数据和观测资料，进行计算、推理和证明，可提供自然现象、社会系统的数学模型”,这说明数学教学应有对学生建模能力的培养要求。本文拟就培养经济管理类学生的数学建模能力的问题作进一步探讨。     

第四讲 数学是一种辩证的辅助工具和表现方式——学习《自然辩证法》〔数学〕札记(Ⅱ)

数学是关于现实世界中空间形式和数量关系的科学,而现实世界又充满着矛盾的辩证发展过程,因此,数学也必然充满矛盾,充满辩证法。正如恩格斯所指出的,高等数学充满着矛盾,“连初等数学也充满着矛盾”。(《反杜林论》第119页)“数学:辩证的辅助工具和表现方式”(《自然辩证法》第3页。以下凡引用此书中的话,只注明页码。)根据这一基本观点,恩格斯在《自然辩证法》〔数学〕的第2-14、16个札记中,列举大量材料,以数学概念、数学运算和数学中量与质等三个方面,深刻揭示了数学内容的辩证性质。 (一)数学概念的辩证性质恩格斯在〔数学〕的第5-8、10-14个札记中,运用对立统一的观点,分析了某些数学概念的辩证性质     

关于数学语言

数学语言与元语言(如汉语、英语)一样,是由一系列特定的符号按一定的法则构成的,用来表述空间形式和数量关系、描述各门科学和实际活动领域的事实和方法的语言。例如,表示数的字母、求和符号“∑”、集合运算符号“∩”、“∪”以及特定的图形图表等等。由于数学语言中也借用元语言(如英文字母)作为数学符号,所以单从符号来说,还不能讲清楚什么是数学语言,必须探讨它的相应语义和句法。