关于函数的几乎处处半连续性的一点注记

§1引言众所周知,《概率论》中随机变数的分布函数是处处左半连续的。显然,函数的处处左半连续性只是处处连续性的必要条件但不充分。人们自然地要问:什么类型的左半连续性才是连续性的必要而且充分的条件?本文内容之一就在于回答了此一问题,即有     

用导数判别函数的一致连续性

一、引理引理1 若函数f(x)在闭区间[a,b]连续,则f(x)在[a,b]上一致连续.引理2 若函数f(x)在[a,b]及[b,c]都一致连续,则f(x)在[a,c]上一致连续.注改[b,c]为[b, ∞)时,结论也成立.引理3 设函数f(x)在开区间(a,b)连续,则f(x)在(a,b)一致连续的充分必要条件是f(a 0)、f(b-0)都存在且为有限值.证明见[1]之正文及相应习题.二、主要结论定理1 若函数f(x)在区间I(I可开、半开、有限或无限,下同)可导,且f’(x)在I有界,则函数f(x)在I一致连续.     

关于非线性椭园型方程组的弱Harnack不等式

§1.主要结果与辅助引理本文考虑如下的二阶椭园型非线性方程组divA~i(x,u,Du)=0,i=1,2,…,N (1.1) 设ΩR~n是一个有界开区域,函数u∈H_2~1,loc(Ω,R~n)称为方程组(1.1)在Ω上的一个弱解,如果它满足(见[3])     

关于多维无穷可分分布的Lebesgue分解

§1.导言根据著名的Lebesgue分解定理,任一R~1上的有界非降函数F(x)均可唯一地分解为F(x)=F_1(x) F_2(x) F_3(x)。(1.1)其中F_1(x)是一个阶梯函数,F_2(x)是一个奇异連續函数,F_3(x)是一个絕对連續函数,它們都是R~1上的有界非降函数,分別叫做F(x)的离散部分,奇异連續部分和絕对連續部分。Lebesgue分解在概率論中有着重要意义。最近我們对R~n(n≥2)上的有界非降函数F(X)的Lebesgue分解问題进行了探討,获得了一些成果。为了方便,我們仅对R~2的情形陈述結果。不难看出,相应的成果可进一步推     

半紧的1—集压缩映射族{T(λ,·)}的极小不动点集{x(λ)}的左连续性

Amann 关于单调全连续映射族{T(λ,·)}(λ为实参数)的极小不动点集{x(λ)}的左连续性结果(见〔1〕定理20.3)被余庆余(〔2〕。定理3)推广到单调凝聚映射族。在这篇文章中,我们将此结果推广到一类更广泛的映射族——半紧的1—集医缩映射族(定义在下面)。比之〔2〕的证明方法,不尽相同,由本文之证法可以看出,〔2〕中之证法可以简化,可不用〔2〕中的引理3,4和引理5而直接证明结论成立。因此,这里的推广是非平凡的。     

完全覆盖与实数连续性

本文以一种新环路证明了完全覆盖定理(即文中引理)与实数连续性的等价性,并以完全覆盖定理为工具,给出了实变函数中两个重要定理的初等证明。     

关于LL积分的两个定理

本文通过两个引理,给出了有界可测集E上的a.e.有限的可测函数LL可积的一个充分条件和一个必要条件。     

代数基本定理的两个代数证明

本文引用抽象代数中的一个引理,利用高等代数的知识,给出了代数基本定理的两个代数证明。文章基本上避开了多项式的拓扑性质(即连续性)。     

H类函数的延拓

研究了凸集上H类函数的延拓问题,主要有以下结果:(1)定义在Hilbert空间凸集上的有界H(μ)类函数可延拓为整个空间上有定义的有界H(μ)函数;(2)定义在Rn中有界闭集上的函数连续的充分必要条件为其在该有界闭集上满足Lipschitz条件,这样的函数可延拓在Rn上满足Lipschitz条件的有界函数.     

非凸半定规划的鞍点存在性研究

主要利用矩阵分析的谱分解、Frobenius 内积及其相关性质，凸分析的凸集分离定理来研究非凸半定规划问题的鞍点的存在性，通过 3 种不同的方式给出并证明了鞍点存在的一些充分、必要以及充分必要条件。首先，利用一个不等式系统给出了与文献[1]中的对偶定理等价的一个鞍点存在的充分必要条件。然后，给出了广义的 KKT 条件，并在不变凸性的假设下，证明了广义 KKT 条件是鞍点存在的一个充分条件；若 x∈intC，则广义KKT 条件是鞍点存在的一个必要条件。最后，定义了一个扰动函数 ，并在非凸半定规划问题的最优解存在的假设下，利用此扰动函数给出了鞍点存在的一个充分必要条件：若非凸半定规划问题的最优解存在，则对偶可达且无对偶间隙等价于扰动函数v的上图在点 (0,v(0))处存在支撑超平面。
     

Banach空间上正则半群的表示定理与范数连续

因为解析半群、可微半群、紧半群都是范数连续C0半群,故C0半群的范数连续性是讨论半群属性的必要条件之一。类似地,讨论正则半群的解析性、紧性等重要性质时,正则半群的范数连续性尤其重要。通过论证,引入指数有界正则半群新的表示定理,在Banach空间上,给出了一个正则半群范数连续的充分条件。     

一类具有非齐次位相函数的振荡积分之渐近展开

振荡积分的研究在Fourier积分算子理论中具有重要的地位。L.H(?)rmander在[1]中讨论了具有齐次位相函数的振荡积分的渐近展开,本文将讨论这样的振荡积分的渐近性质,它的位相函数是一个半齐次函数和一个非齐次函数的和,从而推广了[1]中的定理3·2·4。我们使用的方法是著名的稳定位相法。§1.定理的叙述设R~k是k在维欧氏空间,点x=(x_1…,x_n)∈R~n,点θ=(θ_1,…,θ_N)∈R~N,     

叶果洛夫定理的一个新证明

介绍了叶果洛夫定理的一个新证明,所得的主要结果是：刻划几乎处处收敛的可测函数列的引理、,刻划几乎一致收敛的可测函数列的引理２,定理１（叶果洛夫定理）和定理２（叶果洛夫定理之逆）。     

单位圆到单位圆的贝尔特拉米方程组同胚解的明确表达式

§1.引言设在单位圆上(简记为E_1)有贝尔特拉米方程组?其中q(z)是有界可测函数,?是函数w(z)的索伯列夫意义下广义复导数.若?平方可积,且几乎处处满足方程组(1.1),则称w(z)是组(1.1)的正则解.关于贝尔特拉米方程组正则解,苏联数学家保耶尔斯基详细地讨论了它的存在性和一些主要性质.他证明了方程组任一正则解w(z)总能表示成一特殊的正则解x(z)和一个     

一类广义Emdn-Fouler方程解的渐近性态

本文在一定条件下,给出形如方程(1)解的渐近形态,如单调性,有界性等的若干结果。其中包括给出方程解有界的充分必要条件,推广了文[2]、[3]中的两个定理。指出文[2]定理的一个推论是错误的,说明其错误的原因。举出了反例。修正了它的错误。     

强大数定律的点滴结果

本文引理2改进了Renyi—Hājek引理,作为引理2的应用,指出定理1的另一证法。定理2改变Teicher强大数定律中的条件(ⅲ),得到与它相并列的结果,定理3指出独立随机变量序列服从强大数定律的必要条件。设X_(?),n≥1为定义在概率空间(Ω.(?).P)上的随机变量。S_n=∑_h=1~nX_k,     

勒贝格积分极限定理记注

在实变函数中的定理比较难理解,凭直观又无法想象出来,论文中讨论的是勒贝格有界收敛定理,勒贝格基本定理;勒贝格积分极限定理;勒维(Levi)定理;法都引理中条件的不可缺少,积分极限定理的应用。     

抽象三级周期有界变差函数的逼近性质

讨论抽象三级周期有界变差函数的逼近性质，证明x(t)∈V2π^3依多项式的逼近阶并且证明x(t)∈V2π^3的一个充分必要条件。     

Saks VB凾數的奇異積分表示定理的改進

关于在可测集上Saks意义下有界變差的函数f(t)之奇異积分表示定理,作者已经在1951年的一篇论文中证明过了。但是在哪里,我们假定了核函数φ(t,λ)是t的有界變差的连续函数.这样的条件实际是完全可以取消的.本文的目的便在于论证这一点,而论证的基本依据便是引理1及2.令l(u)表示可测集E的特微函数.假设平均密度在t_o的一个鄰域内为有界變差函数.那末于ρ(t_o,f)→1(t→f_o±)时,便称t_o为E的‘有界變差全密点’;而于ρ(t_o,t)→0时,即称t_o为‘有界變差稀薄点’.设于每一λ>O,φ(t,λ)恆是[-l,l]上的有界(L)可积函数,合于条件:     

一致凸空间的一个特征性质

V.I.Istratescu在[1]中给出了一致凸空间的一个如下之特征性质(即[1]中的定理2.5.5)。定理:设x是Banach空间,则X是一致凸的充分必要条件: 1°‖x_n‖≤1,‖y_n‖≤1, 2° lim n→∞‖x_n y_n‖=2 则 lim n→∞‖x_n-y_n‖=0。本文给出一致凸空间的另一特征性质,并给出它的一个应用。