二阶耦合拟线性抛物组边值问题的周期解

本文利用有限维正交投影方法证明了下述边值问题u_j1-a_j(u_j)_(xx)+σ_ju_j+f_j(t,x,u)=g_j(t,x),(t,X)∈G=(0,π)×(0,π),-α_(j1)u_(jx)+β_(j1)u_(j)|_(x=0)=0α_(j2)u_(jx)+β_(j2)u_(j)|_(x=π)=0 j=1,…,n在假设条件(4)-(6)成立时,于少有一周期解u_j∈W_1~(2,1)(G)。当a_j(u_j)=u_j时,文[7]讨论了此种情形,但是我们得到的结果u_j∈w_2~2(G)且u_(jx)∈W_1~(2,1)(G),比文[7]的结果强得多。     

Schauder不动点定理在分数阶m-点边值问题中的应用

用Schauder不动点定理研究了分数阶m-点边值问题﹛D_0~α+u(t)+f(t,u(t))+e(t)=0,0t1;u(0)=0,u(1)=m-2∑i-1β_iu(η_i).其中1α2,0β_i1(i=1,2,…,m-2),0η_1η_2…η_(m-2)1,K=m-2∑i-1β_iη_~(a-1)1,D_0~α+是标准的Riemann-Liouville微分,f的第一或第二个变量可以具有奇性,e可以为负.分别给出了γ_*0,γ_*=0,γ_*0γ~*,γ~*≤0四种情形时正解的存在性结果.     

一类分数阶微分方程m点边值问题正解的存在性

研究一类非线性分数阶微分方程m点边值问题:D_(0+)~αu(t)+h(t)f(t,u(t),D_(0+)~βu(t))=0,0t1,其中,u(0)=u'(0)=…=u~(n-2)(0)=0,D_(0+)~βu(1)=sum from j=1 to m-2 (η_jD_(0+)~βu(ζ_j)).D_(0+)~αu(t)和D_(0+)~βu(t)是标准Riemann-Liouville分数阶导数,α≥2,n-1α≤n,β≥1,α-β≥1,0≤η_j(j=1,2,…,m-2),0ζ_1ζ_2…ζ_(m-2)1,1-sum from j=1 to m-2 (η_jζ_j~(α-β-1)0).利用不动点理论,得到正解的存在性、唯一性和多解性的一些充分条件,最后,通过一些具体的数字例验证了结果.     

弱素性可加数性质的研究

设n是正整数,若n有至少两个互异素因子,而且存在n的互异素因子p_1,p_2,…,pt和正整数α_1,α_2,…,αt使得n=p_1~(α1)+p_2~(2α)+…+p_t~(αt),那么我们称n为弱素性可加数.本文中,我们通过多次巧妙应用中国剩余定理、Dirichlet定理和二次互反律证明:对任意正整数m和t,存在无穷多个弱素性可加数n使得m|n且n=p_1~(α1)+p_2~(α2)+…+p_(4t)~(4αt)+p_(4t+1)~(αt4+1),其中p1,p2,…,p_(4t+1)是n的互异素因子,α_1,α_2,…,α_(4t+1)是正整数.     

三阶微分方程组非局部边值问题多个正解的存在性

利用Leggett--Williams不动点定理,研究下列三阶微分方程组边值问题{u′″(t)+a_1(t)f_1(t,u(t),v(t))=0,0t1,v′″(t)+a_2(t)f_2(t,u(t),v(t))=0,0t1,u'(0)=u″(0)=0,u(1)=g_1(∫_0~1u(s)dф_1(s),∫_0~1v(s)dф_1(s)),v'(0)=v″(0)=0,v(1)=g_2(∫_0~1u(s)dф_2(s),∫_0~1v(s)dф_2(s))多个正解的存在性,其中a_i∈C((0,1),[0,+∞)),f_i,g_i∈C([0,1]×[0,+∞)×[0,+∞)→[0,+∞)),∫_0~1u(s)dфi(s),∫_0~1v(s)dфi(s)是Riemann-Stiltjes积分,i=1,2.     

含Caputo分数阶导数的分数阶微分方程

求解了含Caputo分数阶导数的分数阶微分方程初值问题 d~αu/dtα+ω~αu(t;α)=h(t),t>0,0≤n-1<α≤n,ω>0, u~(k)(0~+;α)=u_k,k=0,1,…,n-1.利用Laplace变换方法和广义 Mittag-Leffler函数,得到其解为u(t;α)=integral from n=0 to t (r~(α-1)E_α,α(-(ωτ)~α))h(t-τ)dτ+sum from k=0 to n-1 u_kt~kE_(α,1+k)(-(ωt)~α)。     

许定理的一个推广

§1 引言考虑线性模型y=Xβ+U_1ε_1+…+U_kε_k (1)其中 X,U_1,…,U_K 分别是已知的 n×p,n×n_1,…,n×n_k 矩阵,秩 X相似文献   

一阶多点边值问题多个解的存在性

运用上下解方法和拓扑度理论研究了一阶常微分方程多点边值问题{u'(t)=f(t,u(t)),t∈[0,T],u(0)+Σm k=1a_ku(t_k)=c多个解的存在性,其中c∈R,t_k(k=1,2,3,…,m)满足0t_1t_2…t_mT,a_k0均为给定常数,并且满足1+Σm k=1a_k0,f∈C([0,T]×R,R)。实例说明了结果的正确性。     

涉及微分多项式的值分布

本文考虑了一类涉及微分多项式的值分布,得到如下结果:设n,k为正整数,并且有n≥k+4,f(z)在开平面内超越亚纯,α_j(z)(j=1,…,k)亦在开平面内亚纯,且满足T(r,α_j)=0{T(r,f)}(j=1,…,k),若[α_k(z)f~((k))(z)+…+α_l(z)f~f(z)|f(z)~n(?)常数,则[α_k(z)f~((k))(z)+…+α_1(z)f~l(z)]f(z)~n取任何有限值无穷次,至多零值例外。     

含积分边值条件的分数阶微分方程耦合系统正解的唯一性

本文研究了一类含积分边值条件的非线性分数阶微分方程耦合系统{~cD~αu(t)+f(t,u(t),v(t))=0,~cD~αv(t)+f(t,u(βt),v(βt))=0,u(0)=u′(0)=…=u~(n-2)(0)=u~(n)(0)=0,u(1)=λ∫01u(s)ds,v(0)=v′(0)=…=v~(n-2)(0)=v~(n)(0)=0,v(1)=λ∫01v(s)ds正解的唯一性.利用广义耦合不动点定理,本文得到了该边值问题正解的唯一性的充分条件,并在举例说明了定理的有效性.     

一类含参数非线性三阶两点边值问题正解的存在性

本文借助于锥上的不动点定理,考虑如下一类非线性三阶两点点边值问题:{u?(t)+λa(t)f(u(t))=0,t∈(0,1),u(0)=u′(0)=u″(1)=0,解的存在性,其中λ0,f:[0,+∞)→[0,+∞),连续a:(0,1)→[0,+∞),连续且满足0∫_1~0(t-(1/2)(t~2))a(t)dt+∞,允许a(t)在t=0或者t=1处奇异。     

关于相关数列极限的注记

设 k 为某一自然数,数列{x}、{y}当n>k 时满足y_n=C_0x_n+C_1x_(n-1)+…+C(?),则称{y_n}为{x_n}的相关数列.设 g_1(t),g_2(t),…,g(t)在 u(t_0)内严格单调且连续,g(t_0)=x_0,i=1,2,…,k.g_i(t)的反函数为 g~(-1)(x),它在 u(x_0)内严格单调且连续,g~(-1)(x_0)=t_0,i=1,2,…,k设F(t)=C_1f〔g_1(t)〕+C_2f〔g_2(t)〕+…+Cf〔g(t)〕,且存在 l,1≤l≤k,使|C_1|>(?)|C_i|.     

二项式系数与Fibonacci数4m次幂的关系

若■=n!/(i!(n-i)!)(n,i∈N~*且n≥i)表示二项式系数,第l个Fibonacci数为F_l,其中,l是非负的整数;对任意正整数n和非负整数k,数列{■}_(i=0)~n和{F_(k+i)~p}_(i=0)~n的卷积为f(k,p,n)=■F_k~p+■F_(k+1)~p+…+■F_(k+n)~p.论文利用初等数论方法证明了p=4m(m∈N~*)时,等式f(k,4m,n)=1/25~m[L_(2m)~n·L_(4mk+2mn)+C_(4m)~1(-1)~(k+n+1)L_(2m-1)~nL_((4m-2)k+(2m-1)n)+C_(4m)~2L_(2m-2)~n L_((4m-4)+(2m-2)n)+C_(4m)~3(-1)~(k+n+1)L_(2m-3)~nL_((4m-6)k+(2m-3)n)+…+C_(4m)~(2m)·2~n]成立.     

分数阶常微分方程多点边值问题的上下解方法

本文应用上下解方法研究了如下分数阶常微分方程多点边值问题{x~((δ))(t)=f(t,x(t)),t∈[a,b],a0,x(a)+m∑k=1a_kx(t_k)=c解的存在性,其中f:[a,b]×R→R是L~1-Carathéodory函数,δ∈(0,1],c∈R,t_k(k=1,2,…,m)为满足at_1t_2…t_mb,a_k0以及1+m∑k=1a_k0的常数.     

一类函数方程求解及正态分布刻划定理的证明

本文研究了这样一类函数方程的解其中α_j′=(α_(1j)α_(2j)…α_(pj))t′=(t_1,t_2,…,t_p)f_j 是实变量 t 的复值函数.在f_j 二阶连续可微条件下,此方程的解为f_j(s)=exp{ α_j~s b_j}j=1,2,…其中 r_j 满足α_(mj)α_(lj)λ_j=0 α_jb_j 是常数,由此又可得到满足方程(α_j′t)=(t_j)的至多是二阶多项式。这个结果,深化并推广了 C.G.Khatri 和 C.R.Rao<1><2>及 B.Rama chandran<3>的结果,进而大大简化正态分布刻划定理的证明.     

一个最优设计问题

设试验点集是X={x(t)=kt b:t∈[0,1],|k|≤B_1,|b|≤B_2},其中B_1>0,B_2>0都是已知数,参数空间={θ:θ∈L_2[0,1]}。被观察的随机过程为 Y(x,t)=∫_0~tθ(u)x(u)du N(t),t∈[0,1]其中{N(t),t∈[0,1]}是Weiner过程。本文得到关于线性泛函脉θ_0~*(θ)=∫_0~1θ(u)du的线性估计的最优设计为ξ_0=(x_1,x_2 α, 1-α)其中x_1=-B_1t-B_2,x_2=B_1t B_2,α满足0≤α<1。在得到这个设计时用到了Spruill[2]的一个定理。发现Spruill[2]中(16)式的证明是错的,因为他的叙述“因是对称的且凸的,对充分小的ε>0,(β-ε)θ~*∈”是错的,本文已将这个错误订正。     

一类四阶微分方程m点边值问题的正解

讨论一类四阶微分方程m点边值问题{u~((4))(t)+h(t)f(u)=0,u(0)=u'(0)=u″(0)=0,u″(1)=∑m=2i=1β_iu″(η_i),其中,η_i∈(0,1),0η_1η_2…η_(m-2)1,β_i∈[0,∞)且m=2∑i=1β_iη_i1.通过与一个线性算子相关的第一特征值的讨论,运用不动点指数定理,得到正解存在的结果,最后给出一个例子用以说明定理的应用.     

一类无穷区间上分数阶非局部边值问题正解的存在性

研究了一类无穷区间上非线性项含有导数项的分数阶微分方程非局部边值问题{D_0~α+u(t)+f(t,u(t),D_(0+)~(α-1)u(t))=0,t∈[0,∞)I_0~(2-α)u(t)︱t=0=0,lim t→∞D_(0+)~(α-1)u(t)=∑_(i=1)~(m-2)β_iD_(0+)~(α-1)u(ξ_i)正解的存在性.根据G(t,s)的相关性质及假设条件,运用Schauder不动点定理,证明了该边值问题至少有一个正解.     

奇异分数阶微分方程三点边值问题

研究了一类奇异分数阶微分方程的三点边值问题~cD_0~α+u(t)+a(t)f(t,u(t),~cD_0~μ+u(t))=0,0t1,u(0)=0,u′(1)=u′(η),u′(0)=J_0~μ+u(1),其中2α≤3,1μ=α-12是实数,~cD_(0~+)~α,~cD_(0~+)~μ是标准的Caputo阶导数,f在t=0处奇异,并利用Leggett-Williams不动点定理得到该边值问题正解的存在性.     

关于Euler-Totient链

本文讨论函数链φ_1(n)>φ_2(n)>…>φ_t(n),其中φ_1(n)为Euler函数φ(n),φ_k(n)=φ(φ_(k-1)(n)),t=min{k}.估计了链长l(n)=t 及和 S(n)=φ_1(n)+…+φ_t(n),φ(n)=1得到■证明了v(n)=(S(b))/n 在数列{m_r=np~r}上的单调性;s(n)=n的除去3的幂以外的解,在素因子有上界的整数中只有有限多个。