分形几何的创立与复杂性研究——纪念波努瓦·芒德勃罗诞辰90周年

分形几何是由当代著名数学家波努瓦·芒德勃罗创立的,它是刻画混沌运动的直观的几何语言,目前在自然科学、社会科学以及文化艺术领域获得了广泛应用。在芒德勃罗诞辰90周年之际,通过美丽的分形图案和他对复杂性研究做出的突出贡献来纪念这位天才的数学家具有重要的现实意义。他那敢与他人不同的创新理念和跨学科研究的思想方法,特别是"简单性孕育复杂性"和"无理性丰富有理性"的研究技巧给后人留下了深刻的印象。     

利玛窦《译几何原本引》的文化阐释

1607年汉译《几何原本》(前六卷)的问世开启了东西方数学交流的新纪元。《几何原本》是西方公理化数学的典范,而对于中国学者来说,则完全是一种陌生的"异域文化"。为了帮助中国学者理解《几何原本》的意义和价值,利玛窦写下一篇长长的"导言"《译几何原本引》。在"导言"中,利玛窦阐明"几何之理"有助于"明达物理","几何之用"可为国家建功立业,"几何之学"更关乎社稷安危。在"导言"中,利玛窦充满深情地讲述了欧几里得、阿基米德及其业师"丁先生"的感人故事,从而唤起了明末清初中国学者对《几何原本》的巨大热情。     

"几何"译名的历史探源与意义分析

通过对"几何"译名的历史探源,并将"几何"译名与克拉维乌斯拉丁语底本详细比勘,重点分析利玛窦《译几何原本引》中的"几何"术语,进而确定"几何"译名与拉丁语Geometria存在重要的关联.这不只是一种简单的"否定之否定",而是把"几何"译名的考察,上升为对西方从古希腊到文艺复兴以来"几何之学"概念演变的历史认识,从而揭...     

来龙去脉说几何

喜欢诗词的人 ,对《诗经·巧言》一诗并不陌生 ,其中有“为犹将多 ,尔居徒几何”之句 ;《左传》一书也有“靖诸内而败诸外 ,所获几何”的句子 ;至于曹操的“对酒当歌 ,人生几何”更为大家所熟悉。显然 ,上述诸书中的“几何”应解释为“多少”或“若干”。在汉语语汇中 ,“几何”除上述解释外 ,还有另一种解释 ,即 :研究物体形状、大小与位置间相互关系的数学 ,称为几何学 ,简称几何。谈到几何 ,不能不提及欧几里得。欧几里得 (公元前 330～前 2 75)是古希腊数学家 ,他在公元前 30 0年编写的《几何原本》 ,至今仍被视为学习几何的标准课本 ,…     

认知几何的欧几里得性

人类认知几何有欧几里得性吗?因康德的直觉理论假设普遍时空并依赖于欧几里得几何,然而如果人类认知(如视觉)有黎曼特征,从而使得直觉判断不可能具有超越参照系的普遍有效性,康德学说就会有被颠覆的危险.认知几何的欧几里得德性问题,不仅对康德哲学形成挑战,也是认知科学亟待进一步研究的课题.     

非欧几何思想的演化与发展

本文认为，非欧几何思想萌芽、发生和发展经过了三个阶段。第五公设可证明性问题的提出；建立了逻辑上为真的两种非欧几何，即问题的解决；非欧几何深层基础无矛盾性和经验有效性的研究，即理论（答案）的评价。三个阶段相续继起，互为条件，构成多几何思想演化发展的清晰脉络。文章特别注意分析了哲学思想在其演化过程中的重要启迪作用和先驱向导作用。     

从图形“实体”到几何“存在”——对笛卡尔解析几何的哲学反思

笛卡尔的解析几何与欧几里得的《几何原本》在点、线和空间等基本概念上有较大差异。相对于《几何原本》:解析几何中的点可相互区分,且依赖于与其它点的关系而存在;曲线的存在依赖坐标空间整体,同时是点的运动轨迹,与物理运动的可能路径相关;坐标系通过量化空间,提供了对于空间的完整构造。从图形实体到几何存在,是笛卡尔对于数学实在和存在方式所作的区分。     

面积贴合法在希腊数学中的几何起源和作用

面积贴法是欧几里得《几何原本》中的重要方法，它甚至涉及希腊数学的起源问题，以往的数学史家多用”几何代数“观点来解释这个问题。实际上，仔细分析面积贴合法在《几何原本》中的地位和中以看出它起源于毕达哥拉斯学派的面积几何学，是纯粹的几何命题，与解代数方程无关。     

元代《几何原本》为何没有影响中国思想传统——回回天文学家的语言世界、群体目标和种族烙印

《几何原本》曾是元代钦天监所用书籍,为何它所代表的西方科学思想核心未能影响古代中国思想传统?本文提出三个尚未见系统涉及的假设。第一是语言的障碍,元代阿拉伯天文学家的母语是阿拉伯语,他们来中国后的入乡随俗,应当是随"操蒙语的蒙古人"之俗,而不是随"操汉语的汉人"之俗。第二是元代中西天文学展现出"差异",它没有像明末清初中西天文学凸显出"冲突",这是由于回回历法服务于伊斯兰信徒,以及回、汉天文台独立运行,客观上减弱了交流的动力。第三是李约瑟所说的古代科学带有种族烙印性质,具体而言,回汉天文学缺乏共同的数学语言,古代中国天文学和数学均具有坚强的传统,使得《几何原本》只有留待近代科学的兴起后才重新在中国被赋予意义。     

再论F.克莱因的《埃尔朗根纲领》

埃尔朗根纲领是数学史上最重要的文献之一,其核心思想是群统一几何。除此之外,克莱因在埃尔朗根纲领中还论述了二元型与几何学的对应关系、李球几何与切触变换等内容,并试图将总结的几何学研究推广到流形上。由于克莱因的流形都是齐性空间,所以他的几何学分类中没有包含黎曼几何。     

笛沙格及其射影几何学奠基性工作

17世纪法国数学家笛沙格在射影几何方面的工作具有创造性成就.然而,由于笛沙格本人射影几何手稿写作手法晦涩难懂及其客观历史原因,导致他的学术思想的传播障碍以致长期淹没无闻.本文试图对笛沙格生平、学术活动、射影几何思想的形成背景及其射影几何的奠基性工作加以详细研究和评述,恢复笛沙格对射影几何学这一门现代数学学科分支的奠定性贡献的应有历史地位.     

阿拉伯代数方程求解几何方法的比较研究

代数方程的求解是阿拉伯数学最突出的成就之一。该文主要有度了阿拉伯代数方程求解的几何方法。几何方法在代数方程求解中的运用在阿拉伯学者那里得到了进一步的发展。考查阿拉伯学者这方面的工作，我们发现其思想发展的两条不同中线；一是以花拉子米为代表明确给出解的代数表述或算法，同时为之提供以“出入相补原理”为基础的几何证明；另一则是以奥马为代表，以二次曲一相交的几何方法为基础寻求代数方程的解。这两条路线有着不同     

普纽玛、几何学和晶状体：盖伦的视觉理论研究

盖伦推进了视觉理论中的眼睛结构考察。他继承了柏拉图的视觉理论、普纽玛理论、亚里士多德的颜色和改变理论以及数学家的几何分析，这些构成了盖伦视觉理论的核心。由此普纽玛理论与几何解释是否相容也成为有争议的问题。有学者认为盖伦的普纽玛理论与几何解释脱节。另一些学者认为盖伦统合了眼睛结构考察、视觉理论和几何解释。本文认为第一类学者由于编史学视角问题忽视了盖伦几何分析和普纽玛理论的内在关联。本文旨在说明盖伦视觉理论和几何解释的融贯以及视觉的形成是由于灵魂能力和物理运动的协同发生。盖伦认为视觉的发生需要普纽玛的参与，空气作为介质被普纽玛化。盖伦引入了几何理论试图解释形状、大小、位置和距离。     

黎曼的几何思想萌芽

在分析黎曼的几何思想和其他学科关系基础上，指出了其几何思想的三个来源：数学、物理和哲学。这其中，19世纪前半叶几何学对黎曼有着直接影响；物理研究也是黎曼的兴趣所在，尤其是他一度试图建立各种作用力的统一理论，促使黎曼用无穷小分析研究流形，并触发了黎曼对空间几何基础的讨论；哲学上，黎曼对空间认识论的思考从赫尔巴特那里得到了灵感，并且在流形概念上可能也借鉴了赫尔巴特的研究。最后指出：研究黎曼几何思想不能把各学科分开考虑，必须全面考虑其间关系。     

徐光启对《几何原本》的翻译及其实际成效的问题研究

徐光启是我国近代科学的先驱,一生数学成就卓著.他在<几何原本>的翻译和西方科学方法论在中国的倡导等方面,虽劳神费思,最终却收效甚微.可以说,明清之际近代数学的东渐既是一种技术意义下的"工具",也是与我国固有传统文化极不相同的一种文化.     

罗巴切夫斯基建立非欧几何的动机

通过剖析对比罗巴切夫斯基的几何学思想与拉普拉斯的力学理论,探析罗巴切夫斯基建立非欧几何的动机.拉普拉斯在力与速度存在任意函数关系的假设下,提出更一般的力学定律,罗巴切夫斯基在承认长度与角度存在函数关系的基础上,建立了更一般的几何.罗巴切夫斯基的非欧几何为拉普拉斯的力学理论提供了相应的空间背景;反之,拉普拉斯的力学理论为...     

外尔与黎曼几何的拓展

在一手文献的基础上，重点考察了外尔1917-1923年间对黎曼几何的系统阐述和重大推广，包括内蕴地定义仿射联络、建立“纯粹无穷小几何”、引入投影和保形结构，以及对“度量本质”的群论分析。外尔的这些推广，尤其是他的“纯粹无穷小几何”以及对“度量本质”的分析，由于没有进入当代微分几何的标准语汇之中，今天已然隐退到历史的幕后了。但是，外尔的这些工作是从黎曼几何过渡到纤维丛理论的一个重要环节，同时也是外尔从分析学转向李群理论的主要动因。     

吴方法与和式几何研究

分析了宋元数学中几何代数化的数学特征,指出宋元数学传统独特之处在于其抽象化和形式化的代数演算,考察了和算对天元术与代数化几何传统的受容过程以及和式几何发展情形,讨论了和算在多项式方程组消元理论方面的成就及其对于现代计算代数的意义,通过具体案例介绍吴方法与Grobner基方法等数学机械化方法在和式几何研究中的实践与作用。     

《墨经》中“端”之新释——兼与姜宝昌教授商榷

《墨经》是我国历史上首部内容深刻的科学著作,其中蕴含丰富的科学概念。《墨经》中"端"在古代自然科学中是最原始的概念之一,具有最基本的重要性,对于它的释义多达百条,本文引用诸家论述予以介绍。姜宝昌教授曾解释"端"的涵义,形成原子说、顶端说和几何点说,在阐释、辨析这三种观点的基础上,文章提出在方法论上需要避免以今代古、以西释中的方便做法,对比惠施"小一"与"端"的相似之处,笔者认为惠施的"小一"可以作为对墨子"端"的新阐释。这种新的理解或更贴近墨子的思维方法和知识背景。     

关于《墨经》中“体”的新解

本文研究《墨经》中一个基本和重要的数学概念“体”。笔者广泛借鉴了前人有关的研究工作，运用传统的考证方法，并结合数学的知识和理论加以勘比、分析，对“体”提出了一种新的解释，指出“体”的实质在于它的“一体”性或“连属”性。由此得到“体”不仅是一个几何概念，而且具有数学上“连续”的重要特征。这也是《墨经》之“体”区别于《几何原本》中“体”的概念的一个鲜明的特色。