关于Diophantine方程x~(d(n))+y~(φ(n))=z~(σ(n))

对于正整数n=2tpa11pa22…pakk,这里pi是奇素数,mi是正整数,i=1,2,…,k,2p1p2…pk,t是非负整数.设d(n),φ(n),σ(n)分别表示n的约数函数,Eu ler函数和约数和函数.给出了:n=2和3时,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)正整数解的一般公式;并证明了ai(i=1,2,…,k)中至少有两个为奇数或存在i及奇素数p,使pi≡1(modp)且ai≡-1(modp)两种情形时,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)没有正整数解.     

关于Diophantione方程x~(d(n))+y~(φ(n))=z~(σ(n))的本原解

对于正整数n,设d(n),ψ(n),σ(n)分别是n的约数函数、Euler函数和约数和函数.本文证明了:当n无平方因子时,除了n=2或者n是适合n=3(mod 4)的奇素数这两种情况以外,方程xd(n)+yψ(n)=zσ(n)没有正整数解.     

关于不定方程1/x~2+1/y~2=n/z~2

设n是无平方因子正整数.讨论了不定方程1/x2+1/y2=n/z2的可解性问题,并利用初等数论方法给出该方程的正整数解公式.     

关于丢番图方程x~4±5x~2y~2 5y~4=z~2

利用初等方法及Fermat无穷递降法 ,获得了丢番图方程x4 ± 5x2 y2 5y4 =z2 与x4 ± 10x2 y2 5y4 =z2 的正整数解公式     

关于方程x~2 y~2=2z~2的正整数解

方程x~2 y~2=2z~2 (1)的正整解为 i 当其正整解相等时,有x=y=z=t,其中t∈N={1,2,3,…}; ii 当其正整数解互不相等且同为奇数时,有x=m~2 2mn-n~2,y=|-m～2 2mn N~2|,z=m~2 n~2,其中m,n∈N,m>n,(m,n)=1,m、n为一奇一偶。证明 i 显然。今证ii。由方程 (1) 知,它的正整数解x,y,z同为奇数或同为偶数,否则方程 (1) 是不成立的。特x,y为奇数,z为偶数,令x=2p 1,y=2q 1,z=2u,其中p,q,u∈N。将x,y之值代入 (1) 并将其两边同除以2,则其左边等于2(p~2 q~2 p q) 1为奇数,而右边等于4u~2为偶数,引出矛盾,方程 (1) 不成立。故方程 (1) 不存在x,y为奇数而z为偶数的解。同理可证方程 (1) 不存在x,y为偶数而z为奇数,或x,y一奇一偶而z为奇数,或x,y一奇一偶而z为偶数的正整数解。所以方程 (1) 的互不相等的正整数解x,y,z同为奇数或同为偶数。而要求方程 (1) 的同为偶数的解x,y,z,这可将方程 (1) 的同为奇数的解x,y,z     

关于Diophantine方程x~(φ(n))-1=ny~2

对于正整数n,设φ(n)和ω(n)分别是n的Eluer函数和n的不同素因数的个数.利用高次Diophantine方程的性质,证明了当ω(n)≥3时,方程xφ(n)-1=ny2无正整数解(x,y).     

关于Diophantine方程x~(φ(n))+y~(φ(n))＝z~n

利用初等数论方法,讨论了一类不定方程正整数解的存在性,给出了Diophantine方程x~(φ(n))+y~(φ(n))=z~n是否有正整数解的一个判定准则.     

关于丢番图方程x~4±(pq 4)~(1/2)x~2y~2 y~4=z~2

Aubry在1911年曾断言:当|k|=(pq 4)~(1/2),p,q均为素数(即|k±2|均为素数)时。若0k≡3(mod8),则方程x~4=kx~2y~2 y~4=z~2无xy≠0之整数解。本文对这一断言给出了一个完整的。自给的证明,同时还进一步证明了对于k值之模8分类而言,Aubry的断言是不可改进的。     

关于Pell方程x~2-5(5n±2)y~2=-1(n≡-1(mod4))

讨论了形如x2-5(5n+2)y2=-1(n∈Z+,n≡-1(mod4),5n+2为素数)与x2-5(5n-2)y2=-1(n∈Z+,n≡-1(mod4),5n-2为素数)型Pell方程有正整数解的两个结论.     

四元数集上的商高方程

揭示出四元数集上的商高方程存在无限多组非零四元数解、无限多组本原解、无限多组强本原解,分析了强本原解必要条件．     

关于不定方程组{x~2-2y~2=1 2y~2-3z~2=4和{x~2-2y~2=1 2y~2-5z~2=7

对于不定方程组{x~2-2y~2=1 2y~2-3z~2=4和{x~2-2y~2=1 2y~2-5z~2=7证明了它们没有整数解.     

求解Diophantine方程x~2+y~3=z~4的一种简便方法

本文通过对Diophantioe方程x~2-y~2=4z~3解的存在性的讨论,给出了求解Diophaotine方程x~2+y~2=z~4的一种简便可行的方法。     

关于不定方程x^3＋1=57y^2

应用递归数列、同余式证明了丢番图方程x^3＋1=57y^2仅有整数解（x,y）=（-1,0）,（8,±3）.     

关于不定方程组x^2—2y^2=1,y^2—150z^2=4

对于不定方程组x2-2y2=1,y2-DZ2=4,证明了：当D=150时，它的整数解只有（x，y，Z）=（±3，±2，0）．     

关于不定方程px^4-（p-1）y^2=z^4

利用初等方法给出了不定方程px^4-（p-1）y^2=z^4当p=2Q^2＋1时的全部正整数解,从而拓展了王洪昌关于px^4-（p-1）y^2=z^4的结果.     

关于不定方程组x~2-6y~2=1,y~2-Dz~2=4

证明了当D=2k∏i=1pi,其中pi是互异的奇素数,且pi≡13,17,19,23(mod 24)时不定方程组x2-6y2=1,y2-Dz2=4仅有平凡解z=0.     

关于丢番图方程pX4-(p-1)y2=z4

姜信君等利用初等方法给出了丢番图方程px4-(p-1)y2=x4当p=2q+1,q≡5(mod8),p,q为奇素数时的全部正整数解.但由于篇幅限制,并未给出全部证明,我们给出了补充证明.     

关于不定方程x~3+1=129y~2

文章利用递归数列,同余式,平方剩余以及Pell方程解的性质证明了不定方程x~3+1=129y~2仅有整数解(x,y)=(-1,0),(80,±63)。     

关于不定方程x~3+1=7y~2

利用递归数列、同余式和平方剩余证明了不定方程x3+1=7y2仅有整数解(x,y)=(-1,0),(3,±2)。