罗斯定理与abc猜想

将罗斯定理与abc猜想作比较,并介绍了研究abc猜想的一个方法 .     

费尔马大定理介绍

去年夏季费尔马大定理证明的宣布是使整个数学界都感到振奋的大事。本文将讲述费尔马大定理(通篇文章均简记为FLT)的数学史。我们把它分为三个阶段: 1、从刁番图到欧拉(公元250—1783); 2、从欧拉到Frcy(公元1783—1982); 3、从Frcy到Wiles(公元1982一1993)。 我们仅仅是给出费尔马大定理故事的介绍,并且我们的讲述是粗略的。文中大多数专     

关于Bowen猜想

当ｒ，ｎ为正整数，丢番图方程Σ＾ｎ－１ｎ＝０９１＋ｋ）６ｒ＝（１＋ｎ）６ｒ只有正整数解ｒ＝１，ｎ＝２。     

关于Je‘smanowica猜想的一个注记

本文用初等方法证明了如下结论：设ｓ＝３ｎ，ｎ≡１、３、５（ｍｏｄ８），ｔ≡２（ｍｏｄ４），且ｓ、ｔ均不含有４ｋ＋１形素因子，则Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ方程（ｓ＾２－ｔ＾２）＋（２ｓｔ）＾ｙ＝（ｓ＾２＋ｔ＾２）＾２（其中ｓ〉ｔ〉０，（ｓ，ｔ）＝１，ｓ＋ｔ≡１（ｍｏｄ２））在ｙ〉１时仅有正整数解ｘ＝ｙ＝ｚ＝２。     

关于Lucas猜想的一个注记

若p为奇素数,且p≠1(mod8)时,本文给出了丢番图方程x(x 1)(2x 1)=2p^ky^2n的所有正整数解,并给出了Lucas猜想的一个简单证明。     

Fermat大定理的一个注记

应用Ｆａｌｔｉｎｇｓ定理，戴－－冯－－于定理证明了Ｆｅｒｍａｔ大定理中一个有趣的结果。     

关于费马大定理（Ⅱ）

证明了方程x~(2p)+y~(2p)=z~2((x,y)=1,P(>3)是素数)如有解,则必有4P~2|x或4P~2|y.对方程x~(2p)+y~2=z~(2p),x~(2p)+y~(2p)=z~p和x~(2p)+y~p=z~(2p)也得到了类似的结果.此外,我们还有以下的结果:(1)设r(N)表示使得方程x~(2n)+y~(2n)=z~2有解的正整数n(≤N)的个数,则r(N)=o(N)(N→∞).(2)如果正整数x,y,z和n满足x~n+y~n=z~n,x2,则必有x~2>nz+n-3.     

关于Tijdeman猜想(Ⅰ)

设p≡ 5 (mod 6 )是素数 ,D是无平方因子且不被p和 6k +1形素数整除的正整数 ,运用初等数论方法 ,获得了丢番图方程x3 +y3 =pDz2 在D =1,2 ,3,6时全部整数解的通解公式及其解的深刻性质 ,从而推进了广义Fermat猜想与Tijdeman猜想的研究进展 .     

关于Tijdeman猜想（I）

设p≡5（mod6)是素数，D是无平方因子且不被p和6k 1形素数整除的正整数，运用初等数论方法，获得了丢番图方程x^3 y^3=pDz^2在D＝1，2，3，6时全部整数解的通解公式及其解的深刻性质，从而推进了广义Fermat猜想与Tijdeman猜想的研究进展。     

方程xp±y2p=z2与广义费尔马猜想

设p为奇素数,证明了丢番图方程x4 -y4 =zp 与x2p±y2p=z2 均无正整数解;方程xp y2p=z2 仅有整数解 16 2 3 =32 ;方程x2p 2 kyp =z2 (k≥ 1)仅有整数解 12p 2 3 · 1p =32 ;同时还获得了方程x2 ±y4 =zp与x2 ±y4 =±z2p 的深刻结果,从而很大程度地支持广义Fermat猜想.     

向人类智慧挑战的一个数学问题——费尔马大定理的风风雨雨

主要介绍三个多世纪以来,一代又一代的优秀数学家,是怎样经过艰难曲折的不懈努力,解决于世界著名的数学难题－费尔马大定理。勇攀科学的高峰。     

关于Tijdeman猜想(Ⅱ)

1989年Tijdeman猜想设a,b,c是互素的正整数,m,n,r是大于1的正整数,则方程ax m+by n=cz r在1/m+1/n+1/r<1时仅有有限多组整数解;本文利用数论方法及Fermat无穷递降法,证明了丢番图方程x 8+my 4=z 2在m=±p,±2p,±4p,±8p及素数p满足一定条件下无正整数解,完善了Mordell等人的结果;并且获得了方程x 4-2py 4=z 2和x 4+8py 4=z 2的无穷多组正整数解的通解公式,从而获得了Tijdeman猜想与广义Fermat猜想的研究进展.     

关于Lucas猜想的推广形式

利用初等数论方法,证明了丢番图方程x(x 1)(2x 1)=2py^2在素数p≠1（mod8)时,仅有正整数解（p,x,y）=（3,1,1),(3,24,70),(11,49,105)。从而,获得了Lucas猜想的简洁初等证明,同时,基本解决了丢番图方程x(x 1)(2x 1)=Dy^n的求解问题。     

关于丢番图方程x3+y6=3pz2及其计算程序

设P=5(mod6)为素数，证明了丢番图方程x^3 y^6=3pz^2在P=5(mod12)为素数时均无正整数解，在P=11(mod12)为素数时均有无穷多组正整数解，并且还获得了该方程全部正整数解的通解公式，同时编写了计算正整数解的计算程序，可以很方便地计算该方程的正整数解．     

关于无理数的丢番图(Diophantus)逼近的两个定理

Jingcheng Tong在[1]中给出了无理数的丢番图逼近的一个引理和一个定理。本文指出[1]中的一个错误,并得到两个定理和一系列重要推论。