等积法教学中的迁移训练与能力培养

在求异面直线距离以及有关体积的证明问题中,等积法是一种简捷而又常用的方法。本文就等积法教学中对学生进行迁移训练和思维能力的培养谈一点体会。等积问题一若△ABC 的边长为 a、b、c、,各边上的高分别为 h_a、h_b、h_c,△ABC 的面积为 S,则S_(ΔABC)=1/2ah=1/2bh_b=1/2ch_c, (1)上述公式在学生开始学习三角形的面积时是显而易见的。但在高一学完异面线间的距离、     

三角形中若干定理的推广

△ABC中，有三边a、b、c，三角A、B、C；有重心(三中线交点)，内心(三内角平分线交点)，外心(三边中垂线交点)，垂心(三条高交点)；还有三个旁心(外角平分线交点)，下面我们研究将特殊点的性质推广到一般的情形。1．垂心的性质：如图(1)，H为△ABC的垂心，连结DE、DF，则∠ADE=∠ADF。     

关于一个几何不等式的进一步探讨

著名学者杨学枝先生在文 (1 )中证明了由他提出的猜想设 P为△ ABC内一点 ,点 P到△ ABC三边的距离分别为 h1 ,h2 ,h3 ,△ ABC的边长分别为 a,b,c,则有 :　 1h2 h3 1h3 h1 1h1 h2≥ 1 2 (1bc 1ca 1ab)　 1等号当且仅当△ ABC为正三角形且点 P为其中心时成立 .文 (2 )将 1式加强为设 P为△ ABC内一点 ,∠ BPC,∠ CPA,∠ BPA的角平分线分别交 BC,CA,AB于点 D,E,F ,记 PD =w1 ,PE =w2 ,PF =w3 ,BC =a,CA =b,AB =c,则有1w2 w3 1w3 w1 1w1 w2≥ 1 2 (1bc 1ca 1ab)　 2等号当且仅当△ ABC为正三角形且点 P为其中心时成立 .…     

类比思想方法的应用

所谓类比 ,是对两个或几个相似的对象进行“联想” ,把它们中某个较熟悉的性质转移到和它相似的对象上去 ,从而导致发现新规律。常用的类比有 :数与形的类比、特殊与一般的类比、平面与空间的类比、有限与无限的类比等等。一　数与形的类比例 1 :证明等式 :a -b1 +ab+ b -c1 +bc+ c -a1 +ab=a -b1 +ab· b -c1 +bc· c -a1 +ab分析 :联想到在△ABC中 ,tgA+tgB+tgC =tgA·tgB·tgC其中A+B+C =π再令a=tgα,b=tgβ ,c =tgγ即可。证明 :在△ABC中 ,有tgA+tgB+tgC =tgA·tgB·tgC其中A+B+C =π在等式证明过程中 ,主要用到tgC=tg(π-…     

一个包含勾股数的Euler函数非线性方程的正整数解

利用欧拉函数的性质与初等数论的方法,讨论包含勾股数的Euler函数非线性方程φ(xyz)=aφ(x)+bφ(y)+cφ(z)-m(a,b,c为勾股数且gcd(a,b,c)=1),当(a,b,c)=(3,4,5)且m=16时的正整数解情况,并证明该方程共有28组正整数解。     

一类Gk(a,b;c,d)图的着色

令Gk(a,b;c,d)表示θ(a,b,c k)∪ Pd(d≥2),其中Pd的一个端点与θ(a,b,c k)的一个3度点u重合,Pd的另一个端点w在Pc k上,且Pc k上w与θ(a,b,c k)的另一个3度点v间的路长为k.给出了G2(m,m;m,m)(m≥2)的着色.     

续论方程ax+by+cz=n

设a,b,c为正整数,(a,b,c)=1,x,y,z为非负整数,(a,b)=d,a=a_1d,b=b_1d,u,v为非负整数,当a_1u+b_1v能够表出c时,(1) ax+by+cz所不能表出的最大整数为M=(ab)/(a,b)+c(a,b)-a-b-c. [1]在a_1u+b_1v不能表出c时,c可以表成c=a_1r-b_1s或c=b_1s-a_1r,其中 a_1r+b_1s相似文献   

向量共线与共面的两种新的存在形式

对于任意的两向量a和b,如果存在一个向量c,使得a.c=0且b.c=0;则有a×b∥c;并对任意的三向量a,b,c,则a,b,(a×b)×c三向量必共面。     

有关方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))的正整数解

设φ(m)为Euler函数.本文探讨了方程φ(ab)=8(φ(a)+φ(b))的正整数解,利用初等方法给出了该方程的所有正整数解.根据方程φ(ab)=8(φ(a)+φ(b))正整数解的结论和已被讨论的相类似方程的正整数解的结论,证明了以下2个结论:对于任意正整数k,(a,b)=(2k,2k)是方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))的1个整数解;对任意的正整数k,(a,b)=(~(2k+1),2~k×3)和(2~k×3,2~(k+1))是方程φ(ab)=2~k(φ(a)+φ(b))的2个正整数解.     

随机线性拓扑空间

本文首次引入随机线性拓扑空间,并借助于随机线性泛函理论推广了Mackey定理与K.Fan不动点定理.1 随机线性拓扑空间的基本定义及性质定义1 称(E,{x~d}_(dε△)为数域K上以概率空间(Ω,σ,μ)为基的随机赋范空间((△,<)为某一定向集),如果E是数域上K的线性空间,对任给d∈△,映象x~d:E→L~+(Ω)(见文[1])满足下面各条(1)x_p~d∈L~+(Ω),且如果?d∈△,x_p~d(ω)=0a,s当且仅当p=θ; (2)x_α~dp(ω)=(α)x_p~d(ω)a.s?α∈E,p∈E,d∈△; (3)?e∈△,?d∈△使得?p,q∈E,都有X_(p+q)~e(ω)≤X_p~d(ω)+X_q~d(ω)a.s;     

欧拉不等式的一个分隔链

欧拉曾提出如下著名不等式R≥2r其中 R、r 分别为三角形的外接圆半径和内切圆半径,等号当且仅当三角形等过时成立(下同).本文给出它的一个分隔链.命题1 在△ABC 中(2(ab+bc+ca)-(a~2+b~2+c~2))/(3~(1/2)(a+b+c))≥2 <1>     

关于ω阶Euclid理想的一些性质

理想A称为ω阶Euclid理想,如果对任何a,b∈A,a≠0,有k阶可除链(k∈N),使得φ(rk)<φ(a),其中φ:A→NU{0}且满足:φ(x)≥0对任何x∈A;φ(x)=0当且仅当x=0.文章建立了ω阶Euclid理想与有限可除链之间的充分必要关系,证明了ω阶Euclid理想中两个元素(至少有一个不为零)存在最大公因子和每一个ω阶Euclid理想是主理想,构造了一个适当的例子,证明了ω阶Euclid理想上每一个n阶矩阵能通过初等变换简化为标准对角阵.     

带p-Laplacian算子四阶四点边值问题的正解

考虑带p-Laplacian算子的四阶四点边值问题φp(u(″t)))″=a(t)(ft,u(t),u(″t)),t∈[0,1],b1u(0)-b2u′(0)=0,b3u(1)+b4u′(1)=0,c1φp(u″(ξ))-c2(φp(u(″ξ)))′=0,c3φp(u(″η))+c4(φp(u(″η)))′=0其中:φp(s)=│s│p-2s,p>1;0<ξ,η<1;bi,ci(i=1,2,3,4)>0,c1c4+c2c3+c1c3(η-ξ)>0;a(t)∈C([0,1],[0,+∞)).通过Avery-Henderson不动点定理得到边值问题存在至少两个正解.     

三元变系数Euler函数非线性方程的正整数解

利用欧拉函数的性质与初等数论的方法,讨论了三元变系数Euler函数非线性方程φ(xyz)=aφ(x)+bφ(y)+cφ(z)-m,当(a,b,c)=(2, 3, 4),m=8时的正整数解情况,并证明了该方程共有32组正整数解.     

一类积数列方幂和

设a、b为复数,n,s,r,c,d为正整数△=c+rs,下面一类积数列方幂和直接计算公式为: 计算公式(1)是以组合数为基元的一次为项式(P=0,1,…,△),其项数至多为△+1项,系数D(△,P)是仅与a,b,s,r,c,d有关而与n无关的数,进一步将(1)化为关于n的△+1次多项式     

具有零因子的一类代数

[1]决定了具有 n(n≥2)个零因子且元数为 n~2的有限交换环的结构,本文考查代数的情形,将元数换成极大无关组所含元素的个数,决定相应的代数的结构.设 F 是特征零的域,K 是 F 上 n 次扩域,命A={(a,b)|a,b∈K},规定 A 的纯量乘法、加法、乘法分别为:α(a,b)=(αa,αb),Aα∈F,(a,b)+(c,d)=(α+c,b+d),(a,b)·(c,d)=(ac,ad+bc),     

关于不定方程1+5~a=7~b+5~c

本文将证明不定方程 1+5~a=7~b+5~c, (1)的整数解只有(a,0,a),即b=0,a=c,a为任意整数。显然,(a,0,a)是(1)的解。以下证明(1)除开(a,0,a)外,没有其他整数解。(以下所说的解均指整数解) 首先,证明(1)没有使b<0的解。引理1若(a,b,c)为(1)的解,则a,b,c不能同为负数。证明:若a<0,b<0,c<0,则记a＇=-a>0,b＇=-b>0,c＇=-C>0,(下同)。由(1)得     

一道IMO试题的探源及启发

第二十届 IMO竞赛有这样一题 :设 a,b,c分别为一个三角形三边的边长 ,证明 :a2 b( a- b) + b2 c( b- c)+ c2 a( c- a)≥ 0 ,并指出等号成立的条件。此不等式的左边是轮换式 (将 a换为 b,b换为 c,c换为 a时不变 )但不是对称式 (将 a,b互换时不变 ,将 b,c互换时不变 ) ,证明方法通常有两种 ,一种是把它化为一个不带附加条件 ,b+ c>a,a+ c>b,a+ b>c的不等式 ,即可令 a=y+ z,b=z+ x,c=x+ y,( x,y,z>0 ) ,另一种是设 a为最大边 ,即可令 a=x+ y+ z,b=x+ z,c=y+ z( x,y≥ 0 ,z>0 )代入不等式左边 ,然后证明其非负 ,最简单的方法是原联邦德国选手…     

关于单形几个定理的証明

在平面几何中,我们知道,若给定△ABC,其三边长分别为a、b、c,a边上的高为h_(?),三角形面积为S,则有面积公式S=1/2ah_a,余弦定理a~2=b~2+c~2-2bccosA,等。事实上,这些定理及公式都可以推广到高维空间中去。本文给出几个关于单形的定理及其证明。     

几种电容器的电容

<正> 如图一所示,两个沿 Z 轴(垂直于纸面)“无限长”的金属平板 A 与 B,其交角为α,其电位差为 v。由于场不依赖于 Z,故此问题是一个二维的问题。今选取极坐标(r,φ)解之。设平板电极由 r=c 延伸至 r=a+c,即假定板的宽度为 a。