关于Catlin-猜想的反例

Catlin的 2 /3—猜想 :若G是超欧拉图 ,G≠K1 ,那么G有一个欧拉生成子图H ,使得｜E(H) ｜≥ 23 ｜E(G) ｜ .给出了Catlin的 2 /3—猜想的一些反例     

关于Catlin的2/3—猜想

G表示一个图 ,若G有一个欧拉生成子图 ,则称G是超欧拉图。Catlin的 2 3—猜想 :设G是超欧拉图 ,G ≠K1,则G存在一个欧拉生成子图H ,使得｜E(H) ｜ ｜E(G) ｜≥ 2 3。笔者证明了对于Cayley图 ,猜想成立。     

Euler生成子图边数的一个定理

证明了：设G＝（V,E）是2－边连通的简单图,|V|＝n,δ（G）是G的最小度,若δ（G）≥max｛4,(n-4)/5｝时,G存在Euler生成图H,使得|E(H)|/1E(G)|≥2/3,即此时Catlin时的2／3－猜想成立。     

关于Catlin—猜想的一个定理

文献[3]给出了判定超欧拉图的一个定理：设G是一个2－边值通的不含K3－子图的简单图，n=|V(G)|≥31。如果δ（G）≥n/10，并且G不能被收缩成K2，3则G有一个欧拉生成子图。证明了在上述条件下，G有一个欧拉生成子图H使得|E(H)|≥2／3|(E(G)|,或者G－E（H）有平凡分支。     

Euler生成子图边数的一个定理

证明了设G=(V,E)是2-边连通的简单图,| V |=n,δ(G)是G的最小度,若δ(G)≥max{4,n-4/5}时,G存在Euler生成子图H,使得| E(H)|/|E(G)|≥2/3;即此时Catlin的2/3--猜想成立.     

极大欧拉生成子图边数的几个定理

利用收缩的方法研究了超欧拉图的欧拉生成子图的边数问题,得到了结果:若 1个超欧拉图的子图H最多差 1条边有 3棵边不交的生成树,如果把H收缩后的图满足Catlin猜想,则原图也满足Catlin猜想 .     

关于Euler生成子图极大边数的一个注记

若图G存在欧拉生成子图,则称G是超欧拉图(supereulerian).常用SL表示全体超欧拉图组成的集合 设G是有n个点的简单图,G∈SL,如果δ(G)≥ 4且δ≥n5-1,则G存在欧拉生成子图H,使得 |E(H) | / |E(G) |≥ 3/5     

关于判定超欧拉图的收缩法

P.A.Catlin提出一个问题：设H是图G的一个连通子图，如果G关于H的收缩图G/H有一个欧拉生成子图，那么在什么条件下G也有一个欧拉生成子图？研究了这一问题，讨论了Catlin提出的用收缩法判定超欧拉图的两个定理，给出了一些实用的超欧拉图的判别方法。     

一类具有生成闭迹的图

1987年，P．Paulraja在[2]中给出如下猜想：如果G是δ（G）≥3的2－连通图，且G的每条边均属于长为3或4的圈，则G有生成闭迹，同年P．A．Catlin在[3]中猜测上述的G还是可折迭的（Collapsible)，本文给出了这两个猜想的证明。     

3-边连通图中的超欧拉图

一个含有生成闭迹的图称为超欧拉图。设G是n阶3－边连通图，若对任意G的边数为3的最小边割E都满足G－E遥每一连通分支的阶至少为（n-1）／10，则或者G是超欧拉图，或者G可收缩为G‘＝Petersen图，且G‘的每个顶点在G中的原像是G的一个可折叠子图，其顶点数至少是（n-1）／10。     

关于Catlin-猜想的一个定理

文献 [3 ]给出了判定超欧拉图的一个定理 :设G是一个 2 -边连通的不含K3-子图的简单图 ,n=｜V(G) ｜≥ 3 1 如果δ(G) ≥ n1 0 ,并且G不能被收缩成K2 ,3,则G有一个欧拉生成子图 证明了在上述条件下 ,G有一个欧拉生成子图H使得 ｜E(H) ｜≥ 23 ｜E(G) ｜ ,或者G -E(H)有平凡分支     

关于Catlin的2／3—猜想

表示一个图，若Ｇ有一个欧拉生成图，则称Ｇ是超欧拉图。Ｃａｔｌｉｎ的２／３－猜想：设Ｇ是超欧拉图，Ｇ≠Ｋ１，则Ｇ存在一个欧拉生成子图Ｈ，使得Ｅ（Ｈ）／Ｅ（Ｇ）≥２／３。笔者证明了对于Ｃａｙｌｅｙ图，猜想成立。     

一类含两棵边不相交生成树的图

若C有一个生成子图是欧拉图,则称G是超欧拉图(supereulerian graph).用SL表示全体超欧拉图的集合.1995年,赖虹建(LAI Hong-jian)、陈志宏(CHEN Zhi-hong)提出一个关于欧拉生成子图边数的公开问题;决定:L=min max G∈SL-{K1}{|E(H)|/|E(G)|} : H是G的欧拉生成子图}定义了一些含两棵边不相交生成树的图Fi(i=1,2,3),证明了如果G∈F3,那么L≥2/3.     

每点都与3度点相邻的最大临界3棱连通图的结构

没G=(V,E)是3棱连通图,若对每个x∈V(G),G-x 不是3棱连通的,则称G 为临界3棱连通图.p 阶临界3棱连通图的全体记为(?)_3(p),G∈(?)_3(p)称为最大的,如果不存在H∈(?)_3(p),使|E(H)|>|E(G)|.本文给出每个点都与3度点相邻的p 阶最大临界3棱连通图的结构.     

图的Laplacian谱半径的界

设G为n阶简单连通图，V（G）为G的顶点集，E（G）为G的边集，du表示顶点u的度，Tu表示顶点u的2－度，μ（G）表示图G的Laplieian谱半径。该文证明了μ（G）≤man{√du^2 dv^2 Tu Tv|uv∈E(G)}。特别，若G为偶图，则min{√du^2 dv^2 Tu tv}uv∈E（G）≤μ（G）≤min{√du^2 dv^2 Tu tv|uv∈E(G)}。     

Sm∨Fn的全色数

设G(V,E)是阶数至少是2的简单连通图,k是正整数,若f是从V(G)∪E(G)到{1,2,…,k}的一个映射,使得:对于任意的uv,vw∈E(G),u≠w,有f(uv)≠f(vw);且对于任意的uv∈E(G),u≠v,有f(u)≠f(v),f(u)≠f(uv),f(v)≠f(uv),则称f为G的一个k-全染色(简记成k-TC of G).而χt(G)=min{k|k-TC of G},称为G的全色数.设G和H是点边都不相交的简单图,V(G∨H)=V(G)∪V(H),E(G∨H)=E(G)∪E(H)∪{uv|u∈V(G),v∈V(H)},则称G∨H是G与H的联图.给出m 1阶星和n 1阶扇的联图的全色数.     

边数较少的图的线性荫度

设G是一个连通图且满足|E|≤|V| [3△／2]-4,则它的线性荫度la(G)=[△／2],同时得到了一个与树相关的结果。     

有低最大平均度的图的(2,1)-全标号

图G的最大平均度mad(G)是其所有真子图的平均度的最大值,即mad(G)=max{(2|E(H)|)/(|V(H)|)},H■G.文中证明了:若G为连通图,△(G)≤3,mad(G)9/4,则λ_2~T(G)≤5.若G为连通图,△(G)≤4,mad(G)5/2,则λ_2~T(G)≤7.     

连通图中圈数

用|V（G）|、|E（G）|和f（G）分别表示图G的顶点数、边数和圈数．设F（k）＝｛f（G）;G是满足|E（G）|－|V（G）|＝k的无环连通图｝,n（k）＝minF（k）和N（k）＝maxF（k）．证明了下述结果：（1）n（k）＝k＋1;（2）N（k）≤2k+1;（3）对每个整数k≥1,N（k）≥2k＋k（k－1）＋1且当1≤k≤4时等式成立;（4）对每个整数k≥1是奇数时,N（k）≥2k3;当k≥2是偶数时,     

与任意图2-正交的(g,f)-因子分解

设G是一个图，用V(G）和E(G）表示它的顶点集和边集，并设g(x）和f(x）是定义在V(G）上的两个整数值函数，且对每个x∈V(G），有4≤g(x)≤f(x)，则图G的一个支撑子图F称为G的一个（g，f）-因子，如果对每个x∈V(G)，有g(x)≤dF(x)≤f(x)。图G的（g，f）-因子分解是指E(G）能划分成边不交的（g，f）-因子，设F={F1,F2,…,Fm}和H分别是图G的因子分解和子图，若对所有1≤i≤m有|E(H)∩E(Fi）|=2，则称F和H2-正交。本文证明：若G是一个（mg m-1，mf-m 1）-图，H是G中任一有2m条边的子图，则G有一个（g，f）-因子分解与H2-正交。