关于欧拉圆的证明方法

<正> 命题:三角形三边的中点,三高线的足,垂心与各顶点连线的中点共九点位于同一个圆上。(此圆称为三角形的欧拉圆或九点圆)。 此命题在十九世纪初已被发现,其证明方法以学科而论,可分为初等几何证法与高等几何证法两种。所谓初等几何证法,即是从欧氏几何的公理体系纯逻辑地进行推证,但一般地我们也把向量法列入欧氏几何之中;所谓高等几何证法,即是从射影几何学的公理系统中纯逻辑地论证命题。然     

利用凸函数的性质证明几何命题

讨论了凸函数的性质,然后利用凸函数的这些性质和Jensen不等式,证明有关三角形中内角和边的几个不等式,显示出凸函数在证明几何命题中的作用.     

从《几何原本》到《方法论》

几何学起源于观天测地这一类实践活动。公元前三百年，希腊几何学家欧几里得（Euclid，B．C．330-B．C．275）总结前人的经验写成《几何原本》。他把人们公认的一些概念和命题列为定义和公理，在此基础上用演绎法叙述几何命题，证明几何定理。《几何原本》是数学中公理体系和演绎推理的典范。它有许多版本（十三卷或十五卷），被译成各种文字在世界范围内广泛流传。最初它的公理体系是不完整的，后来由德国数学家希尔伯特（D．Hilbert）重新整理和完善，至今为止的中学平面几何和立体几何的内容仍属于欧几里得几何。《几何原本》的中文译…     

三角范畴定义中八面体公理的等价命题及其应用

三角范畴是一个带有自同构的加法范畴,并且满足4条公理,其中的1条重要公理是八面体公理.由Grothendick-Verdier在上个世纪60年代提出的八面体公理相对于其它3条公理形式比较复杂,应用起来比较不方便.因此研究八面体公理的其它等价命题引起了人们的兴趣.本文在王济荣工作的基础上给出八面体公理的第1个等价命题,再利用对偶的思想导出八面体公理的第2个等价命题.最后利用homotopy cartesian得到八面体公理的第3个等价命题,并利用第3个等价命题简化Peng和Tan的证明.     

关于CANTOR超穷数论上几个基本问题的定性分析和连续统假设的“不可确定性”的研究

节目:§0.引言§1.论连续统问题成为困难的根本原因以及“过程论”观点被提出的必要§2.三个基本原理§3.超穷序数列和数列产生法则的研究§4.Burali-Forti誖论本质的分析§5.论超穷归纳法原理的实质§6.论延伸规律的意义和狭义的Zermelo选择公理的实质§7.论Zermelo关于整序定理的第一证法和“叙列”的“飞跃式”结构§8.论整序定理适用范围的最大限度问题     

现行中学《几何》教材中的一处逻辑错误

义务教育三年制初级中学《几何》第二册以民教育出版社1990年第1版）第10页和第14页对三角形内角和定理和三角形的外角定理是这样处理的：三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180．已知thABC图）求证zA＋LB＋LC＝180证明作BC的延长线CD，在凸ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边画ZI＝zA（如图）．于是CE／／BA（内错角相等，两直线平行）．…ZB＝ZZ（两直线平行，同位角相等）又’．’LI＋zZ＋ZACB＝18ry（平角定义）．－．zA十三B＋ZACB二180这一定理本身的证明没有错，并且在教材中安排的位置和出现时间都是适宜的…     

数学与唯物辩证法——数学真理的相对性与绝对性

数学真理是相对的还是绝对的?这是长时期围绕数学真理进行争论的主要问题之一。辩证唯物主义认为,数学真理既是相对的,又是绝对的,是相对与绝对的对立统一。我们所讲的数学真理的相对性是指什么呢?先看几个例子。例1,随便拿一个几何命题“三角形三内角和等于180°”来说,它是正确的。但其正确性是有条件的。如果我们所讨论的三角形是属于欧氏平面上的,其内角和的确为180°。但若     

选择公理及其等价命题

<正> 选择公理是Zermelo 1904年为证明良序定理所提出,它大大推动了近代数学的发展,在逻辑严密性方面也有重要作用。但是,也有人持不同看法,认为该命题未加证明而怀疑其正确性。自Godel工作出来后,在数学上大量应用选择公理、良序定理、Zorn引理等工具进行研究,取得很多好的成果,仅与选择公理等价的命题就有二十多个,它涉及代数、几何、集合论等方面。本文仅就代数方面常用的选择公理、良序定理、Zorn引理的等价性给出证明。为简便计,将它们写在下面,用循环法给以证明。     

谈现行中学几何教材公理体系的几个问题

本文在介绍了希尔伯特现代化公理法和现行中学几何教材公理系统异同的基础上，从五 个方面详细地阐述了如何看待中学几何教材的公理化系统问题；最后，又分五个阶段论述了怎样通过几何教学培养提高学生的数学能力问题．     

Ulam在重构猜想的一些讨论

Ulam重构猜想是图论中一个至今还没有得到根本解决的著名难题。本文首先建立了图的度序列的一种新的表达方法(§1)。然后在这种新表达方法的基础之上,得到了相容的三个必要条件(§2)。引入了几个新概念,得到了证明Ulam猜想成立或否定其正确性的一个新标准(§3),证明了当母图度序列为{M_i)}_(i=1)~n{a(i0)-di}_(i=1)~n时,Ulam猜思正确的结论,最后作为两个特殊情况,得到了当派生母图是欧拉图或正则图时,Ulam猜想亦正确的结论(§4)。     

二倍角三角形的三边关系初探

三角形中如果一个内角是另一个内角的两倍，那么它的三边长之间也必然存在着一定的数量关系。本文对这种数量关系作了初步的研究。并对其在求边长、求角、证明等式、证明不等式、判定三角形的形状、求轨迹方程及其它方面的应用作了有益的探索。     

谈“发展式”教学法

“发展式”教学法是教师不直接讲授现成的知识给学生,而引导学生自己去发现命题和规则的一种教学方法。例如,讲《三角形内角和》一课,开始教师根本不提“三角形内角和”,而是和学生一起取出各自预先用纸或纸板剪成的三角形模型,撕下其中的两个角拼到第三个角上去,(学生可任意拼,教师应在黑板上拼成(图1)式样,而不要拼成(图2)式样,     

线性及非线性Gronwall-Bellman-Bihari型积分不等式

本文讨论周知的Gronwall-Bellman-Bihari型积分不等式的几种推广.§1证明三个线性积分不等式,它们包含着[1]及[4]中的两个不等式.§2和§3分别讨论具有一个及多个非线性积分泛函项的不等式,所得结果推广了[2][3][7]中的已知定理.§4对含具双重非线性性质的积分泛函的不等式给出了两个结果,推广了[8]及[5]中的相应结果.     

谈射影几何公理体系与Hilbert公理体系的异同

众所周知,公理化方法是研究近代数学分支的重要方法,它对近代数学的发展起到了巨大的推动作用.因此我们用公理化方法的观点来比较射影几何公理体系与希尔伯特(Hilbert)公理体系的异同,就有助于我们更好地理解和掌握射影几何学.为了更好地对射影几何公理体系和希尔伯特公理体系进行比较,下面我们先列出一组射影几何学的公理体系,然后再进行比较.     

高等几何与初等几何

欧氏几何作为仿射几何、射影几何的子几何,使我们有可能把初等几何、解析几何放到更为广阔的背景中去考虑,有助于弄清欧氏几何与其它几何的联系与区别,以便从高观点下把握和处理中学教材,这无疑对中学几何教学有很大的指导作用.如何来认识这种指导作用,笔者认为至少应注意以下5个方面:1.用高等几何的方法给出初等几何命题的简洁证明,如利用笛沙格(Desargues)定理证明三角形的三条中线交于一点;利用交比证明有关圆的问题;利用完全四点形的调和性,可     

二维常曲率空间中的2个几何不等式

对于二维常高斯曲率空间Σ上的测地三角形,研究了其内角的优超关系,并运用优超理论得到2个新的关于其三内角的几何不等式.     

关于数值积分对有限元影响的几个问题

本文§1分析了数值积分误差对稳态问题有限元近似的‖、‖_(δ,∞)(δ=0、1)模估计,超收敛和外推的影响。§2证明了一次代数精确度的积分公式(求积节点取为三角形的形心或三个顶点)的误差不会降低特征值线性有限元外推的h~4精度阶。     

怎样教学文字叙述的几何证明题

学习几何离不开证明，而文字叙述的几何命题的证明是教学中的难点。怎样才能使学生学好证明文字叙述的几何命题，笔者有以下几点体会。一、要切实让学生学好几何基础知识学好定义、公理、定理等几何基础知识，对概念会深刻理解其含义，对定理、公理能彻底弄清题设与结论。二、必须使学生学好几项基本功1、学会正确审题，弄清已知什么，要证什么，并且会挖掘隐含条件。比如：求证等腰三角形两底角的平分线相等（见人教版初二《几何》第70页例4）。在证明时就要用到隐含条件中的公共角或公共边相等。2、学会正确识图与画图所谓识图，就是指观…     

关于拟次加泛函的一点讨论

本文的目的是:1、指出文〔1〕§4.6定理1证明中的某一步可以简化;2、文〔2〕§2定理1和定理2关于泛函拟次加性的要求实际上可以放宽;3、给出在某种条件下广义拟次加泛函的一个特征。 下面分别说明以上三点。 一、在文〔1〕§4.6的定理1中,定义,而在文〔2〕中定义V_1=     

用极限方法巧证一道平面几何命题

<正> 众所周知,一般证明一个三角形的三条中线交于一点的方法,往往先设两条中线交于一点,再将交点与第三顶点连线,证此直线即为第三条中线,本人欲用极限方法证明上述命题。 命题:给定一三角形ABC,如图,其三边中线为AA_1、BB_1、CC_1。 证明:AA_1、BB_1、CC_1交于一点。