Pell方程x~2-Dy~2=±2的解的递推性质

在各类不定方程中,Pell方程x2-Dy2=N是一类基础而重要的Diophantine方程,其正整数解与实二次域的基本单位以及其它代数数论理论有密切联系,对解高次丢翻图方程以及有关递推数列问题有广泛且深入的应用.利用Pell方程的基本解的性质,对方程x2-Dy2=±2的通解进行了讨论,获得了该方程解的一个三阶递推性质,证明了文献(A.Tekcan.Irish.Math.Soc.Bulletin,2004,54(1):73-89.)提出的一个猜想.最后,提出了关于Pell方程x2-Dy2=-2可解性的一些待解决的问题.     

关于方程x~2 y~2=2z~2的正整数解

方程x~2 y~2=2z~2 (1)的正整解为 i 当其正整解相等时,有x=y=z=t,其中t∈N={1,2,3,…}; ii 当其正整数解互不相等且同为奇数时,有x=m~2 2mn-n~2,y=|-m～2 2mn N~2|,z=m~2 n~2,其中m,n∈N,m>n,(m,n)=1,m、n为一奇一偶。证明 i 显然。今证ii。由方程 (1) 知,它的正整数解x,y,z同为奇数或同为偶数,否则方程 (1) 是不成立的。特x,y为奇数,z为偶数,令x=2p 1,y=2q 1,z=2u,其中p,q,u∈N。将x,y之值代入 (1) 并将其两边同除以2,则其左边等于2(p~2 q~2 p q) 1为奇数,而右边等于4u~2为偶数,引出矛盾,方程 (1) 不成立。故方程 (1) 不存在x,y为奇数而z为偶数的解。同理可证方程 (1) 不存在x,y为偶数而z为奇数,或x,y一奇一偶而z为奇数,或x,y一奇一偶而z为偶数的正整数解。所以方程 (1) 的互不相等的正整数解x,y,z同为奇数或同为偶数。而要求方程 (1) 的同为偶数的解x,y,z,这可将方程 (1) 的同为奇数的解x,y,z     

关于不定方程4x~2-py~2=1

研究了二次不定方程4x2-py2=1(p为奇素数),对于特例p=m2±2(m为正奇数),利用Pell方程x2-py2=1的正整数解公式得到了原方程的所有正整数解.另外还证明了p=1,5(mod8)时方程4x2-py2=1无正整数解.     

关于丢番图方程2py~2=2x~3+3x~2+x的解

本文运用初等数论简单同余法、分解因子法及反证法等,得到丢番图方程2py2=2x3+3x2+x,(p为素数)无正整数解的情况.(1)当p≡1(mod 8),p≡5(mod 8),p≡7(mod 8)时,则方程无正整数解;(2)当p≡3(mod 8)时,Un+Vnp(1/2)=(x0+y0p(1/2))n.其中x0,y0是Pell方程x2-py2=1的基本解,当n≡0(mod 2)时,则方程无整数解;当n≡1(mod 2)时,若2|x0,则方程无整数解.特别是p≡3(mod 8)且p100时,2|x0,则方程无整数解.     

关于Diophantine方程x2+2y2=Zn

讨论了Diophantine方程x2+2y2=zn在xy≠0,(x,y)=1时有解的充分必要条件及用代数数论的方法给出(x,y)=1,n≥2时方程整数解的一般公式.     

关于Diophantine方程x^2＋2y^2=z^n

讨论了Diophantine方程x^2＋2y^2=z^n在xy≠0,（x，y）=1时有解的充分必要条件及用代数教论的方法给出（x,y）=1，n≥2时方程整数解的一般公式。     

关于Pell方程x~2-3y~2=1与y~2-2~nz~2=16的公解

利用递归序列、奇偶分析、同余的性质和Pell方程的解的性质等方法研究Pell方程x~2-3y~2=1与y~2-2~nz~2=16的公解的情况.     

关于2-Hessian方程解的全局C2估计的一个注记

采用2-Hessian方程C~2估计的检验函数方法,研究了一般2-Hessian型方程σ_2(λ(D~2 u+B))=f(x,u,Du)的Dirichlet问题解的全局C~2估计.所得结果在形式上对关于2-Hessian方程C~2估计的结果做了一般化的发展,建立了该方程解的全局C~2估计,进而得到了该方程Dirichlet问题解的存在性.     

关于丢番图方程p~2-2q~2=-1

Berger在关于有限群的工作中提出了丢番图方程p~m-2q~n=±,p.q素数,m>1,n>1.(1)Grescenzo在1975年对此进行了研究。并问:是否存在无穷多对素数(p.q)适合p~2-2q~2=±1,p.q素数 (2)对于方程p~2-2q~2=1.模4立刻得到该方程有唯一素数解p=3.q=2。困难的是丢番图方程p~2-2q~2=-1,p.q素数 (3)对于方程(3),目前还没有什么结果。本文通过研究pell数的性质,得到一糸列(2)有解的必要条件     

关于丢番图方程x4+18px2y2+108p2y4=z2

利用Fermat无穷递降法,证明了方程x4+18px2y2+108p2y4=z2与x4-36px2y2-108p2y4=z2在p≡5(mod6)为素数时均有无穷多组正整数解,并且获得了方程无穷多组正整数解的通解公式,同时还编拟了方程正整数解的计算程序,从而完善了Aubry等人的结果.     

CO2-C4H9OH-H2O体系的立方型状态方程研究

利用PR、SRK、HK、PT状态方程(EOS)计算CO2、C4H9OH、H2O纯组份的饱和性质及CO2的压缩因子.结果表明,PT方程对水、二氧化碳的蒸汽压及密度预测较佳.对丁醇的密度推算,PT方程最佳,PT方程对丁醇的饱和蒸汽压预测一般.考察了PT方程参数的影响,指出应根据相平衡的温度范围选取相应的PT方程参数.对CO2-C4H9OH-H2O体系相平衡的研究宜选用PT方程.     

X2+XY-Y2+k=0正整数解的条件

方程X2 XY-Y2 k=0具有Fibonacci数列的正整数解,并且方程X2 XY-Y2 k=0具有Fibonacci数列的正整数解时满足一定约束条件.Lucas数列实际上是一种广义Fibonacci数列.方程X2 X-1=0的正整数解也与Fibonacci数列有关.     

方程xp±y2p=z2与广义费尔马猜想

设p为奇素数,证明了丢番图方程x4 -y4 =zp 与x2p±y2p=z2 均无正整数解;方程xp y2p=z2 仅有整数解 16 2 3 =32 ;方程x2p 2 kyp =z2 (k≥ 1)仅有整数解 12p 2 3 · 1p =32 ;同时还获得了方程x2 ±y4 =zp与x2 ±y4 =±z2p 的深刻结果,从而很大程度地支持广义Fermat猜想.     

谈谈丢番图方程x~2+y~2=z~2

本文讨论了丢番图方程（1）的本原解的公式，介绍了费与（Fermat）无穷递降法，证明了丢番图方程x4±4y4=z2，x4+y2=z4无xyz≠0的解，并讨论了几个特殊的丢番图方程的解。     

关于Pell方程x^2=2py^2=—1

提出了Pell方程x2－2py2＝－1无整数解的一个新结论．     

解不定方程x~2 ax-2y~2=0的一个初等方法

本文给出不定方程x~2 ax-2y~2=0求解的一个初等方法,其中a为自然数(此方程的更一般形式的求解方法参看:柯召、孙琦,《谈谈不定方程》,上海教育出版社,1980年,第36页)。容易看出,方程 x~2 ax-2y~2=0 (1)一定有解。实际上,令x=y=a,则 a~2 a·a-2a~2=0 所以(a,a)是方程(1)的一组解。如果(x_0,y_0)是方程(1)的解中的最小者,则(x_0,y_0)叫做(1)的最小解。因     

关于不定方程（1^2＋2^2＋…＋n^2）/n=m^2

本文利用Pell方程,给出了不定方程（1^2＋2^2＋…＋n^2）/n=m^2的一切正整数解.     

方程x4-6px2y2+12p2y4=z2与Aubry猜想

利用Fermat无穷递降法,证明了方程x4-6px2y2 12p2y4=z2与x4 12px2y2-12p2y4=z2在p≡5(mod6)时均有无穷多组正整数解,并且获得了方程无穷多组正整数解的通解公式,从而完善了Aubry等人的结果.     

关于丢番图方程x2±xy+y2=k

讨论了方程x2±xy+y2=k的可解性,利用C语言编写出方程x2±xy+y2=p和x2±xy+y2=3P的计算程序,并获得方程在一定范围内的所有正整数解。     

关于Diophantine方程kx~4-(2k+4)x~2y~2+ky~4=-4

利用Pell方程及同余的性质给出了Diophantine方程G:kx4-(2k+4)x2y2+ky4=-4仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1)的充分条件。证明了:1)若k≠12(mod 16),则Diophantine方程G仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1);2)若k=4m,m≡3(mod4),且2︱s或s≡0(mod 4),t≡3,5(mod 8)或s≡2(mod 4),t≡1,7(mod 8),则Diophantine方程G仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1),这里s+t m1/2是Pell方程x2-my2=1的基本解。