复变换Z←αZ＋ti在分形构图中的应用

该文详细阐明了复变换Z＝αZ ti的定义，严格证明了复变换迭代收敛定理及该复变换迭代图形是分形图；提出了分形图局部相切的条件为α＝sin(x／n)／[1 sin(x／n)]，且当α大于该值时，各局部吸引子相交，小于该值时相离，为分形构图提供了判别依据；文中还详细讨论了在复变换基础上各种变形分形图形的构图规则，并提出了一种新的构图方法．     

科学与艺术的结晶《Mandelbrot-Julia混沌分形图谱》——五大宇宙定律与时空谱

提出了一种具有Mandelbrot-Julia混沌分形图谱的曼德布罗特(Mandelbrot)混沌分形时空观,对经典的逃逸时间算法加以改进,提出了旋转逃逸时间算法,构造了一系列由复映射变换f1(z)=zm+c(m≥2,m∈N)和f3(z)=zω+c(ω=α+iβ)所确定的广义Mandelbrot集(简称M-集或M-分形图)及其对应的Julia集(简称J-集或J-分形图),提供了对其深入研究的新现象、新图形和新规律"图中嵌图、形中镶形、拉压与折叠、统计自相似、无限周期有稠性、混沌分形有新序".算法利用面向WEB的Java Applet技术实现,提供了一种基于Internet的分布式混沌分形理论研究机制.     

变参数离散动力系统的不动点及其分形图

研究了一类变参数离散动力系统Zk 1=f(λk，Zk，Z↑-k)的不动点分布规律，对该迭代系统的动力行为特征做出了猜想，且利用研究结果和计算机可视化技术中的逃逸时间算法得到了若干二维n次迭代映射中的分形图。计算机图示实验的结果对猜想提供了佐证。     

拓扑嵌套分形空间构造广义高阶M集

通过计算机数学实验方法,对高阶复映射f:z←zn+c(n>2,n∈N)利用逃逸时间算法,构造一系列高阶Mandelbrot混沌分形图,从而发现其拓扑不变性以及周期芽苞分布与映射阶数之间的关系,并利用旋转对称性,改进了逃逸时间算法,提出了旋转逃逸时间算法·根据此算法利用面向WEB的JavaApplet绘制了高阶M集分形图,解决了复杂条件下混沌分形系统计算机模拟的时空复杂性,提供了一种基于Internet的分布式混沌分形理论研究机制·     

复映射f(z;c)=z~(-2)+c倍周期芽苞Julia集的标度性

利用逃逸时间算法绘制了复映射f(z,c)=z-2+c倍周期超吸引点处Julia集的分形图,指出M集与J集之间的紧密联系·通过大量试验,得到了构造任意倍周期超吸引点处符号序列的一个规律,由此规律提出一种构造字提升方程的算法,并利用该算法获得了主轴上超吸引点的精确解以及Julia集的不动点·研究发现Julia集存在两个普适常数,并通过试验在非主轴上验证了普适常数的正确性·     

由复映射z←z~α c(α>0)所构造的广义M集嵌套拓扑分布结构的探讨

阐述了由复映射ｚ←ｚα ｃ(α >0 )所构造的广义Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ集 (简称广义Ｍ集 )的定义 :改变参数α ,作出了一系列分形图 ,这些分形图类似若干花瓣的花朵 ;研究了广义Ｍ集的嵌套拓扑分布结构及四种演化过程·由复映射z←z~α c(α>0)所构造的广义M集嵌套拓扑分布结构的探讨@王兴元 @朱伟勇     

基于分形可视化方法研究广义3x+1函数的动力学特性

将“3x 1”函数推广到复平面,得到两种不同的复映射形式．分别利用逃逸时间、停止时间和总停止时间算法,构造了这两种复映射的分形图,并基于分形图的结构特征分析了广义3x 1函数的动力学特性．结果发现:(1)3种分形图的稳定区、停止区、总停止区和发散区的大小与结构均依赖于映射在x轴和y轴方向的收敛率．(2)逃逸时间和总停止时间分形图的黑色稳定区基本重合,说明3x 1函数有稳定的收敛性．(3)3种分形图都关于x轴对称;而正整数点邻域的结构还关于过该点的某邻近点的垂线对称,并具有精细的分形结构特征．这表明在复平面整数点的邻域中广义3x 1函数蕴藏着丰富的信息,有待进一步研究．     

Julia集的逃逸时间生成方法研究

Julia集是分形理论中具有重要地位的集合.针对非线性复映射迭代函数f(z)=zn+c,给出利用逃逸时间算法生成分形图的算法步骤.对影响分形图形状和分形图生成时间的关键参数进行研究.分析了参数c对Julia分形图形状特征的影响,给出了视窗参数取值范围B、收敛区域半径Rmax和迭代次数控制参数Nmax的取值极限.结果表明,对控制参数进行恰当的取值,可以减少总迭代次数,提高算法的运算效率.     

变参数复迭代系统的吸引子及其分形图

研究了一类变参数复迭代系统Ｚｋ＋１＝ｆ（λｋ，Ｚｋ，Ｚ－ｋ)的吸引子分布规律，对该迭代系统的动力行为特征作了猜想，且利用研究结果和计算机可视化技术中的逃逸时间算法得到了若干二维ｎ次迭代映射中的分形图，计算机图示实验的结果为猜想提供了佐证.     

正实数阶广义J集的嵌套拓扑分布定理

阐述了正实数阶广义Ｊｕｌｉａ集(简称广义Ｊ集)的理论;通过改变参数α,作出了一系列广义Ｊ分形图,这些分形图类似若干花瓣组成的花朵;给出了广义Ｊ集的嵌套拓扑分布定理,并对α取非整数时广义Ｊ集的演化过程和雏瓣出现的原因进行了分析·     

构造高阶广义Julia分形图及旋转逃逸时间算法

应用作者提出的“旋转逃逸时间算法”，构造了一系列高阶复映射变换；ｆ（ｚ）＝ｚ＾ｍ＋ｃ的高队Ｊｕｌｉａ。由于算法的改进，不仅使这些独特而奇妙的Ｊ－分形图特别引人赏心悦目，而且使构造和应用这些分形图并为电脑艺术家建立分形图图库创造了有效的途径。     

黑石顶森林群落演替系列α多样性的尺度效应

以广东黑石顶自然保护区森林植被演替过程为研究对象 ,采用样带调查法取样 ,研究了针阔叶混交林样带及常绿阔叶林样带上取样尺度变化对群落α多样性测度的影响 ,以及α多样性测度与取样尺度之间的分形关系。结果表明 :①物种丰富度指数及Shannon指数在取样尺度逐渐扩大时 ,呈现出先急剧增加后缓慢增加的规律 ,显示出一定范围内尺度对样带α多样性测度具有强烈影响。通过α多样性指数随尺度的变化曲线估计 ,针阔叶混交林样带上比较适宜的取样尺度明显小于常绿阔叶林样带 ;②混交林样带上α多样性与取样尺度之间的分形关系比阔叶林样带明显。表明阔叶林样带比混交林样带在群落组成结构上具更高的空间变异。同时 ,对α多样性研究中的标准取样尺度问题进行了探讨 ,提出了“相对最大表现尺度”的概念。     

正实数阶广义M集的嵌套拓扑分布定理

阐述了由复映射z←zα+c(α>0)所构造的广义Mandelbrot集(简称广义M集)的定义;通过改变参数α,作出了一系列正实数阶广义M分形图,这些分形图类似若干个花瓣组成的花朵;给出了正实数阶广义M集的嵌套拓扑分布定理,并对α取正小数时选取相角θ∈[0,2π)的广义M集的雏瓣的出现原因、位置及大小进行了分析·     

影响复迭代分形图的若干因素分析

提出影响复迭代变换Z=Zα C对应分形图的一系列因素,并利用计算机图示实验和数据分析方法对这些影响因素进行了分析。     

广义M集演化的研究

阐述了由复映射ｚ←ｚα＋ｃ(α∈Ｒ)所构造的广义Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ集(简称广义Ｍ集)的定义;通过改变参数α,作出了一系列广义Ｍ分形图;研究了广义Ｍ集的分形结构特征及其演化过程,发现相角θ范围的不同选取导致了广义Ｍ集的不同演化,并首次给出广义Ｍ集的４种演化过程·     

复变换Z←aZ+ti在分形构图中的应用

该文详细阐明了复变换Z=aZ ti的定义,严格证明了复变换迭代收敛定理及该复变换迭代图形是分形图;提出了分形图局部相切的条件为a=sin(π/n)/[1 sin(π/n)],且当a大于该值时,各局部吸引子相交,小于该值时相离,为分形构图提供了判别依据;文中还详细讨论了在复变换基础上各种变形分形图形的构图规则,并提出了一种新的构图方法.     

基于割线法和逃逸时间算法实现分形图形

介绍了一种运用割线法在复数范围内进行反复迭代运算求根,然后根据求根的结果绘制分形图形的方法,绘制出的分形图优美而玄妙,几何意义明显.在此基础上加入逃逸时间算法的思想,绘制出了次数更高、根值更加复杂的分形图形,进一步扩展了它的使用范围.     

M-J混沌分形图谱的标度不变性

研究了复映射z←z2+c所产生的MJ混沌分形图谱的特征参数,利用逃逸时间算法绘制MJ混沌分形图谱·以超吸引周期点为基础,通过计算机数学实验计算超吸引周期点之间的距离,找到Mandelbrot集的普适常数δ;通过在M集上的超吸引周期点所对应的充满Julia集中定义一些几何尺寸,求出J集的近似标度不变因子α,定性说明了MJ混沌分形图谱标度不变的特性·同时,发现Mandelbrot集周期芽苞的Fibonacci序列的拓扑不变性,阐述了Fibonacci序列是通向混沌的又一途径,为更好地了解MJ混沌分形图谱的结构奠定了理论基础·     

广义M-集周期芽苞Fibonacci序列的拓扑不变性

研究了复映射z←zα+c(α<0)所产生的广义Mandelbrot集,利用逃逸时间算法绘制广义M集混沌分形图谱,经大量计算机数学实验,得知逃逸区嵌于稳定区中,并由此得出稳定区的周期数·同时利用代数方程解出周期芽苞的数量及位置,为更好的了解M集的结构提供了理论依据·另外作者发现M集周期芽苞的Fibonacci序列的拓扑不变性,并在目前公认的通向混沌的三种途径的基础上,阐述了Fibonacci序列是通向混沌的又一途径,为建立新的数据加密、压缩、存储等方法提供了理论基础     

复映射z←sinz2+c的广义M-J混沌分形图谱

推广了由多项式函数族构造的M J混沌分形系统,研究了复映射z←sinz2+c所构造的广义M集和J集,利用逃逸时间算法绘制了M集和J集的混沌分形图·通过大量计算机数学实验,找到了M集各主要周期芽苞的分布规律,并与具有典型意义的复映射z←z2+c所构造的M集进行了对比分析,指出了两者之间的异同·发现了复映射z←sinz2+c的广义J集的非连通特殊性,分析了图谱构成及周期点位置,指出其具有无穷嵌套、自相似的分形结构·通过研究各周期芽苞内的点所对应的J集分形图,得出了广义M集周期芽苞内点的周期数与相应J集吸引周期轨道周期数相等的结论,并讨论了M集与J集之间的对应关系·