巴斯加线性质的研究

论证了巴斯加（Ｐａｓｃａｌ）线的两条性质：在巴斯加定理中的６０ 条巴斯加线，每４条交于一点——对边交点；属于同一对边交点的４ 条巴斯加线，分属两个成射影对应关系的同底一维线束。布利安桑点也有类似的性质。     

二阶曲线及其切线方程的求法

高等几何给出了二阶曲线的射影定义和有关理论，本文从新的角度介绍二次曲线方程和二次曲线切线方程的求法。玉米二阶曲线方程1．l利用射影定义求二阶曲线方程定义平面上成射影对应的两个线束，其对应直线的交点所形成的图形，称为二阶曲线，若两线束不共心，且不成透视对应，则曲线称为常态的，否则曲线称为变态的。定理1已知两个一维几何形式的三对（不同）对应元素，可准一确定一个射影对应。例里求通过五点A（l，0，－1），B（l，0，1），C（1，2，1），D（丑，2，一至），E（l，3，0）的二次曲线。假如图1所示囹1设以A、CH点为线束…     

一元多项式中一个整除性定理的证明

在实系数多项式团式分解定理[1]的证明中有“设f（x）是n次实系数多项式,由代数基本定理,f（x）有一复根a,那么在复数域上有f（x）＝（x-a）f1（x）若a为实数,则f1（x）是n－1次实系数多项式”。此处说“f1（x）是n-1次实系数多项式”实际上是用了下述定理。在下述定理中分别取P为实数域,P为复数域,即可得到上述结论。定理设P和P是两个数域且P是P的真子集,用P[x]和P[x]分别表示P和P上的多项式环,且设g（x）EP卜〕,／（X）EP卜〕,g（X）一0,如果存在人（X）E川x〕使＠这个定理在［卫］的12页中作了直观说明,下面给出这个…     

巴斯加定理及布利安叠定理构图中的几种特殊情形

在巴斯加定理和布利安叠定理的基础上，讨论其包含无穷远元素时的特殊情形的有关结构及其构图。     

一类不等式的证明及应用

本文绘出了三个分式形式的不等式定理，应用它们可以求相应的一类有限和的品位．为叙述方便，约定；若正值鳖列。和b．的问序关系是或而则称与是反序的．若与的顺序关系是或则称与是同序的．另外，本文在证明定理的过程中，将直接引用由军生（jensen）不等式在时导出的不等式（见[1]或[2]、[3]）：其中a1＞0，aER）．定理1设a．．b∈R－，i＝1．2，……，n．n∈N当a≥1，0≤β≤，a，的R时，若怕．｝与协．｝是反序的；当a＜0，ort队1。，盯R时．若｛a．｝与此．是同序的。则讲有成立．当且仅当诸a；相等且诸b；相等时取等号．证（i）当O…     

费尔马大定理摘零

定理1设。)1,当:,y,:适合不定方程扩+犷一扩,:>O,鱿>O,:>0时,则 名=max(x,夕,之). 定理2若n)2,且:任N(N表示自然数),:一l,;一l,则方程 扩+犷一扩,夕>0,无整数解. 证因,>0,:>1,故:一1时,由(l)可得 ;一澎护一l,。)2(1),一1一〔(一l)+,:一l一玄(”)(:一l)卜,一1卜l几~艺(.)(z一‘)一’一(:一,)·十艺(”)(:一,)一因,二)2,:>,,故玄(”)(一1)一、。,则广一、>(一,): ‘,1云 (算术根)沙呀二万>:一1(。)2,:>l) 又因扩一1<广, 故了分一l<名(二)2,公>l). 由(2),(3)得 :一1<澎扩一1<;(。)2,:>1). 由(1),(4)得 :一1<鱿<;(:为大于l的整数). 显然夕不能…     

鲁金定理的证明及推广

引理1设F1，F2，…，Fn。是n个互不相交的闭集，在上定义函数f（x），其中Ck为常数，则f（x）在F上连续。证若F’=φ，则F的每个点都是孤立点，由连续定义知，f（x）在F上连续。现设任取，任取点列，使且。由F是剧集知，不妨认为，则且于是，中至多只有有限多个点属于并集。设其最大下标为，则当i＞N时，一切，从向有，于是有从而了（X）在x0处连续。由x0的任意性知，f（X）在F上连续。证毕。鲁全定理设f（X）是集E上的几乎处处有限的可测函数，且mE＜＋，则对于任给的e＞0，必有闻集，使得＜e，且f（X）在F上连续。证不妨设f（X）…     

关于矢量乘法的一些注记

本文拟就矢量乘法的消去律、结合律成立的条件及“·”积和“X”积的关系略作探讨，供广大学员参考。1消去律成立的条件定理1在平面上若ml与m。不共线且a·m；＝0（i＝l，2），则a—0。证明在平面上若m；不平行于mZ，故。可以用ml，mZ线性表不。即存在人1，人2，使a一人；m；十人。mZ。从而卜P一a·a—a·（人lml＋hm）一人l（a·ml）＋aZ·（a·mZ）＝0故a＝0定理2在平面上若m；与m。不共线，且aXm；＝0（i—1，2），则a—0。证明假设a士0，因aXm；＝0（i＝1，2），故。与mt（—1，2）共线，从而ml与mZ共线。矛盾！故a—0。定理3在空间…     

互为反函数的函数值间的关系

高中代数上册中定理：“函数y二人x）的图象和它的反函数x二人Z的图象关于直线x一X对称。”指出了互为反函数的函数图象间的关系。由该定理的证明过程不难发现；若点八。。；在函数y一f（）的图象上，则点M；。，。；在它的反函数x一人Z的图象上；反之亦然。由此可以得到函数y一八l）在某点的函数值与它的反函数y一兀在相应处的函数值之间的关系。即：命题：函数y一八x）有反函数y一九，（l）若f（）一b，则几Z—a；（2）著人Z一a，则f（）一b。充分利用互为反函数的函数值间的关系，可以使某些问题得到十分简捷的解决。例1设八x）一4”…     

一个不等式的推广

文[1]利用一组不等式给出并且证明了如下不等式：设且，本文给出了（1）的一般形式，并由此导出了（1）式及一些有趣的不等式。定理1设当且仅当X；一X。—…一八时取等号。证明1设八x）一e”．显然人工）为凸函数．由Jensen不等式知，y6R，a。＞0（i—l，2，…，。），且7a。一1，有八】a。。。）＜】a。八。。）即eD。。。－〔】a，e。。’－l】－11－l，一个人一In（l－十二），（1。二一1，i一1．2…·．n），将人代入上面09不等式并整理便得（2）式。证明2构造人1）。。l，l（＋x）（x＞－1），则人x）为凹函数。仿照证一的方法可证…     

无心二次曲线方程化简的一点说明

设无心二次曲线的方程为坐标变换公式其中（x0，y0，）是新坐标系原点的坐标，a是旋转角，满足结论1对无心二次曲线（1），若取（X0，y0）为顶点，则无心二次曲线在坐标变换（2）下化简方程为I1y'2＋2的充要条件是F（x0，y0），无心二次曲线在坐标变换（2）下化简方程为的充要条件是证由移轴、转轴对二次曲线系数的影响规律知，无心二次曲线在坐标变换（2）下的系数为：是观点，故0；；马（0。，加）＋。12FZ（x。，yo）。0，而tgo＝－。＝－。必有ctgZa一一--，-·。一。一ZQI，所以a，；＝。，、＝0。、、＝I。所以在新坐标系下，无心…     

Menelaus逆定理浅探

l定理钱探Menelaus定理是初等几何中证明共线点的一个有力工具，为了证明它，一般我们先证明了以下的Menelaus逆定理．定理1设面ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB被一直线分别截子点X、Y、Z（图1），则有：此定理在初等几何中有很广泛的应用，介于接受能力，中学数学并未提及此定理．下面，我们由它得出如下一个易于中学生接受，同时在中学几何又很有用的定理，以体现高等数学对中学数学的指导．定理2设过凸ABC的一个顶点C任作一直线，分别分对边AB及不过此顶点的中线AD（或BM）为两部分，其分点分别为F、E，则（如图2）：此定理…     

立体几何定理的计算机证明

在欧氏几何和向量空间中，结合二者的关系，把几何问题转换的代数问题，利用MATLAB的相关知识，编写源代码文件，用计算机证明立体几何的直线垂直于平面的判定理，为机器证明定理提供了一个实例。     

11条件命题+=2的证明及推广1/f′（ξ1）+1/f′（ξ2）=2

利用介值定理和拉格朗日中值定理证明了命题：设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f ′(x)>0, f(0)=0, f(1)=1,则存在ξ1,ξ2∈(0,1),使得1/f′(ξ1)+1/f′(ξ2)=2。通过对命题证明过程的分析,对命题进行了推广。     

Lebesgue测度关于平移不变性的两点应用

在中有两道题目如下:定理1设f是直线上Lebesgue可测函数。又设有常数a、b,使对一切不为零的整数l、n,有la+nb0,且则f(x)(常数).定理2设f是直线上Lebesgue可测函数,且对一切t_1 ,t_201∈R,有f(t_1+t_2)=f(t_1)+f(t_2),则必有常数a,使f(t)=at.这两个定理的证明难度较大,一般书上也未见有证明。据介绍,应用积分理论和全密点概念,可证明定理1;应用凸函数理论,可证明定理2,但亦未见到具体的证明。本文应用Lebesgue测度的平移不变性证明这两条定理。我们还应用Lebesgue测度的平移、反射不变性给出定理1及定理2的另一种证明。     

关于推广的Opial不等式

<正> 华罗庚曾猜想下述定理成立,但未完成证明。定理,设y(x)是[0,a]上的一个绝对连续函数,适合y(0)=0.那未对任何l,0≤l<∞,有这里当且仅当y=bx,b为常数时取等号。创始于Opial,后来为Olech和Beesack所引用的Opial不等式是当l=1,y(x)在[O,a]上绝对连续且y(0)=0时的(1)式,它是无误的,但其后Levinson     

二阶非线性常微分方程的三点边值问题的一个存在定理

获得了非线性二阶三点边值问题w^n(t) f(t,w(t)＝0.0≤t≤i；w（0）=0，αw（η）=w（I）的一个正解存在定理，其中0＜η＜1，0＜α＜l／η。在此，非线性项f既不是超线性又不是次线性的。结论是通过使用锥拉伸与锥压缩型Krasnosel’sskii不动点定理获得的。某些现有的存在性结论得到了改进和推广。     

关于M(x)=o(x)的一个初等证明

本文的主要结果为:设μ(n)是M?bius函数,x>0为实数,若M(x)=■,则M(x)=o(x),x→∞.完成了该定理的初等证明.     

关于积分的权限定理的应用

1有关定理及其应用［周定理1（Lebesgue逐项积分定理）|fn(X)|是可测集E上的非负可测函数列，定理2（Lebesgue控制收敛定理）设（1）F(x)在E可积；（2）|fn(X)|是E上的可测函数列；（3）人（）＜F（X）（v；；）；（4）八（）＝＞fi）于E。则：fi）在E可积b土II＼工）11＝1fliT、L工）TTJE’。一”JEF卜）有时称为控制函数，F（X）与自然数n无关。将条4．改为人（x）、八x）a．e于E，定理结论仍成立。推论（Lebesgue有界收敛定理）设（l）mE＜＋co（2）g人（x）g是E上可测函数’列，且【入（X）＜K（V，／3）fn卜）一f（）于E…     

Kramer定理的推广

证明了下述定理：定理１（ｋｒａｒｎｅｒ定理的推广）设Ｇ为有限可解群，Ｇ／Ｎ为超可解群．如果对某ｋ及Ｇ的每一极大子群Ｌ均有等于１或素数，则Ｇ为超可解群，其中Ｆ＿ｎ（Ｇ）归纳定义如次：定理２设群Ｇ有限可解，为满整群系｛ｆ（ｐ）｝所局部定义的群系，Ｇ／Ｎ如果存在Φ（Ｎ）到Ｆｉｔ（Ｎ）的Ｇ的主列使