关于丢番图方程x~4-pqy~2=1(Ⅱ)

3.方程(1)在p≡17(mod24),q≡3(mod8)或p≡5(mod24),q≡23(mod24)或p≡5(mod24),q≡3(mod8),(p/q)=1时均无正整数解.4.当D=2p时,方程(1)除开有解p=3,x=7,y=20外,无其他的正整数解.5.方程(1)在p≡3(mod4),q≡3(mod4)时无正整数解.国外,Nagell,Ljunggren,Cohn等人有过不少工作,可参看文[4]所附文献.本文用不同于前面诸文的方法,对于D=pq的情形,得到进一步的结果.我们有     

关于丢番图方程px~4-(p-1)y~2=z~4

利用初等方法给出了丢番图方程px4-(p-1)y2=z4当p=qQ2+1,2|Q,q≡3(mod4),p、q为奇素数时的全部正整数解,从而拓展了王洪昌和王春光的px4-(p-1)y2=z4的结果.     

关于Diophantine方程x~3±1=6pqy~2的整数解

主要利用同余式、Pell方程的解的性质、递归序列、平方剩余等理论得出了如下结果:(1)p≡q≡1(mod 6)为奇素数,(p/q)=-1,pq≡19(mod 24),或p≡1(mod 24),q≡13(mod 24)时,Diophantine方程x~3-1=6pqy~2仅有平凡解(x,y)=(1,0);(2)p≡q≡1(mod6)为奇素数,(p/q)=-1,且pq≡7(mod 24),或p≡1(mod 24),q≡13(mod2 4)时,Diophantine方程x~3+1=6pqy~2仅有平凡解(x,y)=(-1,0).     

默森尼质数的判别法及其构造

得到默森尼 (Mersenne)数为质数的判别法和构造 ,当Mp=2 p- 1为合数时其因数的特征及其因数个数的估计。(1)Mp=2 p- 1为质数的充要条件是 Mp2kp + 1≡ 0　 (mod p)(2 )如果Mp=2 p- 1且Qi|Mp　i=1,2 ,……T那么 12     

关于丢番图方程pX4-(p-1)y2=z4

姜信君等利用初等方法给出了丢番图方程px4-(p-1)y2=x4当p=2q+1,q≡5(mod8),p,q为奇素数时的全部正整数解.但由于篇幅限制,并未给出全部证明,我们给出了补充证明.     

关于丢番图方程x~4+Dy~4=z~2

设p为奇素数.利用同余性质及Fermat的无穷递降法,证明了:D=p3,p≡3,7(mod 16);或D=-p3,p≡9,13(mod 16);或D=2p3,p≡3,5(mod 8);或D=4p3,p≡3,7(mod 16)时,方程x4+Dy4=z2,gcd(x,y)=1均无正整数解.同时给出D=3时方程的全部正整数解.     

孪生素数椭圆曲线E_+的整数点

设p和q是适合p+2=q的孪生素数.文章根据二元四次Diophantine方程和联立Pell方程组的解数上界证明了:当p≡1(mod 4)时,椭圆曲线E+:y2=x(x+p)(x+q)没有非平凡整数点(x,y);当p3且p≡3(mod 4)时,E+至多有3对非平凡整数点.     

关于Pell方程组x2-2y2=1,y2-Dz2=4

设p,q,r_i均为相异奇素数,且p≡1(mod8),q≡3(mod8),r_i≡5或7(mod8).证明了Pell方程组x~2-2y~2=1,y~2-Dz~2=4当D=2pqr_i时,除了D=34时仅有非平凡解z=±12外,其他情形仅有平凡解z=0。     

关于三次Diophantine方程x~3+1=2p_1p_2Qy~2的可解性

设p_1,p_2是适合_p1≡p_2≡1(mod 6)以及(p_1/p_2)=-1的奇素数,其中(p_1/p_2)是Legendre符号。设Q是至少有两个不同素因数且每个素因数q都满足q≡5(mod 6)的无平方因子正整数。运用初等数论方法证明了:如果p_1≡1(mod 8),p_2≡5(mod 8),Q≡1(mod 4),那么方程x~3+1=2p_1p_2Qy~2无正整数解(x,y)。     

关于丢番图方程px~4-(p-4)y~2=4z~4

李辉利用初等方法给出了丢番图方程px4-(p-4)y2=4z4当p=qQ2+4,q≡3(mod4),p,q为奇素数时的全部正整数解,由于篇幅限制,只发表了一部分证明.我们补充了其它证明部分,从而给出了全部证明.     

关于丢番图方程x~4-q~4=py~5

设p,q均为奇素数,且p≡3(mod 4).利用同余理论和代数数论的有关结论证明了:丢番图方程x~4-q~4=py~5(gcd(x,y)=1)有正整数解的必要条件是q=20m~2(m-1)~2-1,m≡0,1(mod 4),m≥3,并且x满足qx(lq)~(5/4),这里■.从而改进了Savin的结果.     

关于Diophantine方程kx~4-(2k+4)x~2y~2+ky~4=-4

利用Pell方程及同余的性质给出了Diophantine方程G:kx4-(2k+4)x2y2+ky4=-4仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1)的充分条件。证明了:1)若k≠12(mod 16),则Diophantine方程G仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1);2)若k=4m,m≡3(mod4),且2︱s或s≡0(mod 4),t≡3,5(mod 8)或s≡2(mod 4),t≡1,7(mod 8),则Diophantine方程G仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1),这里s+t m1/2是Pell方程x2-my2=1的基本解。     

关于Diophantine方程kx4-(2k+4)x2y2+ky4=-4

利用Pell方程及同余的性质给出了Diophantine方程 G:kx4-(2k+4)x2y2+ky4=-4仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1)的充分条件。证明了:1)若k 12(mod16),则Diophantine方程G 仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1);2)若k=4m,m≡3(mod4),且2s或s≡0(mod4),t≡3,5(mod8)或s≡2(mod4),t≡1,7(mod8),则Diophantine方程G 仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1),这里s+t m 是Pell方程x2-my2=1的基本解。
     

关于丢番图方程px~4-（p-1）y~2=z~4

对任意的奇素数p,还没有找到给出丢番图方程px4-（p-1）y2=z4的全部正整数解的统一的初等方法,目前只解决了某类特殊的奇素数p的求解问题,例如王洪昌等人完全解决了p-1=Q2;或2Q2;或qQ2,2｜Q,q≡3（mod4）为奇素数,Q为正整数的情形.认为对某类特殊的奇素数p求解丢番图方程px4-（p-1）y2=z4,目的是对任意的奇素数p,寻找给出丢番图方程px4-（p-1）y2=z4的全部正整数解的统一解法.当p=2q＋1,q≡5（mod8）,p,q为奇素数时,利用初等方法把方程px4-（p-1）y2=z4化为方程x2＋my2=z2,从而给出方程px4-（p-1）y2=z4的全部正整数解;当q为任意正整数时,上述解法仍然适用,因此对任意给定的奇素数p,实际上已经给出了丢番图方程px4-（p-1）y2=z4的全部正整数解的统一解法.     

关于不定方程x~3+5~3=2Ry~2

设R=p1 p2 Q,Q=r i(n∈Z),ri-1(mod6)(1≤i≤n)为互异的奇素数,p1≡p2≡1(mod 6)为奇素数。运用初等方法得出了不定方程x 3+53=2Ry 2无正整数解的一个充分条件。     

关于丢番图方程2py~2=2x~3+3x~2+x的解

本文运用初等数论简单同余法、分解因子法及反证法等,得到丢番图方程2py2=2x3+3x2+x,(p为素数)无正整数解的情况.(1)当p≡1(mod 8),p≡5(mod 8),p≡7(mod 8)时,则方程无正整数解;(2)当p≡3(mod 8)时,Un+Vnp(1/2)=(x0+y0p(1/2))n.其中x0,y0是Pell方程x2-py2=1的基本解,当n≡0(mod 2)时,则方程无整数解;当n≡1(mod 2)时,若2|x0,则方程无整数解.特别是p≡3(mod 8)且p100时,2|x0,则方程无整数解.     

关于不定方程x~3±1331=2pqy~2的整数解

设p、q为奇素数,p≡13(mod24),q≡19(mod24),Legendre符号值p(q)=-1.利用递归序列、Legendre符号的性质、同余的性质以及Pell方程的解的性质等,证明了:(i)若p()11=pq(11)=-1且n■3(mod4),则不定方程x3-1331=2pqy2至多有2组正整数解;(ii)若pq(11)=-1且n■1(mod4),则不定方程x3+1331=2pqy2仅有平凡解(x,y)=(-11,0);推进了此类不定方程的研究.     

椭圆曲线y~2=px(x~2-2)的整数点

设p是大于1的无平方因子的正奇数.证明了如果p的素因素q都满足q≡3(mod8),则椭圆曲线y~2=px(x~2-2)无正整数点;如果p的素因素p都满足q≡5(mod 8),则椭圆曲线y~2=px(x~2-2)至多有2组正整数点.     

椭圆曲线y~2=qx(x~2+4)的正整数点的个数

若q为无平方因子的正奇数,q的所有素因数qi(i∈Z~+)都满足qi≡3,7(mod 8)为奇素数.本文主要利用同余、勒让德符号的性质等证明了椭圆曲线y~2=qx(x~2+4)当q≡7(mod 8)为奇素数时至多只有一个正整数点,除此以外均无正整数点.     

关于Diophantine方程x~3±1=2pqry~2

设p,q,r为奇素数,p≡13 mod 24,q≡19 mod 24,(p/q)=-1.利用同余式、平方剩余、递归序列、Legendre符号的性质、Pell方程解的性质等证明了:(A)若r≡5 mod 12,则方程G:x3-1=2pqry2仅有平凡解(x,y)=(1,0);若r≡11 mod 12,则方程G最多有2组正整数解.(B)若r≡11 mod 12,则方程H:x3+1=2pqry2仅有平凡解(x,y)=(-1,0);若r≡5 mod 12且(pq/r)=-1,则方程H最多有2组正整数解.