关于对称方程组非零解的判定与解法

给出对称方程组ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ＝０… … … … ｘ＾ｉ－１ １＋ｘ＾ｉ－１ ２＋…ｘ＾ｉ－１ ｎ＝０ ｘ＾ｉ＋１ １＋ｘ＾ｉ＋１２＋…＋ｘ＾ｉ＋１ ｎ＝０… … … … ｘ＾ｎ＋１ １＋ｘ＾ｎ＋１ ２＋…＋ｘ＾ｎ＋１ ｎ＝０非零解的判别条件、求解方法以及严格的证明。     

一道数学竞赛题的推广

记Ｂ是由１，２，…，ｎ的循环排列组成的集合，Ａ＿３（ｎ）＝ｍａｘｍｉｎ（ａ＿（ｉ＋１）＋ａ＿（ｉ＋２）＋ａ＿（ｉ＋３）），其中ｉ＝０，１，２，…．ｎ－１，ａ＿（ｎ＋１）＝ａ＿１，ａ＿（ｎ＋２）＝ａ＿２；ａｉ取１．２，…，ｎ中的任意值，ｉ＝１，２，…，ｎ．本文讨论了Ａ＿３（ｎ）的上界：除ｎ＝３，５．６外，当３｜ｎ－１时，Ａ３（ｎ）≤　；当３｜ｎ时，Ａ３（ｎ）≤　；当３｜ｎ＋１时．Ａ＿３（ｎ）≤．     

关于单形二面角的两个几何不等式

设Ｅ￣（ｎ）中单形△＿Ｒ的诸二面角为θ＿（ｉｊ）（１≤ｉ≤ｊ≤ｎ＋１））ｘ＿ｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ＋１）为任意ｎ＋１个正数，Ｒ为任意自然数，有：     

关于度量加的一个不等式的注记

１９７５年,Ｒ．Ａｌｅｘａｎｄｅｒ在文［１］曾提出如下的猜想：设两个单形∑４与∑Ｂ的顶点分别为Ｐ１,Ｐ２,…,Ｐｎ＋１和Ｐ′１,Ｐ′２,…,Ｐ′ｎ＋１;构成第三个单形Ｐ″１,Ｐ″２,…,Ｐ″ｎ＋１,使得Ｐ″ｉ－Ｐ′ｊ２＝１２Ｐｉ－Ｐｊ２＋Ｐ′ｉ－Ｐ′ｊ２（ｉ,ｊ＝１,２,…,ｎ＋１）则应有不等式Ｖ″２≥１２［Ｖ２＋Ｖ′２］（１）这里Ｖ,Ｖ′,Ｖ″依次表示三单形的体积。１９８２年,我国的杨路、张景中在文［２］中对此猜想给出否定的回答,同时证明了：引理１　Ｖ２ｎＣ≥Ｖ２ｎＡ＋Ｖ２ｎＢ（２）等号成立的…     

Fibonacci数列Cassini公式的推广

对Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的一个重要性质：Ｆｎ＋１Ｆｎ－１Ｆ＾２ｎ＝（－１）＾ｎ（Ｃａｓｓｉｎｉ）公式进行了推广。由此推广给出Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的另一个重要性质：Ｆｍ＋ｎ＝Ｆｎ－１Ｆｍ＋ＦｎＦｍ＋１的新证明，并得到任意两个Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数的平方和（差的）关系式。     

服务系统中的服务人数的极限性质

令《Ｘｎ，ｎ≥１》为ｉ．ｉ．ｄ．非负ｒ．ｖ．ｓ．，Ｘｎ，１≤Ｘｎ，２≤…≮Ｘｎ，ｎ为Ｘｉ，ｉ≤ｎ的次序统计量。《ｓｎ，ｎ≥１》为一正常数列，记Ｎｎ＝ｍａｘ《ｋ≤ｎ：Ｘｎ，１＋Ｘｎ，１＋…＋Ｘｎ，ｋ≤ｓｎ》。本文讨论了Ｎｎ的几乎处处收敛性与渐近正态性，改进了Ｂｒｕｓｓ的结果。     

图的割点的矩阵判别

本文给出一种寻找图的割点的矩阵方法，即利用图的邻接矩阵Ａ及矩阵Ａ＾ｃｕ＝（１，…，ｉ－１，ｉ＋１，…ｎ１，…，ｉ－１，ｉ＋１，…，ｎ）（ｉ＝１，２，…，ｎ）。     

关于差分方程un＋r=Σ（n＋r,i=1）aiun＋r—i—bn的显示解

给出了差分方程｛ｕｎ＋ｒ＝Σ（ｎ＋ｒ，ｉ＝ｉａｉｕｎ＋ｒ－ｉ＋ｂｎ ｕｉ＝ｃｉ ｉ＝０，１，…，ｒ－１的一个显示解，ｕｎ＝ｄｎ＋Σ（ｎ，ｉ＝ｄｎｉｋ＋ｋ＋２…＋ｉｋｉ（Σ（ｉ，ｊ＝１ｋｊ）！Π（ｉ，ｊ＝１）ａｉｋｊ／Π（ｉ，ｊ＝１）ｋｊ！．     

关于单形内点的一个猜想的证明与加强

设Ａ为ｎ维欧氏空间Ｅｎ中的单形,且Ａ的ｎ维体积为Ｖ,Ｐ为Ａ的内部任意一点,点Ｐ到Ａ的ｎ＋１个ｎ－１维超平面的距离为ｄ１,ｄ２,…,ｄｎ＋１,则可证明、推广并加强如下不等式∑１≤ｉ１＜ｉ２＜…＜ｉｎ≤ｎ＋１ｄｉ１ｄｉ２…ｄｉｎ≤（ｎ＋１）！ｎｎ（ｎ＋１）ｎ＋１Ｖ,当且仅当点Ｐ为正则单形Ａ的重心时等号成立．     

一类线性方程可化为常系数方程的条件

ｎ阶线性方程ｄ＾ｎｙ／ｄｘ＾ｎ＋Ｐｎ－２（ｘ）ｄ＾ｎ－２ｙ／ｄｘ＾ｎ－２＋…＋Ｐ１（ｘ）ｄｙ／ｄｘ＋ｐ０（ｘ）ｙ＝０在变换ｘ＝φ（τ）下可化为常系数线性方程当且仅当Ｐｉ（ｘ）＝Ｓｉ／（Ｃ１ｘ＋Ｃ２）＾ｎ－ｉ（ｉ＝０，１，…，ｎ－２）。     

惯量任意的符号模式

矩阵A的特征值的集合(含重数)记为σ(A),A的惯量是指三元有序数组i(A)=(i (A),i-(A),i0(A)),其中i (A),i-(A)和i0(A)分别表示具有正,负,零实部特征值的个数.n阶符号模式矩阵S=(sij)是指元素取自{1,-1,0}或者{ ,-,0}的矩阵,S的定性矩阵类是指集合Q(S)={A=(aij)∈Mn(R):对所有的i和j,sign(aij)=sij}.S的惯量是指集合i(S)={i(A):A∈Q(S)}.若对任意满足n1 n2 n3=n的非负三元数组(n1,n2,n3),都有(n1,n2,n3)∈i(S),则称符号模式S为惯量任意模式.考虑n阶符号模式Kn=(kij)n×n:当1≤j-i≤n-2或i=j=n时,kij=1;当1≤i-j≤n-2或i=j=1时,kij=-1;当|i-j|=n-1时,kij可以取任意固定值;其余情形时,kij=0.本文证明了Kn(n≥3)是惯量任意模式.     

关于随机独立性和回归独立性的几个命题的证明

有3种情形来描述随机变量X和Y之间的关系：（i）X和Y随机独立；（ii）Y回归独立于；（iii）X和Y不相关。主要证明了：1）若X和Y随机独立，则Y回归独立于X；2）若Y回归独立于X，则X和Y不相关；3）若X和Y均为两值随机变量或（X，Y）服从二维正态分布，则三种情形等价。同时得到一个推广：设Y为两值随机变量，X是离散型随机变量，若Y回归独立于X，则X和Y随机独立。     

亚紧空间和σ-亚紧空间的无限乘积

主要证明了如下结果 :用P表示下列诸覆盖性质之一 :亚紧 ;次亚紧 ;弱次亚紧 ;σ -亚紧 .( 1)如果X =∏α∈ΛXα 是 |Λ| -仿紧空间 ,则X具有P当且仅当 F∈ [Λ]<ω,∏α∈FXα 具有P ;( 2 )如果X =∏i∈ωXi 是可数仿紧的 ,则下列三条等价 :X具有P : F∈ [ω]<ω,∏i∈FXi具有P : n <ω ,∏i≤nXi,具有P .     

异丙嗪对下丘脑细胞内游离钙浓度的影响

目的：观察异丙嗪（ｐｒｏｍｅｔｈａｚｉｎｅ,ＰＭＺ）对下丘脑细胞内游离钙浓度（［Ｃａ２＋］ｉ）的影响。方法：以酶法制备家兔下丘脑细胞悬液,运用钙指示剂Ｆｕｒａ－２／ＡＭ作为细胞内游离钙的荧光探针测定下丘脑细胞［Ｃａ２＋］ｉ。结果：１）ＰＭＺ（０４６ｍｍｏｌ／Ｌ）使下丘脑［Ｃａ２＋］ｉ显著升高,且在一定的剂量范围内呈量效关系。２）事先向细胞悬液中加入钙通道阻滞剂维拉帕米可明显抑制ＰＭＺ诱导的［Ｃａ２＋］ｉ升高,但不能完全阻断ＰＭＺ的这种作用。结论：上述结果提示ＰＭＺ可引起下丘脑［Ｃａ２＋］ｉ升高,钙通道开放导致细胞外钙内流是ＰＭＺ引起下丘脑［Ｃａ２＋］ｉ升高的机制之一。     

独立集中具有最小特定度和的点的上可嵌入图类(英)

结合边连通度，探讨了独立集中具有最小特定度和的点的上可嵌入图.得到了下列结果. (1)设G,是一个2-边连通简单图且满足条件:对任意一个G的3-独立集I, ∨x_i ,x_j ∈I (i,j = 1,2,3), d(x_i ,x_j)≧3 (1 ≦ i ≠ j ≦ 3) =>∑_{i = 1}³ d(x_i) ≧ v + 1(v = | V(G)|}), 则G是上可嵌入的;(2)设G是一个3-边连通简单图且满足条件:对任意一个G的6-独立集I, ∨x_i ,x_j ∈I (1≦i,j≦6), d(x_i,x_j) ≧3(1 ≦ i ≠ j ≦ 6) => ∑_{i = 1}⁶ d(x_i) ≧ v + 1(v = | V(G)|), 则G是上可嵌入的.     

弱subortho-紧空间的无限Tychonoff乘积

文章证明了如下结果:(1)如果X=Πσ∈ΣXσ是│Σ│-仿紧空间,则X是弱subortho-紧空间当且仅当F∈[Σ]<ω,X=Πσ∈F Xσ是弱subortho-紧空间。(2)X=Πi∈ωXi是可数仿紧的,则下列三条等价:X是弱subortho-紧的;F∈[ω]<ω,∏i∈F Xi是弱subortho-紧的;n∈ω,Πi≤n Xi是弱subortho-紧的。     

关于黎曼流形的超曲面

获得如下定理：假设Ｍ＾ｎ是ｎ＋１的维黎曼流形Ｎ＾ｎ＋１的ｎ维超曲面,那么Ｍ＾ｎ是极小的当且仅当等式：ｎＨ∑λＩ＋－Ｎ｜ｈ｜∑｜λｉ｜＝－ｎ｜Ｈ｜（ｎＳ）＾１／２成立。     

选择公理的一个注记

给出了Ｚｅｒｍｅｌｏ选择公理的两个等价命题．主要结果为：对于任意的集族，（Ｘａ：ａ∈Ａ），每个Ｘａ非空，今Ｘ＝ΠＸａ，假设Ｈ（ｉ）（或Ｈ（ｉｉ））空间的乘积仍是Ｈ（ｉ）（或Ｈ（ｉｉ））空间，则ΠＸａ≠，即选择公理成立．     

基—可数次亚紧空间

引入了基-可数次亚紧空间,获得了如下主要结果:(1){Fi}i∈N是空间X的闭覆盖,每一闭集Fi(i∈N)是相对于X的基-可数次亚紧闭子空间,则X是基-可数次亚紧空间。(2)设f:X→Y是基-可数次亚紧映射,ω(X)≥ω(Y),如果Y是正则的基-可数次亚紧空间,那么X是基-可数次亚紧空间。     

一类Hopf代数的分解

(A,SA)和(H,SH)都是数域k上的Hopf代数,并且A是右H-余模代数.证明了:若存在H到A的代数同态i,i同时还是H-余模同态使得i SH=SA i,则存在A的一个子代数B,可在k空间B H上定义代数和余代数结构、对极使其成为与A同构的Hopf代数.