探究天体运行的数学法则:从牛顿到废加莱

在1900年国际数学家大会上,大数学家希尔伯特在他著名的演讲[1]中提出了23个困难的数学问题,这些问题在20世纪的数学发展中起了非常重要的作用.在同一演讲中,希尔伯特也提出了他所认为的完美数学问题的准则:问题要能被简明清晰地表达出来,而问题的解决又必须要有全新的思想方法才能够实现.为了说明他的观点,希尔伯特举了两个最典型的例子:第一个是费马大定理,即代数方程xn+y2=zn在n＞2时没有正整数解;第二个就是这篇文章所要介绍的N体问题及其特例——三体问题.     

五边形石墨烯:碳材料的拓广与数学模型的实现

正1900年德国著名数学家希尔伯特(David Hilbert)在巴黎数学家大会上提出了"希尔伯特23个问题",其中第18个问题就是"如何用多面体构造空间".在此基础上,1928年莱茵哈特(Karl Reinhardt)提出了如何用五边形密铺二维空间的问题.在几何学上,五边形具有无与伦比的美学特征,正五边形中,次近邻顶点之间连线的交点恰为"黄金分割点".晶体中不存在五重旋转对称性,这是早已被证明并写入固体物理学教材中的定理,因此,正五边形无法像正     

数学的进展减慢了吗？（上）

20世纪的数学比19世纪有哪些进展?对于非数学家来说,这是个难以搞清的问题;对于职业数学家,这也是个难以概括准确的问题.本世纪的数学发展迅速、分支林立,体系博大精深,远非一般人所能把握.美国著名数学家哈尔莫斯作了一项有益的工作,花费大量精力,凭着自己对众多数学分支的通晓,把75年来数学的进展概括为22个主题,对我们了解现代数学的发展颇有借鉴意义.哈尔莫斯毕业于伊利诺斯大学,曾给著名数学家冯·诺伊曼当过几年助手.他的研究领域主要是遍历理论、代数逻辑、希尔伯特空间算子等等.《数学译林》1985年4期曾译出他的影响很大的论文《应用数学是坏数学》.     

素数与零点--黎曼假设研究概况

2000年5月24日，美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问题。每个问题的奖金均为100万美元。其中黎曼假设被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答，早在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设(还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜想)。     

希尔伯特的第十六问题

1900年。希尔伯特(Hilbert)在巴黎国际数学家会议的前夕(1),作了一个著名的演讲。他说:“一个伟大世纪的结束,不仅引起我们回顾过去,而且指引我们思索未知的将来。”希尔伯特强调数学研究中的某些特殊问题的重要性,并列出了他十分感兴趣的23个问题。现在,希尔伯特的大多数问题已经得到了解决,这是今日数学成就的标志。但是,还有一些问题仍然顽固得难     

“常微分方程稳定性理论”

稳定性理论是微分方程的一个重要分支,是由研究运动问题而发展起来的。在19世纪80年代,描述动力学系统的常微分方程在理论上已有较大发展,即建立了定性理论。此后,俄国伟大数学家李雅普诺夫经过长期深入的钻研,在1892年发表了他的经典著作“运动稳定性的一般问题”,从而奠定     

评《微分动力系统的定性理论》

(廖山涛著,科学出版社,中文版1992年出版,书价2350元;英文版1996年出版)由Ｈ.Ｐｏｉｎｃａｒｅ和Ｇ.Ｄ.Ｂｉｒｋｈｏｆｆ关于微分方程定性理论的工作形成了动力系统这一数学领域.但在他们之后几十年,这个领域进展缓慢.这段时间里只有很少几位数学家注重从几何观点看微分方程.“Ｐｏｉｎｃａｒｅ强调寻求一种‘变换’,它在微分方程中的作用就象双有理变换在代数曲线中起的作用一样.如此人们可以考虑某个方程在此类变换下的等价类.1908年左右人们自然的考虑用‘解析变换’作等价分类,我们知道这样使情况变得太复杂,因为等价类太多了”1).Ａ.Ａ…     

强有根定理的新证明及其推广

在Hilbert第16问题的探索研究中,秦元勋提出并发展了常微分方程定义的积分曲面理论,得到了联系局部与整体的“强有根定理”且给出了一些重要的应用。本文从解析延拓的观点提出了复解析系统“相曲面”的概念,用复分析理论证明了解析系统的有根定理,并在     

希尔伯特——现代数学的巨星

“我们必须知道。我们必将知道.”这是上世纪末、本世纪初具有世界影响的德国数学家大卫·希尔伯特(1862～1943)毕生的乐观信念.希尔伯特是一位伟大的数学家,他的成就和他的感人品格,对数学界有着巨大的影响。     

约翰·F·纳什(1928-2015)

<正>美国数学家、博弈论创始人、电影《美丽心灵》男主人公原型约翰·F·纳什(John F.Nash),2015年5月23日因车祸在新泽西州不幸去世,享年86岁,其82岁的夫人也同车遇难。纳什的一生是在天才、精神分裂症与社会名流之间轮流变换——他对博弈论、微分几何学和偏微分方程领域做出了重大贡献。他的理论被广泛应用于经济学、计算学、进化生物学、人工智能、会计学、计算机科学(基于纳什均衡的极小极大算法)、高熵赛棋、政治和军事等领域。"他是个数学天才"纳什于1928年6月13日出生在西弗吉尼亚     

突变理论：形成、发展与应用

突变理论(Catastrophe Theory)是新近诞生的一门边缘学科,也是一门迅速发展而有重大理论与实际意义的学科。著名的法国数学家R.汤姆(R.Thom)于1972年在《结构稳定性与形态发生学》一书中,提出并系统地阐述了“突变理论”,从而引起国际学术界广泛的注意,著名的数学家E.C.齐曼(E.C.Zeeman)等人将这一     

二十世纪数学史

正如十九世纪数学由于高斯而得以进一步提高一样,使本世纪数学得以飞跃是由于希尔伯特(DavidHilbert,1862～1943),那是并不过言的。事实上,尽管与他相匹敌的数学家为数众多、人才辈出,然而,正是由于受希尔伯特影响,二十世纪的数学的特征多少显示了他的特色。     

圈量子引力的动力学

作为量子引力论的一种重要的候选理论,圈量子引力已取得了长足的进展.当今圈量子引力研究的一个核心而艰巨的课题是如何建立合理的量子动力学,具体到圈量子引力的正则形式中,动力学问题集中体现为合理构造密顿约束算符以及求解相应的约束方程.本文介绍了圈量子引力的基本思想以及圈量子引力中量子动力学研究的最新进展.新进展侧重于哈密顿约束算符的构造及其所定义的希尔伯特空间.     

数学理论的评价标准

数学是一门理性科学,弄清数学理论评价的标准对弄清其它理论自然科学的评价机制有一定的意义。本文首先对历史上数学家对单个理论的评价标准作了考察,揭示了数学理论评价标准的演化过程和各个历史时期数学家在评价数学理论时所持的具体不同的标准。其次,作者认为历史上数学家往往只是谈论单个理论的评价问题,而实际上他们在评价理论时,常常要涉及到理论系列的评价问题,本文分“同一层次”和“不同层次”的理论系列二种情况,具体分析了数学家在这种理论系列评价时所持的标准。再次,作者认为历史上的数学家往往言明自己只持一种评价标准,而实际上他们在评价理论时,常常要辅以其他几种标准综合考虑。作者在上述工作的基础上最后从系统论的观点出发提出了数学理论的“结构—功能”综合评价标准的框架,认为自古以来数学家在评价一个数学理论时往往要从数学理论系统的结构和功能二个方面着手综合考察,然后作出判断。在这个过程中,数学家既要考虑到单个理论的本身,又要考虑到与其他理论系列的比较;既要考虑到数学理论的基础(即结构问题)又要考虑到它解决数学问题的能力(即功能问题)。     

数学文化

数学作为一种文化现象,早已是人们的常识.历史地看,古希腊和文艺复兴时期的文化名人,往往本身就是数学家.最著名的如柏拉图和达@芬奇.晚近以来,爱因斯坦、希尔伯特、罗素、冯@诺依曼等文化名人也都是20世纪数学文明的缔造者.     

当今数学界最重要的问题是什么?

很多数学家都会说,他们正在致力于解决的课题是当今最重要的数学问题。但在这些尚未解决的问题中,有一个却显得卓尔不群,那就是著名的黎曼猜想。黎曼猜想自1859年由德国数学家弗里德里克·黎曼(FriedrichB.Riemann )提出以来,一直困惑着数学家。最近,随着数学家们开始以物理学的观点来思考这个问题,证明黎曼猜想的努力达到了新的高潮。黎曼猜想是黎曼在数论领域(数论是研究整数的数学分支)的唯一涉足。它阐述了一些关于素数的深刻理论。像2 ,3 ,5和7那样除了1和它本身以外再没有别的因子的数,似乎在数轴上毫无规律地出现。欧几里德证明了…     

路易斯•尼伦伯格(1925—2020)

正路易斯·尼伦伯格是大师级数学家,他彻底改变了偏微分方程的研究。路易斯·尼伦伯格(Louis Nirenberg)是世界上被引用次数最多、成果最丰富的数学家之一,也是最具合作精神的数学家之一。在80多岁之前,他的工作持续引发轰动,并重塑了数学家对从细胞到市场的动力系统的理解和研究。他曾与约翰·纳什(John Nash,因2001年电影《美丽心灵》而闻名世界)共同分     

泛函微分方程分支理论发展概况

分支(bifurcation)是动力系统理论的一个很重要的问题,它反映流的拓扑结构随参数的变化而引起的质的变异,不论在数学理论上或实际应用上都有较大的意义。因此它一直受到数学家们的关注,在某些方面甚至可以追溯到Poincare时代。近半个世纪来,对分支的研究已有了很大的进展。但最主要的工作还集中于由常微分方程(下文简记为ODE)所确定的连续动力系统的分支上,特别是集中于平面上退化程度不高的分支上,至于对泛函微分方程(下文简记为FDE)的分支的研究,则相对开始较晚,在广度及深度上也都不如ODE,亟待人们去探讨。本文将极扼要地介绍FDE的分支理论的发展过程及现状,希望能为推动这方面的研究提供一点线索。     

数学家和奇异积分大师艾伯托·考尔德伦(1920～1998)

艾伯托·考尔德伦（AlbertoCalderon）是20世纪最伟大的数学家之一，他患病不久于1998年4月16日去世，享年77岁。考尔德伦是傅里叶分析和偏微分方程领域里的专家，也是这两个领域相互交叉联系研究的先驱者。考尔德伦生于1920年，出生在阿根廷的门多萨，他在瑞士接受了早期教育，后来又回到自己的祖国读书。他的职业生涯是以工程师开始的，同时他清楚地意识到自己拥有的数学知识对其产生的影响以及数学在其工作应用中的巨大效果。考尔德伦从工程师转变为一名数学家，是和一个奇特的故事相联系的，这包括影响他前途的良师安东尼·齐格蒙特（…     

关于帕里斯-哈林顿定理和弗里德曼定理

哥德尔不完全性定理表明了不可判定命题的存在,使以希尔伯特为首的形式主义学派想证明数学一致性的企图成为一种奢望而彻底破灭。但由于在哥德尔定理的证明中给出的不可判定命题显然是人为制造的产物,因此,对于一般的数学家来说,哥德尔定理