从实用主义看反推数学

反推数学是从定理“反推”公理，每一位数学工作者都可利用这一新方法来开启新研究。追本溯源，反推数学是希尔伯特纲领的一种部分实现。这一相对实现除了延续了希尔伯特纲领的可靠性证明初衷外，无疑也继承了工具主义这一特征，是从实用角度来寻找数学真理。本文将尝试从实用主义哲学的视角出发，进一步探讨反推数学的哲学价值。具体而言，将从以下两方面来进行探讨：首先，结合数学史来论证数学自身的实用性；其次，在说明数学的可修正性之后，基于反推数学纲领，尝试探讨一种实用主义的数学真理观。该真理观以公理化系统为基础，是一种相对的、可修正的、可操作的实用主义真理观。     

希尔伯特的有穷数学

希尔伯特为了一劳永逸地解决数学基础问题,提出了著名的希尔伯特纲领。该纲领旨在把数学归约到毋庸置疑的有穷数学。遗憾的是,希尔伯特本人并未对有穷数学给出具体形式化。在简介希尔伯特有穷数学的基本思想后,梳理了各种不同的形式化系统:初始递归算术(PRA)、ZFC的有穷数学系统(Fin(ZFC))和基本算术(EA),并对PRA是希尔伯特的有穷数学进行辩护和简要述评。     

数学:一种人类学现象——后期维特根斯坦数学哲学思想探析

数学哲学经过长期的演化,形成了罗素的逻辑主义、希尔伯特的形式主义、布劳威尔的直觉主义、欧内斯特的社会建构主义等流派。在数学哲学中,一个不容忽略的哲学家就是维特根斯坦。他的后期数学哲学思想对后世影响深远。维特根斯坦反对数学柏拉图主义,认为数学仅仅是基于生活形式上的约定,是公共性质的。数学计算只不过是语言游戏活动,而语言游戏之所以能进行下去,是因为它是基于生活形式的一致性,这显然脱离不了各种社会因素的影响。     

数学机械化思想的产生和发展

数学问题的机械化方法一般表现为机械化程序，而具有确定性、预见性、普适性和具体性的特点。数学机械化又是创造性思维和非创造性思维活动的统一。数学机械化思想来源于中国古算，并从笛卡尔著作中找到根据，其产生和发展主要经历了从笛卡尔，莱布尼兹等数学家和哲学家的思想奠基，到希尔伯特定理证明机械化思想从理论上的明确提出，再到定理的机器证明等几个重要的发展阶段，吴文俊机械化定理的创立。为数学的机械化奠定了坚实的基础，并使数学研究的面貌改观。但数学机械化的道路漫长而艰难，建立具有中国特色的机械化数学体系依然任重而道远。     

论希尔伯特的元数学纲领及其哲学意义

希尔伯特(D.Hilbert,1862～1943)是国际著名的德国数学家和逻辑学家。他所提出的元数学纲领奠定了证明论的基础,在数学和数理逻辑发展史上具有重大意义。本文试图对希尔伯特纲领作出全面的、历史的评述,并根据马克思主义哲学观点对它的哲学意义作出初步的概括。     

论数学中的虚构主义

数学虚构主义是"数学实体不存在、数学中不存在真理、数学在世界的说明和科学事业中可有可无"的一种典型的当代数学反实在论的解释。通过对数学虚构主义的批判性分析,得出"数学虚构主义的反实在论规划整体上并不成功","数学在世界的说明和科学中是至关重要,而非可有可无"、"数学实体确实不存在"和"数学中存在真理,但其本质需进一步研究"的结论。     

"哥白尼革命"的另一种解读--从数学哲学的角度看

哥白尼革命和数学有着不可分割的联系.评介了库恩对哥白尼革命根源和性质的"纯数学解释".由于纯数学是由数学哲学思想决定和规划,所以,理解哥白尼革命有必要开启数学哲学的视野.在伯特思想的启发下,从数学哲学的角度分析了哥白尼革命的根源以及性质,提出了与库恩有本质不同的观点,为理解近代科学的数学性提供了一个有益的视角.     

后现代主义的数学观及其认识

后现代主义者对数学有一种基于后现代基本立场的理解。这种理解更多地表现为一种批判性。这种批判可以促进对于数学的反思，对于抑制惟数学主义和强科学主义的思想趋向是有积极一面的。应该看到后现代主义对数学的认识大多仍停留在现代性数学的视域之内，并且其认识的片面性也是需要指出的。     

数学工具主义者对弗雷格问题的认识论分析

在数学哲学实在论和反实在论对抗的大背景下,德特勒夫森复活了希尔伯特的有限主义。他把自己的思想称为希尔伯特工具主义,这是一种改良版的实在论。通过对弗雷格问题的解决,我们看到希尔伯特工具主义者是如何既承认抽象对象的存在,又发展出关于抽象对象的认识论。通过在有限思维中加入抽象的元素,他解决了抽象对象存在的问题。通过复制主义策略和证明模式认识论,他解决了认识抽象对象的问题。这种实在论既不同于弗雷格的实在论,也不同于菲尔德的唯名论,它是一种介于实在论和唯名论间的新形式。     

数学可应用性的一种认知解释——以自由落体方程为例

数学可应用性问题一直未能被很好的解释,近期一种结构主义进路的"映射"理论被提出,认为可以仅仅通过诉诸数学与其所应用的领域之间的结构相似性来解释数学的可应用性。但该理论无法解释在某些数学应用的情况中,为何一些数学解无物理对应物。从认知的角度引入一种与映射理论相容的数学认知理论,通过解释数学与其所应用的领域之间结构相似性的认知来源,可以解释映射理论无法说明的问题。通过分析一个具体的自由落体方程负数解的案例可以展现从认知进路解释数学可应用性的可行性。     

流形概念的历史演变

流形是现代数学的重要研究对象。流形概念的起源可追溯到高斯的内蕴几何思想,黎曼继承并发展了高斯的想法,并给出了流形的描述性定义。随着集合论和拓扑学的发展,希尔伯特用公理化方案改良了黎曼对流形的定义,最终外尔给出了流形的严格数学定义。对流形概念演变过程的研究可以更好地理解空间观念的变革历史。     

克劳德·谢瓦莱:布尔巴基巨匠、数学结构代言人

谢瓦莱是法国布尔巴基学派的创始人之一,在代数数论和李群领域的工作对数学有重要贡献,其追求体现结构和严谨抽象的写作风格对布尔巴基学派有深刻影响。20世纪30年代谢瓦莱曾到德国去访学,跟随阿廷、哈塞等数学家学习,德国数学的代数学方法和技巧对他日后数学工作有着深远影响,也影响了布尔巴基学派。通过对谢瓦莱工作的分析可以更好地认识布尔巴基学派,更好地理解和把握代数数论在20世纪上半叶的发展。     

徐献瑜:一个世纪的数学情怀

我国近代数学家徐献瑜教授,是我国计算数学的奠基人和开拓者,是我国第一个计算数学学科和第一个国家级计算中心的创建者之一,还是我国第一个"数学软件库"研制和建立的主持人。他是献身教育的早期海归,主要从事计算数学和计算技术等方面的研究和教学工作,从教70多年来,桃李满天下。在他培养的众多学生中,涌现出了王选、杨芙清等中国科学院院士9人。他热爱数学、崇尚数学的精神,淡泊名利、高洁睿智、达观超脱的优秀品质是我们宝贵的精神财富。     

作为数学革命的形式化证明

随着计算机科学的兴起,数学家可以通过计算机完成对数学定理的证明与验证,由此形成了形式化证明的相关领域。在形式化证明的助力下,诸多数学难题得以攻破,这无疑改变了传统数学实践的范式。然而,学界对于形式化证明所引发的认识论转向的论述尚不充分,究其原因主要有两个方面：其一是缺乏对形式化证明的本体论考察,其二是对数学革命的定义存在分歧。对形式化证明中人脑证明和机器证明进行区分,同时厘清两种不同的革命定义,可以为形式化证明作为数学革命的观点提供辩护。     

数学究竟是什么？

研究数学是什么,我们必须多层次、多学科、多角度地对它进行探索.首先考察著名的哲学家和数学家以及由他们所领导的研究机构和学术团体在数学发展的各个历史阶段的不同层面上,就数学的研究对象和发展前景而提出的教学观.其次是研究他们以数学的周边学科为视角来剖析数学的诸特点而提出的一些教学观.将其融汇贯通,即可获得关于数学真谛的深刻见解.     

哲理数学的公理体系及理论框架

"哲理数学"是一门将哲学思维与数学思维相结合,研究自然、社会、人生在深层及在宏观上存在的联系及数量关系的科学,是与传统数学根本不同的一种新数学.它区别于传统数学的本质特征在于以辩证逻辑为支柱和将定性与定量融为一体.因此,它可以克服形式逻辑带给传统数学的局限性,使数学思维进入一切研究领域.     

数学应用对数学发展的作用

本文探讨了数学在人的实践或在其他科学中的应用对数学自身的发展所起的作用。这实际上不是人的实践和其他科学巽的需要发展的促进作用。首先，数学应用为数学思维活动创设问题情境，即为数学研究提供研究“起点”；其次，数学应用提高了人们对数学理论的价值评价，使更多的人来研究数学；最后，数学应用为数学提供一种可接受性基础，增强人们对数学科学的信念，加强数学研究的力度，从而推动了数学的发展。     

试论刘徽建立数学理论体系的方法

《九章算术》的完成,标志着中国古代数学体系的形成,魏景元四年(263年),刘徽注《九章算术》,使《九章算术》数学体系的许多原理、法则,有了较严密的理论依据。其间,也阐述了刘徽本人在数学上的不少创造性发现。这是刘徽数学理论研究的一个方面。关于这个方面,近年来国内发表了一些水平较高的研究论文。刘徽数学理论研究的另外一个方面,体现在对《九章算术》数学体系作整体上的理论研究,亦即创立数学理论体系。创立数学理论体系是个十分艰巨的工作,刘徽能出色地完成这个艰巨的工作,应归功于他那先进的科学思想和方法。     

从数学性质的演进看数学的层次结构

从方法论角度分析数学性质的历史演变，可以看到数学理论体系结构体现出三个各具方法论特征的历史时期，它们又各自形成性质界限分明的层次，并且可以看出现代数学既不是经验科学也不是纯理性科学而是拟经验科学，这就为探讨其整体性能提供了理论根据。     

一生只做一件事

2004年11月2日,国际小行星联合会将中国国家天文台发现的1998CS2小行星命名为"陈省身星,"以此来表彰这位数学大师对数学事业的贡献;杨振宁教授说陈省身"是可以与欧几里得、高斯和嘉当并列的几何学伟人"。陈省身教授之所以能在数学研究方面达到如此辉煌