闭二维流形上的POINCARE—BENDIXSON型定理

对于平面二维自治系统,有著名的Poincare′—Bendixson定理:如果C~ 是一条有界正半轨线,而其W极限集Q(C~=)不含奇点,则或(i)C~ =Ω(C~ ),或(ⅱ)Q(C~ )=■-C~ ,在任何情况下,此处之Ω(C~ )都是闭轨线。对于二维流型M~2上的流,由于非闭P~-(P~-)稳定轨线可能存在,W极限集的构造一般说来是比较复杂的。余树祥[1]证明了:对于闭的二维流形(可定向或不可定向)M~2上定义的连续流f(除了环面T~2上无休止点的流之外)任何正半轨线f(P,R~-)的W极限集Ω_P如果不含休止点,则它必     

旋转向量场中奇异闭轨线的运动

本文研究在平面旋转向量埸中,奇异闭轨线随参数变动的情况。共分三节。第一节对奇异闭轨线进行了分类,第二节是讨论在奇点不随参数移动的旋转向量埸中,奇异闭轨线随参数变动的情况,证明了对于奇点的任一双曲域,当参数向适当方向变化时,双曲域的一条侧边将连续转动。在此基础上,我们得到奇异闭轨线产生闭轨线或奇异闭轨线的一个充分条件。特别是证明了:奇异极限环产生闭轨线的情形和极限环产生闭轨线的情形极为类似,另外,还给出了一些保证奇异闭轨线不产生闭轨线或奇异闭轨线的充分条件。第三节是讨论在奇点随参数移动的旋转向量埸中,奇异闭轨线变动的情况。首先指出了在旋转向量埸中,奇点移动的必要条件,然后证明了两个不同向量埸的奇异闭轨线互不相交,最后,应用本节中的引理,我们得到当奇点作各种可能的移动时,奇异闭轨线产生闭轨线或奇异闭轨线的充分条件。     

闭流形上向量丛的(Z_2)~k群作用

给出了光滑范畴下带有(Z_2)~k群作用的闭流形上向量丛等变配边于零的一个充分条件:闭流形的维数大于2~k倍不动点集的维数;不动点集的Stiefel-Whitney类为零;不动点集的分支满足线性独立条件.同时在闭流形的维数等于2~k倍不动点集的维数的情况下,如果再进一步加强条件为向量丛配边为零,则向量丛等变配边于零.     

紧流形上Ω拓扑稳定同胚的性质

紧流形M上Ω拓扑稳定的同胚 f具有以下两个性质 :①M中的点若是链回归的 ,则它一定是非游荡点且属于 f周期点集的闭包 ;②f在其非游荡集上具有伪轨跟踪性 .     

Jl,l2,...,lmn,k的决定

设(Z2)k作用于光滑闭流形Mn,作用的不动点集F是Mn的(n-li)维闭子流形Fn-li的不交并U.设…'lm是具有上述性质的未定向的n维上协边类[Mm]构成的集合.决定了一些群…'lm.     

关于旋转向量场理论的一点注记

由微分方程dx/dt=P(x,y,a), dy/dt=Q(x,y,a)所定义的旋转向量场的理论,首先由G.F.D.Duff[1]提出,后由G.Seifert[2]和陈翔炎[3][5]加以推广。在本文中,把[2]中“F(α)构成-旋转向量场”的假设减轻成为:对区域D内的任一常点(x,y)及区间Ⅰ内任意的α1<α2成立,同时使积分等于零或π的点沿(1)的任一闭轨线或者为可列个,或者不可列的点逐段连续分布但不布满整条闭轨线,这一推广不能包括在陈翔炎的结果中,因为本文没有假定P,Q连续可微。在上述的假定下,作者证明了旋转向量场理论的一些主要结论。同时对文[4]和[5]中的一些结果也相应地作了改进。     

关于Hopf分歧定理的一个讨论

关于 Hopf分歧定理已有许多人进行了细致的研究并作了推广 ,作者利用常微分方程定性理论对于高阶奇点的 Hopf分歧产生的条件 ,出现的分歧集合及其扰动出来的闭轨线的个数进行了分析探讨 ,得到了一个更为广泛的结果 :当孤立奇点的渐近稳定性发生改变时 ,奇点将分歧出极限环或奇异闭轨 ,并举例说明了高阶奇点附近轨线分布的复杂性     

单摆系统的α函数平台

同宿轨的存在性通常是研究不可积的和复杂的动力行为的第一步,尤其是对于极小同宿轨的研究被认为在证明Arnold扩散的相关问题中有所帮助。在通常情况下,一个可积的Hamilton系统的共振环面在小扰动之后会破裂,如果该Hamilton系统是凸的,它们将破裂成低维不变环面或Aubry集,Bolotin用变分的方法证明了低维不变环面的同宿轨的存在性。Bolotin证明了Aubry集的同宿轨的存在性,同宿轨主要通过周期轨逼近得到。但他们所得的同宿轨都不是极小的。计算了单摆系统的α函数平台α0,并进一步阐述了该平台的拓扑结构与其所对应的Aubry集之间的关系。而对于单摆系统,α函数平台边界所对应的Aubry集即为其内部所对应的Aubry集的极小同宿轨,这将有助于极小同宿轨存在性的研究。     

关于Hopf分歧定理的一个讨论

关于Ｈｏｐｆ分歧定理已有许多人进行了细致的研究并作了推广,作者利用常微分方程定性理论对于高阶奇点Ｈｏｐｆ分歧产生的条件,出现的分歧集合及其扰动出来的闭轨线的个数进行了分析探讨,得到了一个更为广泛的结果;当孤立奇点的渐近稳定性发生改变时,奇点将分歧出极限环或奇异闭轨,并举例说明了高阶奇点附近轨线分布的复杂性。     

S~4(1)中具有两个相等的非零常数主曲率的完备超曲面

设 M 是连通的、可定向的、完备的3维 C~∞黎曼流形,C:M→S~4(1)是从 M 列4维单位球面 S~4(1)中的等距浸入.主曲率 h_1,h_2,h_3满足 h_1=h_2=R(常数).本文证明了:浸入或者是全脐的,或者是无脐点的;若浸入是全脐的.或无脐点且 h_3为常数,则 M 可完全确定:若 h_3不是常数,则 M 微分同胚于 E~4中环准超环面.     

具首次积分的空间二次系统周期解的存在性

继续讨论以二次柱面为首次积分的空间二次系统．当在每个不变柱面上有奇点时证明了这类系统局部极限环的存在性;同时给出了这类系统存在由第一类(零伦)闭轨组成的全局不变流形的条件．     

非对称参数细胞神经网络中的混沌与分叉

研究了由３个细胞组成的细胞神经网络中的混沌与分叉现象。主要讨论细胞神经网络中的一类特殊奇异吸引子，它由两个稳定平衡点和一个不稳定平衡点（鞍点）及其流形形成。通过取不同的初始值，可以在同一组参数下获得３种不同的相轨线图，也可观察到一个不稳定极限环的存在。通过调整系统的参数，还可获得类似于蔡氏电路的奇异吸引子序列     

Lorentz－Minkowski空间L~（n＋p）中的n维极大类空子流形

１９７６年，郑绍远和丘成桐证明了Ｌｏｒｅｎｔｚ－Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ空间Ｌ￣（ｎ＋ｐ）中的极大类空超曲面在欧氏拓扑闭的条件下只能为超平面。作者证明了Ｌｏｒｅｎｔｚ－Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ空间Ｌ~（ｎ＋ｐ）（ｐ≥１）中由图所定义的极大类空子流形只能为ｎ维线性子空间。     

微分几何中的高阶变分方法及其应用

变分法是微分几何研究中的一个重要方法,通过对曲线弧长变分的讨论可得到许多有用的结果.在许多问题中,只需利用第一、第二变分即可达到目的.Synge就利用此法得到如下结论(见[1],Ch8,Th24): 设M是定向偶数维Riemann流形,其上K>0,则世上无极小闭测地线(此处K是任一截面曲率). 本文对用高阶变分研究微分几何问题作了初步探讨,建立了一些有关高阶变分的一般性质,并利用高阶变分,在二维情形推广了Synge的上述结果,得到: 设S是定向二维Riemann流形,其上K≥0,且在使K=0的点,K沿某方向的某高阶导数非0,则S上无极小闭测地线.     

R空间开区间上的Brouwer度

E=R~n为n维欧氏空间. ω=β为E中所有有界开集所成的集合. M(Ω)=C(Ω,E)为所有连续映象f:Ω→按一致拓扑构成的拓扑空间.显然 M(β)={M(Ω)|Ω∈β}是允许映象族. M(Ω)是凸集,任f∈M(Ω)必映Ω中的闭集成闭集.这时称M(β)上的拓扑度为Brouwer度.     

二维定向流形上动力系统的一些拓扑结构

动力系统的拓扑结构的研究是动力系统理论的一个重要内容。过去,关于动力系统的极小集合的拓扑结构已有甚多的分析,而对系统所有极小集合的并集外壳的结构却较少去分析它,关于这方面我们已在[3]中作了初步的讨论,从[3]中可看出,系统的极小集合的外壳结构比系统的中心运动的外壳结构复杂的多。本文就这个问题以及其它一些问题在二维定向流形上动力系统M_t~2上进行了具体的分析讨论。     

多项式微分系统闭轨线的形状

<正> C.S.Coleman 指出,多项式微分系统闭轨线的形状可能是十分复杂的,目前已知道,二次微分系统任何闭轨线必定围成一个凸区域。作者指出,三次微分系统的闭轨线不必围成一个凸区域;著名的 Van der Pol 方程当其参数变大时其唯一的极限环从凸状变成凹状。进一步,作者在[4]中证明:三次系统任何闭轨线被任意一直线割下的边缘部分     

Lorentz—Minkowski空间L^n＋p中的n维极大类空子流形

１９７６年，郑绍远和丘成桐证明了Ｌｏｒｅｎｔｚ－Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ空间Ｌ＾ｎ＋１中的极大类空超曲面在欧氏拓扑闭的条件下只能为超平面。作者证明了Ｌｏｒｅｎｔｚ－Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ空间Ｌ＾ｎ＋ｐ（ｐ≥１）中由图所定义的极大类空子流形只能为ｎ维线性子空间。     

一类奇异扰动问题解的零点集的几何性质

文章研究了一类具扰动参数的椭圆型方程组解的渐近性质,证明了当参数趋于正无穷时方程组解的支集相互分离,并且奇异极限满足一个微分不等式系统;通过构造合适的非线性变换,进一步讨论了奇异极限的零点集的几何性质,证明了零点集除掉一个Hausdorff维数不超过n-2的闭的奇点集,是一族光滑超曲面。     

具有二次代数曲线解的三次微分系统极限环的存在性

本文研究具有二次代数轨线的三次微分系统(E)_3的极环限。得到具有二条互不相交的二次代数曲线F=0和φ=0为解的充分必要条件是(E)_3可化为如下面形式:式中φ=X~2+y~2-1;F=0是椭圆、双曲线或抛物线,k_1、k_2是不为零的常数,从而推得这时(E)_3不可能存在极限环。倘若F=0与φ=0都是圆轨线时,则有可能成为(E)_5的极限环。