关于(X,R,μ)到(X,R',μ')扩张的若干注记

给出由测度增补的方法从X上σ-环R上的测度μ扩张到(X',R',μ')的完整证明.并指出当R是上的环时,这种扩张是不可能的.     

关于(X，R，μ)到(X，R′，μ′)扩张的若干注记

给出由测度增补的方法从X上σ—环R上的测度μ扩张到(X′,R′,μ′)的完整证明.并指出当R是上的环时.这种扩张是不可能的.     

一类半连续模糊测度的扩张

模糊测度的扩张是模糊测度论中一个非常重要和难度较大的课题。本文对[1]提出的SC-Fuzzy测度证明了如下扩张定理。 定理 设IR是具有有限覆盖性的一个代数,由|R产生的σ(|R)具有,对任何A,B∈σ(|R),AB且A≠B,{{X_m};{X_M}|R,X_m↑∪ X_m A,对任何{Y_m} m=1|R,Y_m↑∪ Y_m B总有∪ X_m ∪Y_m}≠φ,μ是|R上的SC-Fuzzy测度 m=1 m=1 m=1则μ可以唯一地扩张到σ(|R)上去。     

关于测度延拓和限制的一个定理

本文讨论测度延拓和限制彼此可交换的条件。文中所用的记号和术语与[1]相同。特别,“测度延拓”指的是按外测度方法进行延拓。设X是一个集,R是X某些子集所成的环,μ是R上的一个测度。又设E(?)X,μ_E是μ在环R_E={F|F∈R,F(?)E}上的限制,μ_E~*和μ~*分别是μ_E和μ所引出的外测度,(R_E)~*和R~*分别是μ_E~*和μ~*可测集的全体。     

可测集定义的一个附注

测度论中的可测集的定义通常由Caratheodory条件给出．本文在有限可测空间上简化Caratheodory条件，给出可测集的一个新定义，并证明两个定义是等价的．     

环R上σ─有限测度的内测度扩张的新方法

由环Ｒ上的σ－有限测度μ，引出了一个定义在可传σ－环Ｈ（Ｒ）上的一个集函数μ，证明了它与ＰａｕｌＲ．Ｈａｌｍｏｓ由σ－环Ｓ（Ｒ）上的σ－有限测度μ（μ｜Ｒ＝μ）所引出的定义在Ｈ（Ｓ（Ｒ））＝Ｈ（Ｒ）上的内测度μ是一致的，由此指出了环Ｒ上σ－有限测度的扩张的另一条途径．     

可测集定义的一个附注

测度论中的可测集的定义通常由Caratheodory条件给出．本文在有限可测空间上简化Caratheodory条件，给出可测集的一个新定义，并证明两个定义是等价的．     

环R上σ-有限测度的内测度扩张的新方法

由环Ｒ上的σ－有限测度μ，引出了一个定义在可传σ－环Ｈ（Ｒ）上的一个集函数μ证明了它与ＰａｕｌＲ．Ｈａｌｍｏｓ由σ－环Ｓ（Ｒ）上的σ－有限测试μ（μ｜Ｒ＝μ）所引出的定义在Ｈ（Ｓ（Ｒ））＝Ｈ（Ｒ）上的内测度μ，是一致的，由此指出了环Ｒ上σ－有限测度的扩张的另一条途径。     

对称环扩张的一些性质

讨论了对称环的Trivial,Dorroh和Nagata扩张,得出一些结论:(1)若R是一个可除环,则T(R,R)是一个对称环;(2)R是交换环S上的代数,D是R关于S的Dorroh扩张,若环R是对称的 D也是对称的;(3)R是一个交换整环,σ是R的一个内射自同态,则由R,σ形成的R的Nagata扩张也是对称的.     

一集类上测度的扩张

测度的扩张是从简单集上的测度出发,来构造更复杂集类上的测度.本文首先对测度扩张的理论做了一个简单总结,然后引进了一个新集类———弱半环,给出了其上的测度扩张定理,它推广了Caratheodory测度扩张定理.     

μ从（X,A）到（X,σ（A∪｛C｝））上的扩张测度的唯一性定理

本文讨论了σ有限测度μ从（Ｘ，Ａ）到（Ｘ，σ（Ａ∪｛Ｃ｝））上的扩张测度的唯一性问题给出了这种扩张唯一性的四个充分条件。     

μ从（X，A）到（X，σ（A∪｛C｝））上的扩张测度的唯一性定理

本文讨论了σ有限测度μ从（Ｘ，Ａ）到（Ｘ，σ（Ａ∪｛Ｃ｝））上的扩张测度的唯一性问题，给出了这种扩张唯一性的四个充分条件。     

Fuzzy测度的绝对连续性及扩张

要建立定义在环上的Fuzzy测度(或更广泛一些的非可加测度)的一般扩张理论是困难的。迄今为止,有关的讨论都局限于某些特殊类型的Fuzzy测度(非可加测度)。在本文中,我们也仅研究一类特殊的Fuzzy测度的扩张,给出它们能从一个代数扩张到包含这个代数的σ-代数上去的条件。     

勒贝格外测度的一个重要性质

考虑环R0上的测度m,H(R0)是R1的所有子集全体.由m引出的外测度,m*称为勒贝格外测度.直线上任何数集E的勒贝格外测度就等于包含E的开集的勒贝格外测度的下界.     

Lebesgue-Radon-Nikodym定理的推广和测度导数定理的推广

W. Rudin[1]中Lcbe sgue—Radon—Nikodym定理的测度μ,λ是正的有界测度,本文将其推广到μ是σ~-有限的正测度,λ是σ-有限的正测度、σ-有限的符号测度及复测度的情况。W. Rudin[1]中定理8.6限制μ是R~k上的复Borel测度,本文将其推广为在紧集上有限的符号测度。本文所引符号完全采用[1]中的符号。     

有限可加集函数连续性定理的一个注记

众所周知,测度论是近代数学的一个基础理论。由于测度是非负σ—可加集函数,所以判断一个集函数是不是测度关键是要判断集函数是不是有σ—可加性。一般地直接验证一个集函数是否具有σ—可加性是比较困难的,但验证集函数有限可加及连续往往比较容易(定义见),它们之间的关系有以下两个重要定理:(证明见) 定理1:设ψ是集代数T上的σ—可加集函数,则ψ有限可加且连续。     

基于对称差测度的Fuzzy度量

以测度空间(X,B,μ)为基础,以客观所需及Fuzzy集的分解定理为背景,从集合的对称差测度出发,建立了几种衡量X上的Fuzzy集之间的距离,并讨论了它们的基本性质.     

环R+uR上的σ-循环码

设A=R+uR,其中R为Z_q的m次Galois扩张.定义了环A的自同构σ,并由此定义了环A上的σ-循环码.给出了σ-循环码是自由的充分必要条件.另外,给出了自由的σ-循环码极小Hamming距离下界的一个估计.     

σ—环上一致σ—可加与一致μ—连续的等价性

讨论了环上的向量测度及其性质，并给出σ－环上的向量测度族的一致σ可加性与一致μ－连续性的等价性定量，     

关于矢量测度绝对连续性的一个注记

本文在μ是σ—域∑上的有限可加测度的条件下,证明了∑上可数可加矢量测度 F 之μ—连续性与 F 在μ—零集上为零的条件等价,因而改进了有关矢量测度绝对连续性的熟知的 Pettis 定理,同时,修正了所谓“F《μ不同于 F 在μ—零集为零,除非 F 和μ两者均在σ—域∑上是可数可加的”不当说法。