链式法则的一个证明

复合函数求导的链武法则是:设函数 u=(?)(x)在点 x_0处可导,y=f(u)在点 u_0(u_0=(?)(x_0))可导,则复合函数 f_0(?)(x)在点 x_0可导,且(f_0(?))′(x_0)=f′(u_0)(?)′(x_0)。对于这个法则,我们给出一个新的证明。为此先引入两个引理。定义设 E(?)R。f在 E 上有定义,x_0。∈(?)((?)是 E 的闭包),如果存在常数 l,对于任给ε>0,存在δ>0,当x∈(x_0-δ,x_0+δ)∩E-{x_0}时,恒有 f(x)∈(l-ε,l+ε),则称 f 在x_0关于 E 有极限 l。记作 l=(?)f(x)。     

用辩证唯物主义观点认识微分

马克思在《数学手稿》中指出:微分是“扬弃了的”或“消失了的”差值,并且直截了当地写上微分“dx=0”,“dy=0”。这是对微分概念最精辟、最辩证的表述。旧教材却对微分概念作了形而上学的歪曲的描述。它把微分定义为:“设函数y=f(x)在一点x=x_0附近有意义,且存在一常数A,使对于x的改变量△x与y的相应改变量△y=f(x_0 △x)-f(x_0)之间有关系式△y=A·△x O(△x),其中A是与△x无关的常数,则称函数y=f(x)在点x_0处是可微的,而△y的主要部分A·△x叫做函数在x_0点的微分,用符号dy或df(x)记之,则dy=A·△x或df(x)=A·△x”。并且还做了一个归纳:“简单说来,微分就是函数增量的线性主部,而当△x很小时,dy≈△y”。     

一类耗散方程混合问题解的爆破

本文讨论耗散方程的混合问题{u-(tt)-△u-μ△u_t=H(▽u,D▽u) (t,x)∈(0,T)×Ωu(0,x)=f(x),u_t(0,x)=g(x) ■通过适当的函数变换,运用凸性方法证明了当H(▽u,D▽u)≥ρu_t~2+q sum from i=1 to n u_(x_1)~2++μ(?)u_t sum from i=1 to n u_(x_i)~2+u(q-2)sum from i=1 to m u_(x_1)u_(tx_1)(这里ρ>0,q>0)及integral from Ωe~(qf(x))g(x)dx>0时,所考虑混合问题的光滑解在有限时间内爆破.     

一类Kolmogorov捕食系统的定性分析

研究一类Kolmogorov捕食系统:ddxt=x(a0-a1x+a2xn-1-a3xn+a4xφ(y)),ddyt=y(b1xn-b2),其中φ(0)=0,φ′(y)ε0,(y0).首先运用等式gf((uu))′=Δlui→m0f(u+Δu)g(u+Δu)-gf((uu))Δu将张芷芬唯一性定理和微分不等式定理中需要的两个不等式联系起来,再配合运用环域定理、ΦИЛИППОВ变换及Dulac函数法得到了该系统存在唯一极限环和不存在极限环的充要条件,从而对其参数范围就其极限环存在性与不存在性讨论完全,推广了前人相关的结果.     

一类半线性抛物型方程解的blow—up

设Ω R”的有界区域,u(x,t)是问题:u_t-△u=f(u)在Ω×(0,T),β u/ v+u=g(u),β>0,在Ω×(0,T),u(x,0)=u_0(x)的古典解此地△是n维的Laplac, u/ v记为u在Ω的外法向,利用凸性方法证明了上述问题的解在有限时间内变无穷,其中f(u),g(u)和u_0(x)满足以下不等式集合的任一个: (d_1) u_0(x)≥0,f(u)≥0,g(u)≥0,u_0(x) 0,△u_0+f(u)>0,uf'(u)-(l-1)f(u)≥0,ug'(g)-(l-1)g(u)+(l-2)u≥0,l>2。 (d_2) u_0(x)≥0,f(u)≥0,g(u)≥0,△(u_0)+f(u_0)>0,f'(u)-αf(u)≥0,g'(u)-αg(u)+αu-1≥0,α≥0。 (d_3) u_0f(u_0)≥0,u_0(x) 0,uf'(u)-(2α+1)f(u)=0, 对于任意实数W,integral from n=0 to W[(z(g(z)+2α)-(2α+1)g(z)]dz≥0,α>0,∫Ω(integral from n=0 to u_0 1/β(g(z)-z)dz)dx-1/2∫Ω|▽u_0|~2dx>0。     

一类半线性微分方程组第三边值问题的差分方法

本文旨在证明形如 u_t(x,t)=Auxx(x,t) f(u)微分方程组的第三边值问题近似解的存在唯一性问题。其中: (z,t)∈(0,L)×(0,T)=G_T u(x,t)=(u_1(x,t),u_2(x,t),…,u_m(x,t)) f(u)=(f_1(u),f_2(u),…,f_m(u))其边值条件为“u_x(0,t)=σ_1u(0,t),u_x(L,t)=-σ_2u(L,t) u(x,0)=φ(x),σ_1>0,σ_2>0,φ(x)满足边界条件: φ′(0)=σ_1φ(0),φ′(L)=-σ_2φ(L) [1]的作者解决了上述方程组的第一、二边值问题,本文用与[1]类似的方法解决了第三边值问题。实际上,对A,σ_1,σ_2和f含t变量的同类边值问题也有类似的结论。本文为简明计,仅对条件与[1]相同的情况进行论证。     

关于非线性双曲型方程Cauchy问题

本文继续引用上、下解方法,讨论如下非线性双曲型方程Cauchy问题: u_(xy)=f(x,y,μ,μ_x,μ_y) (x,y)∈Q V(x,y)∈C:u_x=σ′(x),u_y=τ′(y),u=σ(x)+τ(y) (1.1) 其中:Q={(x,y)∈R~2:x∈[a,b],u(x)≤y≤μ(a)}。(0≤a相似文献   

一元复合函数求导法则的一种证法

在证明由函数y=f(u)与u=φ(x)构成的复合函数y=f[φ(x)]的求导公式dy/dx=dy/du·du/dx时,在数学分析教材的证明中都用到当△u趋于零时的无穷小量a,并需要补充义当△u=0时,a=0,这对初学者来说是不容易理解的。本文给出的证法避免了补充定义a这一做法。本证明的特点是按△u是否为零分为三种情况,其中第二种情况的证明是本证法的关键。     

两点边值问题的双向迭加法

考虑二阶线性常微分方程的两点边值问题: Lu=f(x),a≤x≤b (1) (I){ a_1u′(a)+a_2u(a)=α,b_1u′(b)+b_2u(b)=β (2) (a_1~2+a_2~2≠0,b_1~2+b_2~2≠0)不失一般性,算子L可看作 Lu=u″(x)-q(x)u(x) (3) 众所周知,方程(1)的通解具有如下迭加结构: u(x)=c_1u_1(x)+c_2u_2(x)+u_f(x) (4)其中u_1,u_2为对应(1)的齐次方程     

带一般边界和大初始扰动条件的广义BBM-Burgers方程解的渐近性态

研究广义BBM-Burgers方程ut+f(u)x=uxx+uxxtt的一般初边值问题,其边界满足u(0,t)=u_(t)→u_(t→∞),u_(t)-u_≤0;初始值满足u(x,0)=u0(x)→u+(x→∞),u_(0)=u0(0)且u_＜0＜u+.在流函数f满足f″(u) ＞0,f′(0)=f(0)=0以及初边值为大扰动的条件下,用L2-能量方法证明其解的整体存在性及渐近收敛于强稳定波和强稀疏波的叠加.     

定积分的换元法

在不定积分中,其中之一的积分方法:设y=f(x),x=φ(t)及f′(t)都是连续的,x=φ(t)的反函数t=φ~(-a)(x)存在且可导,并且∫f[φ(t)]·φ′(t)dt=F(t)+C,则∫f(x)dx=F[φ~(-a)(x)]+C。在定积分中的换元法则是:对于定积分integral from n=a to b(f(x)dx),其中f(x)在区间[a,b]上连续,如果函数x=0φ(t)满足下列条件(1)φ(t)在区间[α,β]上有定义′是单值的′单调的,且有连续导数φ′(t)。(2)当t在区间[α,β]上变化时,x=φ(t)的值在区间[a,b]上变化,在这些条件下,则有公式integral from n=a to b(f(x)dx)=integral from n=α to β(f[φ(t)·φ′(t)dt)     

拟微分算子有关命题的两种证法

命题:设A是适拟微分算子,K_A∈C~∞(X×X),则对任意的u∈D′_0,有A_u∈C~∞(X) 证法一:首先我们来证明对u∈D′_0(X),函数 f(x)=是在C~∞(X)中的。显然对每个固定的x,有K_A(x,y)∈C_0~∞(X)(视为y的函数),故f(x)确为通常意义下的函数。而且当x→x_0。时,将x看成参数的y的函数K_A(x,y)的支集落在一个共同的紧集之内,且在此紧集上对x一致地有D_y~mK_A(x,y)→D_y~aK_A(x,y)即在D_0(x)的拓扑下有K_A(x,y)→K_A(x,y),从而有f(x)→f(x),     

具有可变号且与px′有关的非线性项的奇异边值问题的无界正解

应用锥上的不动点指数理论,讨论二阶奇异微分方程边值问题{1/(p(t))(p(t)x′(t))′+φ(t)f(t,x(t),p(t)x′(t))=0, 0＜t＜1;limt→0p(t)x′(t)=x(1)=0,正解的存在性.其中f(t,u,z)可变号,∫10(1)/(p(t))dt=+∞,并且在u=0,z=0奇异.     

一维p-Laplacian方程奇异边值问题的正解

讨论了一类p-Laplacian算子型泛函微分方程的奇异边值问题(φp(y′(t)))′ h(t)f(yt)=0,y(t)=μ(t),y(0)-g1(y′(0))=0=y(1) g2(y′(1))正解的存在性,其中p(u)=|u|p-2u,p>1.利用锥上的不动点定理,得到了这类边值问题存在一个或者多个正解的充分条件.     

有穷导数与无穷导数的一些性质

数学分析对有穷导数(导数)与无穷导数都有说明,本文将深入探讨它们的一些性质,且比较它们的同、异性,得到如下的结果。定理1 设f(x)在O(x_0,Δ)(Λ∈R~+)中有定义,f′(x_0)=+∞(或-∞),则 (ⅰ)在点x_0,f(x)不一定连续(与有穷导数不同)。 (ⅱ)δ>0(δ<Δ),使x∈(x_0—δ,x_0)时,f(x)f(x_0));x∈(x_0,x_0+δ)时,f(x)>f(x_0)(或f(x)相似文献   

非线性Hammerstein方程组存在解的非局部定理

§1 引言物理力学与技术中的許多問題,引导出非綫性积分方程的研究,其中很大部分問題所引导出的是Hammerstein型积分方程φ(x)=integral from n=G k(x,y)f[y,ξ(y)]dy (1.1)及Hammerstein型积分方程組 其中G是有限維空間某集合,核函数k(x,y);k_1(x,y),…,k_n(x,y)都是定义在x∈G,y∈G上的两变数函数。f(x,u)是定义在x∈G,|u|<∞上函数,f_1[x,u_1,…,u_n],f_2(x,u_1…u_n]…f_n[x,u_1…u_n]是定义     

可分离变量奇异非线性Sturm-Liouville问题的正解

本文考察了如下情形奇异非线性Sturm-Liouville问题-(Lφ)(x)=h(x)f(φ(x)),0＜x＜1,R1(φ)=α1φ(0) β1φ′(0)=0,R2(φ)=α2φ(1) β2φ′(1)=0,的正解情况,并给出了相应的例子.其中,(Lφ)(x)=(p(x)φ′(x))′ q(x)φ(x),p(x)∈C1[0,1],p(x)＞0,q(x)∈C[0,1],q(x)≤0;α1,α2,β2≥0,β1≤0不但允h(x)许在x=0,x=1处奇异,而且允许f(s)在s=0处奇异.     

确定非线性椭圆型方程的未知系数

一、引言本文考虑下面的非线性问题(a(u)u)_x+(a(u)u_y)y=0 (1.1)a(u(0,y))u_x(0,y)=p_0(y) (1.2)a(u(1,y))u_x(1,y)=p_1(y)u(x,0)=0,u(x,1)=f(x) (1.3)a(u(x,1))u_y(x,1)=g(x).(1.4)其中 a(u)为介质的热传导系数,u(x,y)为介质的温度,都是未知函数.p_0(y),p_1(y),f(x),g(x)为已知函数.在研究二维板材的定常热流时,如果板材的热传导系数与温度有关,就会提出上面的问题.J.R.Cannon 和 P.Duchateau 在[1]中研究了线性问题     

多维拟线性蜕化抛物型方程广义解的存在唯一性

本文研究了下列多维拟线性蜕化抛物型方程的第一边值问题广义解的存在唯一性a(u)=△u+b(u)·▽u,u~Σ=Ψ(s,t),u~t=0~(=u_0(x),)这里a(s)、b(s)、φ(s,t)、u_0(x)有界可测。     

非线性波动方程整体解的存在性与唯一性

设R~n为n维空间,f(t,x,u)是R~+×R~(n+1)上的实连续函数。本文讨论 u_u-△u+λu_1+μu=f(t,x,u),λ,u>0 (1) u(0,x)=u_0(x),u_1(0,x)=u_1(x).x∈R~n (2)的整体解的存在性与唯一性。定义x_s及|||·|||_s为下列空间及其相应的范数