瓦勒·布然奇异积分的类LiP~(·α)特征

本文旨在指出函数逼近论中瓦勒·布然奇异积分V_n(f;x),逼近类Lipα(0<α< 2)中函数f(x)的特征能用阶n~2来刻划。     

瓦勒·布然算子对Z类函数逼近的阶

所谓Z类函数就是以2π为周期的连续函数f(x),且对一切x和t都滿足下列条件:|f(x t)-2f(x) f(x-t)|≤2t, (1) 在[1]中彼得罗夫曾就傑克逊算子和柯罗夫金算子对Z类函数作出了逼近的阶。本文研究瓦勒·布然算子对Z类函数逼近的阶。     

维尔斯特拉斯第一定理与n重贝努利试验的联系

利用概率论中n重贝努利试验的相关结论,对函数逼近论中维尔斯特拉斯第一定理的证明过程进行分析,揭示了二者之间的联系.当f(x)在[0,1]上具有一阶连续导数时,给出了用多项式Bfn(x)=∑nk=0f(nk)xk(1-x)n-k逼近f(x)的逼近阶估计。     

磨光法的一个应用

给出了在工程技术中常见的间断周期函数 f(x) .运用对函数进行磨光法得到的具有二阶连续导数 ,作为原来函数 f(x)的最佳逼近元 ,与其它的逼近函数进行比较 ,分析了各自的优缺点 .磨光函数能克服其它逼近函数的缺点 ,同时具有与三次样条函数相同的精度 ,而且计算简单 ,应用广泛     

关于共轭级数的Cesàro求和

设■(x)为连续周期函数f(x)的共轭函数,■_n~a:(x;f)为f(x)的Fourier级数的共轭级数的α级Cesàro平均数。A.B.给出了用(?)_n~1(x;f)逼近(?)(x)的逼近度,本文则对一般的α给出了逼近度。     

关于Weierstrass逼近定理的一个注记

本文对Weierstrass逼近定理进行了研究,得到了如下结果:若函数f(x)是定义在区间(-∞, ∞)上的非多项式连续函数,则一致逼近于函数f(x)的多项式函数列是不存在的。     

可测函数的一个逼近问题

本文给出了几乎处处上半连续的函数族测度逼近几乎处处有限可测函数的一个充要条件,并由此给出几个直接结果。定义设f(x)是〔a,b〕上的可测函数,S是〔a,b〕上的可测函数族,称S测度逼近f(x)是指出任意ε〉0和δ〉0,存在g(x)∈S,满足 mE(|f(x)-g(x)|≥ε)〈δ,其中E(|f(x)-g(x)|≥ε)={x|x∈〔a,b〕,|f(x)-g(x)|≥ε},“m”为集合的测度符号。     

无限区间上ХЛОДОВСКИИ算子的局部渐近估计

1937年,苏联И、Н、ХЛОДОВСКИИ曾经考虑БеРНЩteИН多项式算子的一种变形,使之可用以逼近半实轴上的一类连续函数。为ХЛОДОВСКИИ算子,文〔1〕第三章第2节中证明了 定理1 设bn=o(n)(n→∞),f(x)在半实轴〔o,∞〕上有界,则在函数f(X)的任一连续点X处,有 自然提出,Bn〔f(bnt);x/bn〕-f(x)趋向于零的速度与函数f(x)的结构性质的关系,或者说改善被逼近函数的结构性质,对于它的最佳逼近的阶的降低有何影响。本文指出给出半实轴上任何连续函数的逼近的ХЛОДОВСКИИ多项式算子,虽然在f(x)有界时逼近成立,但是就逼近的精确性来说乃是十分不佳的工具,逼近的收敛速度是较慢的,因为通过下面的定理可以看出,不论怎样改善函数的结构性质,对于ХЛОДОВСКИИ算子都     

包含约束极值问题的二阶最优性条件

定义了函数f的二阶逼近;给出了当f和集值函数F的支撑函数的和函数在(x-,0)处具有紧二阶逼近时,f在约束0F(x)下取得最小值的二阶充分条件和必要条件.     

关于（0,2）型插值多项式逼近

设n是偶数,P_(n-1)(x)是Legendre多项式,R_n(f,x)是以(1-x~2)P~(?)_(n-1)(x)的零点为基点的所谓(0,2)型插值多项式。本文构造了两个函数类H_(ω_2),H_(ω_1)~*,研究了R_n(f,x)逼近H_(ω_2),H_(ω_1)~*中函数f(x)的阶,并且验证了所给出的逼近阶是最佳的。     

一类修正的Bernstein-Kantorovich算子的逼近性质

把Bernstein-Kantorovich算子修正为保持线性函数不变的算子Ln(f,x).并研究了Ln(f,x)的逼近性质,得到了逼近正定理,扩充了以前的结果.     

布尔函数的二阶非线性度的下界

对形如f(x)=tr(∑﹂(n-1)/2」i,j=1bijxd)的n元布尔函数的二阶非线性度进行了研究,其中d=2i+2j+1,bij GF(2),1≤ij≤L(n-1)/2」.当n为奇数时,找出了函数f(x)达到最大非线性度的导数;当n为偶数时,找出了函数f(x)的半Bent函数的导数.基于这些具有高非线性度的导数,给出了f(x)二阶非线性度的紧下界.结果表明f(x)具有较高的二阶非线性度,可以抵抗二次函数逼近和仿射逼近攻击.     

关于Bernstein-Durrmeyer多项式对不连续函数的逼近(续)

本文考虑在[0,1]上只具有第一类间断点的有界函数f(x),用它的n阶Bernstein-Durrmeyer多项式M_n(f,x)来逼近,给出了点态的逼近阶。     

函数的а-多项式逼近

提出用α-多项式进行函数逼近的问题,首先给出广义的伯恩斯坦多项式,利用它证明了α-多项式逼近定理,即:对于闭区间[a,b]上的连续函数f(x),存在α-多项式序列{pn(x,α)},使{pn(x,α)}在[a,b]上一致收敛于f(x)。从理论上解决用α-多项式进行函数逼近的问题。最后用数值例子说明对于有些数据用α-多项式(α≠1)进行函数逼近效果会更好。     

关于周期可微函数用线性正算子的逼近阶

本文考虑用线性正算子L_n(f;x)=1/πintegral from (-π)toπf(x+t)u_n(t)dt(u_n(t)≥0)逼近函数类H~ω_C和H~ω_L的问题.得到了用L_n(f,x)逼近类H~ω_C和H~ω_L的主项.     

关于δ样条函数逼近δ函数的定理

本文得到了以δ-样条逼近δ-函数的普遍结果。它阐明在[1]文意义下的逼近与节点和f(x)的间断点的相对位置有关。其主要结果如下。设函数f(x)连续于[a,b]或只有第一类间断点。若把f(x)以b-a为周期延拓到(-∞,∞)则其中,当x_0→x,…,x_0→x时 a_i→0 (i=1,2,3)     

一类线性函数方程的解析解

在文献[1],[2]中指出,一类双曲型方程(组)的某些定解问题,最后归结为线性函数方程 f(x)=(?)a/f(α/x)十h(x) (1)的求解问题。其中f(x)是未知函数,h(x)是已知函数。文献[1]—[4]分别讨论了方程(1)的连续解、样条函数逼近解和解析解,得到了很好的结果。1964年G. MAJCHER讨论了更广泛的线性函数方程     

一类Lagrange插值多项式的两个结论

讨论以xk=coskπ/n(k=0,1,...,n)为节点的Lagrange插值多项式逼近[-1,1]上的光滑函数f(x)时的逼近度.若f(x)是高阶多项式时,误差公式中出现一类三角函数的和数,本文给出此类和数的代数表达式.     

R~n中紧集上C~((1))类函数的双重一致逼近

本文首先引入n元Bernstein多项式B_m〔f,x〕,进而用多项式序列{B_m〔f,x〕}及其导函数序列{B_m〔f,x〕}分别一致地逼近R~n中紧集上C类函数f及其导函数f＇。得出一个比关于C类函数逼近的Werierstrass定理更为深刻的结果,也即是把Painleve的结论(见〔1〕从一维情形推广到n维情形。有意义的是具体地构造出逼近序列的证明方法。     

二元平方逼近的类BERNSTEIN命题

用二元多项式P_(nm)(x,y)来逼近二元函数f(x,y),由于要依赖于两个变量x与y,又要依赖于两个不同的阶数n与m,因而比一元多项式的逼近要来得复杂.关于对C_([(a,b);(c,d)])空间中的二元连续函数的最佳一致逼近,S.Bernstein在[1]中引入了“全最佳逼近”E_(nm)f与“偏最佳逼近”E_(n∞)f、E_(∞m)f 这两个概念,并证明了二者之间的下述关系式: