“非标准分析”的逻辑建构及其后现代数学方法论意蕴

微积分作为人类伟大的数学创造,其知识获得合法性的过程颇为曲折。无穷小量方法由于自身的悖论而被严格化的ε-δ方法所取代。在模型论基础上,鲁滨逊创立的"非标准分析"作为微积分知识的一种新的逻辑建构,深刻地展现了数学知识创造的多元主义方法论。从"标准分析"到"非标准分析",一种具有广深差异性的数学知识范式正在形成,微积分也完成了其历史进程与逻辑建构的相互统一。     

理想与信念:西方数学发展的精神动力

理想与信念是西方数学发展的精神动力。数学信念的确立、维护、纠正和再立的过程,是西方数学发展的不竭动力。数学理想与信念,从古希腊的"万物皆数",到中世纪至近代的"上帝按照数学设计了世界",再到现代的"数学内在的协调与逻辑美",展示了数学发展中理想与信念的强大驱动作用。     

从文化史的角度看近代微积分效用的神秘性

近代微积分效用的神秘性不仅是数学自身原因造成的，更为重要的是文化秩序调整的产物。启示于柏拉图主义，近代文化通过逻辑审美特征来为数学和理性知识辩护。数学逻辑审美特征的虚幻性造成了近代文化内在根基的虚幻性和外在合法性的悖论性质，使得不严密的近代微积分处于尴尬境地，导致了人们对其效用合法性的怀疑与不理解。     

帕斯卡尔的数学心路历程

帕斯卡尔在少年时代深受以梅森为代表的巴黎数学家团体的思想影响,他对上帝是一位至高无上的数学家深信不疑,数学研究是其信仰的一部分,这种认识奠定了其数学生涯和精神生活的基础。在其青年时期,基于早期形成的宗教数学观,他的数学探索热情和创造力达到了高峰,但与此同时,詹森主义者对于数学之于信仰的价值的质疑以及德·梅勒对于数学的确定性及应用的局限性的质问促使了他对于数学的反思。在其短暂一生的后期,他对数学的思考更多地集中于对数学的本质、方法和价值等问题上,尤其集中于数学与基督教信仰的关系上,对于此时的他而言,数学正是人作为被造物所具有的局限性且又试图追求完美和自我超越的这种悖论处境的反映。     

同伦论的历史演变

同伦论的创立,在近代数学乃至近代科学的发展中占有非常重要的地位。本文在原始文献及研究文献的基础之上,整理和发掘同伦论历史演变过程中相关数学家的数学思想,并结合当时数学发展的主要趋势,探寻有关数学思想和方法产生的历史根源、传承关系,进而揭示同伦论历史演变过程的清晰思想脉络和重要影响。     

重建人和自然界的价值论地位--霍尔姆斯·罗尔斯顿的自然价值范畴

罗尔斯顿对自然价值的论证逻辑经历了从价值观的变化到价值本体化,再到对自然价值客观性的证明等三个环节。自然价值具有价值和事实双重内涵,自然价值论具有伦理学和自然科学双重品性,它存在着价值本体化的思路,其存在论基础是近代哲学的二元论。人与自然界之间伦理关系的基础不是一个客观事实,而是由人确立的,它在本质上是人在实践中为人和自然界确立的一种价值论地位。     

第二次数学危机的实质是方法论的变革

数学的主要研究对象是“数”和“形”，与“数”的研究领域所对应的方法主要是运算方法，与“形”的研究领域所对应的方法主要是逻辑证明的方法，两种方法的结果都是确定无疑的。微积分的出现产生了一种新的方法，即分析方法，分析方法是“算”和“证”的结合，是通过无穷趋近而确定某一结果。古代数学中就发现了这一方法，牛顿和莱布尼兹创立微积分实际上是将这一方法程序化和运算化，这导致了对分析方法的误解，从运算方法的原则去指责分析方法的程序过程，这就是第二次数学危机的实质。戴德金使分析算术化，通过对实数的分划奠定分析方法的基础，指明了通过无穷趋近确定某一常数的确切性和惟一性，开始为分析注入严密性。     

中国近代的级数展开式研究

中国也能通过自己独特的途径,独立地得到一些近代数学成果(数学发现)。这在研究中国近代科学时,是不能否认或忽略的。本文旨在讨论近代中国学者怎样通过级数展开式研究独立地得到简捷的对数表造法和相当于微积分的方法,以就教于同行,抛砖引玉。先谈简捷的对数表造法。 1614年,英国数学家耐普尔(John Napier,1550—1617)制定了对数及对数表,给出了数字计算的简化方法,对当时世界贸易和天文学中数字计算的简化起了十分重要的作用。著名数学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)说:“对数的发明,简化了天     

集合论及其进展

人类不仅从物理、天文、化学、生物等基础学科出发探索客观世界的无限性,而且通过集合论研究数学中的无限。无穷集合(包括无穷序数,无穷基数)的研究在数学上、逻辑上、人类思想史与科学史上都占重要位置。其中某些课题如连续统问题、大基数问题、选择公理等至今仍是数学界关注的难题。它们吸引着许多著名数学家和哲学家在进行研究与思索。本文介绍这些研究的历史、现代进展和哲学意义。     

附魅、祛魅与返魅:人与自然关系之逻辑演进及其生态启示

从附魅、祛魅到返魅,从建构、解构再到重构,这既是人与自然关系历史流变之真实写照,又是其逻辑演进之内在必然。自然之附魅是古代人在物我不分情境下对万物之神秘生发出的热爱与虔敬,自然之祛魅是近代人在主客二分与境下与宇宙诸物的对抗和疏离,自然之返魅则是现代人在深陷诸多生存困境下的一次生态大觉醒。     

Mathematical,Philosophical and Semantic Considerations on Infinity (I): General Concepts

In the Reality we know, we cannot say if something is infinite whether we are doing Physics, Biology, Sociology or Economics. This means we have to be careful using this concept. Infinite structures do not exist in the physical world as far as we know. So what do mathematicians mean when they assert the existence of ω (the mathematical symbol for the set of all integers)? There is no universally accepted philosophy of mathematics but the most common belief is that mathematics touches on another worldly absolute truth. Many mathematicians believe that mathematics involves a special perception of an idealized world of absolute truth. This comes in part from the recognition that our knowledge of the physical world is imperfect and falls short of what we can apprehend with mathematical thinking. The objective of this paper is to present an epistemological rather than an historical vision of the mathematical concept of infinity that examines the dialectic between the actual and potential infinity.     

建部贤弘的数学认识论--论《大成算经》中的"三要"

“象形”、“满干”和“数”,是日本江户时代数学家建部贤弘在《大成算经》中所讨论的三个范畴 ,也是该书的纲纪 ,谓之“三要”。这些范畴来源于中国传统文化中的术数 ,语言晦涩 ,一直为日本数学史界所忽视。文章从中国数学文化传统出发 ,重新解读这些文字 ,提出一些全新的观点。认为在汉字文化圈数学家中 ,建部贤弘在中国象数学文化背景下 ,首次系统地阐述了数学科学的本质 ,讨论了数学研究对象及其存在性问题 ,并已接触到数学变量的讨论 ,同时对实数系给出了一种分类。其“三要”数理观是汉字文化圈数学认识论的突出反映 ,具有数学哲学意义。     

Arithmetization and Rigor as Beliefs in the Development of Mathematics

With the arrival of the nineteenth century, a process of change guided the treatment of three basic elements in the development of mathematics: rigour, the arithmetization and the clarification of the concept of function, categorised as the most important tool in the development of the mathematical analysis. In this paper we will show how several prominent mathematicians contributed greatly to the development of these basic elements that allowed the solid underpinning of mathematics and the consideration of mathematics as an axiomatic way of thinking in which anyone can deduce valid conclusions from certain types of premises. This nineteenth century stage shares, possibly with the Heroic Age of Ancient Greece, the most revolutionary period in all history of mathematics.     

《墨经》数学今释

《墨经》是墨子著作的一部分，其中也有墨家弟子增补的内容。《墨经》包含丰富的数学、物理学和逻辑学知识，是研究先秦科学技术史的宝贵文献，在中国和世界学术史一上占有重要的地位。由于《墨经》文字古奥简晦，现传本又多有衍脱讹误，因此如何理解各条经文，历来众说纷纭，分歧很大，争论很多。本文对《墨经》中涉及数学概念和数学命题的经文作了初步的归纳和整理，并对较重要的或在认识上存在较大分歧的数学定义和命题作了新的诠释，最后对《墨经》数学的特点和意义进行了简要的评述，以期为深入探讨《墨经》数学和墨子数学思想提供一个新的基础。     

从在国际顶尖基础数学期刊发表论文情况看我国数学近几十年来的发展

为了通过中国大陆地区在基础数学顶尖科研期刊发表论文的情况,了解我国数学的发展和现状,本文选取了10个国际最权威的基础数学期刊,分为两类,对中国数学家在这些刊物发表论文的情况进行分析。统计结果表明我国在第一类期刊发表的论文数量很少,这表明我国数学的研究水平还有待提高,原创性研究方面还有待努力;但是近30年来,我国在第二类期刊发表的论文数量显著地逐年增加,这显示我国数学研究团队的数量和实力都有了很好的发展。     

Why Do Informal Proofs Conform to Formal Norms?

Kant discovered a philosophical problem with mathematical proof. Despite being a priori, its methodology involves more than analytic truth. But what else is involved? This problem is widely taken to have been solved by Frege’s extension of logic beyond its restricted (and largely Aristotelian) form. Nevertheless, a successor problem remains: both traditional and contemporary (classical) mathematical proofs, although conforming to the norms of contemporary (classical) logic, never were, and still aren’t, executed by mathematicians in a way that transparently reveals why these proofs—written in the vernacular to this very day—succeed in conforming to those norms.     

清末数学教育对中国数学家的职业化影响

数学教育是决定数学研究能否持续性发展的重要因素，对数学的专业化及数学家的职业化都起着举足轻重的作用。     

论19世纪的逻辑学——在数学与哲学之间

19世纪的逻辑学处于数学与哲学之间:一方面,数学家在对传统逻辑的改革过程中形成了逻辑代数和数理逻辑;另一方面,哲学探讨热衷于逻辑学的性质、地位、基础等问题,由此形成了心理主义和反心理主义之争。这种状况从各个方面影响了20世纪的逻辑学、心理学和哲学的发展。     

On the Persuasiveness of Visual Arguments in Mathematics

Two experiments are reported which investigate the factors that influence how persuaded mathematicians are by visual arguments. We demonstrate that if a visual argument is accompanied by a passage of text which describes the image, both research-active mathematicians and successful undergraduate mathematics students perceive it to be significantly more persuasive than if no text is given. We suggest that mathematicians’ epistemological concerns about supporting a claim using visual images are less prominent when the image is described in words. Finally we suggest that empirical studies can make a useful contribution to our understanding of mathematical practice.     

《数根丛草》注记

李善兰《考数根法(》1872)与方士《数根丛草》(1897)是晚清讨论素数判别法的两部主要著作。解读两书内容,考察《数根丛草》对因数分解判别素数法的运用以及对《考数根法》求"定次"方法的完善等两项工作,可以看出晚清数学家对于费尔马小定理与费尔马因数分解判别素数法的深刻认识与灵活运用。此外,改正了以往关于《数根丛草》内容解释的一些错误和遗漏,并认为《考数根法》与《数根丛草》的内容与数学方法的来源需要进一步探讨。