熵(Ⅰ)

一般不确定性问题所包涵的“不确定”的程度，在多数情况下是可以用数学来定量地描述的，关于不确定性的数学度量，我们称之为熵．这里，首先介绍物理学家、化学家早已熟悉的热力学熵，并对古典的Boltzmann熵作数学描述，进而对随着信息理论的需要而出现的Shannon熵作一番论述．并对熵在现实世界中的应用进行研究．     

关于熵的可交换性

不管在测度空间还是拓扑空间上,两个连续映射复合后,其熵与复合的先后次序有关,但满足一定条件后,有些复合的顺序是可以交换的,即交换秩序后的熵保持不变.详细回顾了一些关于熵的定义,讨论了两个映射复合后其测度熵、测度序列熵、拓扑熵、拓扑序列熵、二维映射的拓扑熵、旋转熵及拓扑压的可交换性.     

关于拓扑序列熵的一点注记

当(X,f)是紧系统时,拓扑熵满足性质:en t(fm)=m.ent(f),对于由递增的正整数序列A={ai}i∞=1所确定的en tA(f)的拓扑序列熵不完全具有此类性质。它的性质和A的结构有着直接的关系。     

原像熵的一个推广

作为原像熵概念的推广,对紧致度量空间上的连续映射T应用原像集的生成集和分离集,引入了2类原像压：Pp(T,^*)和Pm(T,^*);同时给出了拓扑压、原像熵和原像压之间的一个关系：P(T,f)≤hi(T) Pm(T,f)。     

Kolmogorov熵在大鼠脑电麻醉深度监测中的应用

将非线性动力学中的Kolmogorov熵应用到大鼠脑电麻醉深度监测分析中,计算并分析了大鼠在戊巴比妥钠腹腔注射麻醉过程中脑电信号的 Kolmogorov熵动态变化曲线,结果表明:大鼠注射戊巴比妥钠后,在最初的麻醉过程中,有些脑区呈抑制状态,有些脑区呈兴奋状态;大鼠注射戊巴比妥钠后 A脑区进入深度麻醉状态的诱导期时间约为1 300 s,B脑区的约为1 400 s;麻醉时Kolmogorov熵动态变化曲线与原始脑电信号所反映的各脑区抑制与兴奋状态的变化趋势有很好的一致性.因此,Kolmogorov熵可为临床麻醉深度的实时监测提供一个新的方法.     

连续变换的拓扑熵的一个注记

设 (X ,J)是一个拓扑空间 ,K是X的一个紧子集 ,α ,β是X的一个开覆盖 ,T :X X连续 ,n是自然数 ,令N(K ,α) =min{ ｜γ｜ γ是α对K的子覆盖 } ,H(K ,α) =lnN(K ,α) ,T-1(α) ={T-1(A)A∈α} ,α∨ β ={A∩BA∈α ,B ∈ β} ,h (T ,α ,K) =limn→∞1nH(K ,∨n - 1i=0T-i(α) ) ,h(T ,K) =sup{h (T ,α ,K)α是X的覆盖 } ,则T的拓扑熵定义为 :h(T) =sup{h(T ,K)｜K是X的紧子集 }　　证明了所定义的连续变换的拓扑熵是拓扑不变量 ;有限个连续变换诱导的乘积空间上的连续变换的拓扑熵不小于各分量变换的拓扑熵 ;连续变换的多次复合的拓扑熵等于其拓扑熵的复合次数倍 .     

拓扑熵为＋∞的系统与拓扑熵映侵的连续性

文章构造一个拓扑熵为＋∞的系统,证明了拓扑熵映射ent(f)在一致性收敛诱导的拓扑空间：г＝{f|f∈C^0(I),f:I→I不变,f有常斜率λ＞1;↓Aλ∈R }。上是连续的,且存在不可为数映射集合г0属于г,↓Af∈г0,有ent(f)= ∞。     

关于一类自映射的拓扑熵

关于拓扑熵在一维自映射中已有一些结果，但对其它类型的自映射至今结果不多，本文针对一类可降自映射讨论了有关拓扑熵的问题。     

动力系统(Q_p,M_a)的拓扑熵

在每个紧致连续系统上可以定义一个称之为拓扑熵的非负拓扑共轭不变量,可以度量该系统在相空间上引起的运动的混乱程度.拓扑熵的概念,最初由R.L.Adler,A.G.Konhelm和M.H.McA ndrow引进,随后R.Bowen又在可度量化的拓扑空间上给出了不依赖于紧致性的拓扑熵定义.但是,在紧空间上可以证明拓扑熵的开覆盖定义和Bowen定义是等价的.本文总述了拓扑空间(Qp,|·|p)及其子空间的动力学性质结论和部分几何性质,并对部分空间计算出其拓扑熵,给出具有零拓扑或正拓扑的条件.计算过程中运用到Bowen定义和结论.     

Reidemeister数与拓扑熵

设X为紧致道路连通的多面体,f:x→x为连续映射,本文证明了下面的结论:定理 h(f)≥log R~∞(f)≥log N~∞(f)其中h(f)为f的拓扑熵,R~∞(f)为f的渐近Reiderneister数,N~∞(f)为f的渐近Neilsen数。     

隧道围岩卸荷演化过程的Kolmogorov熵分析

岩石材料本质上是一种物理非线性的材料,在深埋条件下,隧道围岩系统的变形还表现出几何非线性,这两种非线性机制的相互作用使得围岩系统的卸荷演化具有高度的复杂性。根据重庆某深埋隧道围岩实际情况,建立了摩尔-库仑剪破坏与拉破坏复合的应变软化模型,运用三维显式有限差分程序FLAC3D软件,采用大变形方法对深埋隧道围岩系统卸荷进行数值仿真,同时基于耗散结构理论,对深埋隧道围岩系统卸荷演化的双重非线性数值计算结果行整合,提取了围岩系统演化过程中特征点演化时间序列的Kolmogorov熵值,判断了系统演化的混沌特性及其对初始条件的敏感性,分析了系统卸荷过程的能量耗散特征,研究了围岩的失稳机制。     

一类开覆盖意义下的广义拓扑熵

给出了变参数广义系统的拓扑熵的开覆盖定义,并讨论了它的性质与计算,由此可见,动力系统中的某些性质与映射迭代的唯一性无必然联系.     

拓扑熵等于零的若干充分条件

本文给出了空间连续自映射拓扑熵等于零的几个充分条件。     

拓扑动力系统中轨道的a-熵集

（x,f）是紧的拓扑动力系统,一个点x∈叫α-熵点,如果h（f,-↑orbf（x））=α,则所有这样的点组成轨道的α-熵集Eα（X,f）．讨论了在同一个f下,拓扑空间（X,f）的熵、α-熵集Eα（X,f）的熵以及最大熵轨道的熵Suph（orbf（x）,f）,并提出两个尚待解决的问题。     

Lorenz映射中的拓扑熵递减级联

利用推广的ＭｉｌｎｏｒＴｈｕｒｓｔｏｎ 揉理论和Ｓｔｅｆａｎ 转移矩阵，给出Ｌｏｒｅｎｚ 映射拓扑熵的２ 种计算方法；利用揉理论，研究复合词揉多项式的因子化、＊ 积对拓扑熵的变换及通向混沌的２ 类道路之一：拓扑熵递减并趋向零的道路．     

反应扩散方程相应格点系统的吸引子和Kolmogorov ε熵

通过在无穷序列空间中引入新的加权范数,证明了在某些耗散条件下反应扩散方程相应的格点系统存在全局吸引子,并且得到了该全局吸引子的Kolmogorov ε熵的-个上界.     

强双曲构造与拓扑熵

本文讨论了具有强双曲构造的微分映射的拓扑熵与周期点、Lefschetz数等的关系,获得了一些结果.并推广了微分同胚的有关结果.     

半共轭映射的拓扑熵

本文证明了有限层复迭空间(,)和底空间X上的连续自映射■与f,二者半共轭时,拓扑熵相等;并将此结论推广到伪复迭空间。