图的独立数与分数一致性

设G是一个顶点集为V(G),最小度为δ(G),独立数为α(G)的图,k≥2是整数。图G的支撑子图F称作是图G的分数k-因子,如果对于每一个x∈V(F)都有dh G(x)=k。如果对于图G的每条边e,图G都有一个分数k-因子包含它而且同时有一个分数k-因子不包含它,则称图G为分数k一致图。证明了如果δ(G)≥k+2,且α(G)≤4k(δ-k-1)/(k+1)2,则图G是一个分数k一致图。     

带有极端负惯性指数的图的探讨

设G是一个图,G的邻接矩阵的负特征根的个数叫图G的负惯性指数,记为n(G).证明了n(G)=1当且仅当图G的非孤立点形成一个完全二部图;n(G)=n-1当且仅当图G≌Kn;找到了n(G)=n-2的许多图类G;也找到了n(G)=2的许多图类G;最后提出了一个猜想.     

无三角形3-正则图的几个参数的界

图G的一条边称为割边是指删去该边后,使得余下的图的连通分支数增加。图G 中的一个两两不相邻的边子集称为图G 的一个匹配。图G 的一个最大匹配的边数称为图G 的匹配数。图G 中的一个与G 的每个团都有交的顶点子集称为G 的一个团横贯集,图G 中元素个数最少的团横贯集的顶点数称为G 的团横贯数。本文针对n阶连通无三角形的3-正则图G=(V(G),E(G)),首先给出了其割边数的一个上界(n-10)/4;其次对它的匹配数得到了一个下界(11n-2)/24;再次对它的线图的团横贯数呈现了一个上界(13|E(G)|+3)/36。同时刻画了达到这些界的极值图。
     

关于(g,f)-2-覆盖图和(g,f)-2-消去图

设G是一个图,用V(G)和E(G)表示它的顶点集和边集,并设g和f是定义在V(G)上的两个整数值函数且g＜f.图G的一个(g,f)-因子是G的一个支撑子图F使对任意的x∈V(G)有g(x)≤dF(x)≤f(x).如果过图G的任何两条边都有一个(g,f)-因子,则称图G是一个(g,f)-2-覆盖图.如果图G的任何两条边不属于它的一个(g,f)-因子,则称图G是一个(g,f)-2-消去图.分别给出了一个图是(g,f)-2-覆盖图和(g,f)-2-消去图的一个充分条件.     

关于(g,f)一致图的有关结果

设G是一个图，若对于图G的任一条边e,都有图G的一个(g,f)-因子包含它而且有G的一个(g,f)-因子不包含它, 则称图G是一个(g,f)一致图. 研究了［m,n］- 图与(g,f)一致图的关系，并给出了一个图是f一致图的一个充分条件.     

关于Catlin的2/3—猜想

G表示一个图 ,若G有一个欧拉生成子图 ,则称G是超欧拉图。Catlin的 2 3—猜想 :设G是超欧拉图 ,G ≠K1,则G存在一个欧拉生成子图H ,使得｜E(H) ｜ ｜E(G) ｜≥ 2 3。笔者证明了对于Cayley图 ,猜想成立。     

最小度和[a,b」——覆盖图

设 a≤ b是整数,G=(V(G),E(G))是一个图G的一个支撑子图F称为G的一个[a,b]—因子,若对任意的v∈V(G),有a≤d_F,(v)≤b.图G称为是[a,b]—覆盖图,若对G的每一条边,存在G的一个[a,b]）—因子包含它,本文给出了一个图是[a,b]—覆盖图的关于最小度的充分条件,证明了下列结果;设1≤an (a b)-2(bn-1)~(1/2)则G是一个[a,b]—覆盖图.     

无三角形3-正则图的几个参数的界

图G的一条边称为割边是指删去该边后,使得余下的图的连通分支数增加。图G中的一个两两不相邻的边子集称为图G的一个匹配。图G的一个最大匹配的边数称为图G的匹配数。图G中的一个与G的每个团都有交的顶点子集称为G的一个团横贯集,图G中元素个数最少的团横贯集的顶点数称为G的团横贯数。本文针对n阶连通无三角形的3一正则图G-（V（G）,E（G））,首先给出了其割边数的一个上界（n—l0）／4;其次对它的匹配数得到了一个下界（11n-2）／24;再次对它的线图的团横贯数呈现了一个上界（13｜E（G）｜＋3）／36。同时刻画了达到这些界的极值图。     

关于SPS-图的一个充分条件

如果图中的一条路不是其他任何路的子路,则称这条路为该图的一条极大路。图G的路谱指的是G中所有极大路的长度构成的集合,记为ps（G）。对于一个阶为n的图G,如果存在一个正整数s（G）使得ps（G）={s（G）,s（G）＋1,…,n-1},则称G为一个SPS-图。本研究证明了对于任意的2-连通图G,如果G中任何导出子图都不与K1,3或P5同构,则G是一个SPS-图或者是一类路谱特殊的图。     

图的独立数与分数一致性

设G是一个顶点集为V（G）,最小度为δ（G）,独立数为α（G）的图, k≥2是整数。图G的支撑子图F称作是图G的分数k-因子,如果对于每一个x∈V（F）都有dhG（x）＝k。如果对于图G的每条边e,图G都有一个分数k-因子包含它而且同时有一个分数k-因子不包含它,则称图G为分数k一致图。证明了如果δ（ G）≥k＋2,且α（ G）≤4k（δ-k-1）（k＋1）2,则图G是一个分数k一致图。     

一类新的匹配唯一图

设G是一个图，μ（G，x）是图G的匹配多项式．每一个图都有唯一的一个匹配多项式，反之，每一个匹配多项式所对应的图未必唯一．如果图G由它的匹配多项式γ（G，x）唯一确定称图G匹配唯一．本文确定了一类所谓I形图中的所有匹配唯一图，即证明了In匹配唯一当且仅当n=7或n≥8为偶数．     

笛卡尔乘积图的k-路点覆盖

对于一个图G和一个正整数k,若图G中任意一条阶数为k的路都至少包含集合S⊆V(G)中的一个顶点,那么集合S就为图G的一个k-路点覆盖。最小的k-路点覆盖基数记为ψ_k(G),为图G的k-路点覆盖数。研究圈图分别与圈图、完全图及完全二部图做笛卡尔乘积图的k-路点覆盖,得到ψ_k(G)相关的精确值和上下界。     

联结数与分数k-消去图

设G是一个图,若对于图G的任一边e,G-e都存在一个分数k-因子,则称G是一个分数k-消去图.证明了若k≥2,bind(G)≥k且δ(G)≥k+1,则G是分数k-消去图.     

广义棱柱和补棱柱中的超欧拉图

对于一个图G,它的顶点标号为1,2,…,n,S_n是在{1,2,…,n}上的n次对称群,α∈S_n是一个置换,图G的α-广义棱柱,记作α(G),是指图G的2个复制,G_x和G_y,连同所有置换边(x_i,y_(α(i))(1≤i≤n)所构成的图.图G的补棱柱,记作G G,同构于由G和G的补图G的不交并,再加上一个连接G和G对应顶点的完美匹配构成的图.如果图G有一个生成欧拉子图,那么称G是超欧拉图.研究了完全二部图、路和圈的广义棱柱和补棱柱是超欧拉图的充要条件.     

关于哈密顿图的一点注记

如果图G含有一个过G中每个顶点恰好一次的圈,则称G是一个哈密顿图。对于含有两个不相邻顶点a和b的图G,本文给出了一些条件,如果G满足这些条件,且G ab是哈密顿图,则G也是哈密顿图。     

关于近似二部图边覆盖染色的一个充分条件

设G是一个简单图，其顶点集为V(G) 而边集为E(G) . S∈E(G)称为G 的一个边覆盖，如果由S 导出的子图是G 的一个生成子图. G 的边覆盖色数χ’c(G) 是E(G) 所能划分成的最大边覆盖数. 已知 δ-1≤χ’c(G)≤δ ，由此将 χ’c(G)=δ的图称为CⅠ类图，否则称为CⅡ类图. 显然，图的边覆盖染色分类问题是NP-完全的. 给出了近似二部图是CⅠ类图的一个充分条件，而且该条件中的下界是最好的。     

一类连通可满着色图的L(2,1)标号

令G=(V(G),E(G))是一个简单图,Mp(G)为图G的广义Mycielski图.图G的L(2,1)标号数记作λ(G),定义为λ(G)=min{k|G有一个k-L(2,1)标号}.一个连续的L(2,1)标号是一个L(2,1)标号,使得所用的标号是连续的,相应的标号数记作-λ(G).凡是满足λ(G)=-λ(G)的图称为可满着色图.给出了一些特殊图的广义Mycielski图的L(2,1)标号数,从中发现一些广义Mycielski图为可满着色图,并由此猜想广义Mycielski图(除Mp(Kn)之外)为可满着色图.     

一类哈密顿图的控制数的上界

设G=(V,E)是一个简单图,D是V的一个子集,如果集合V-D的任意点都与D中的点相邻,则称D为图G的一个控制集.图G的最小控制集中的点数称为G的控制数.本文对哈密顿图的控制数进行了研究,证明了命题:如果n阶图G是一个最小度为5的哈密顿图,则图G的控制数就不大于5n/14.     

新的上可嵌入图类

一个连通图G的最大亏格γM(G)=(β(G) ξ(G))/2,其中β(G)=|E(G)|-|V(G)| 1称为G的圈秩数,ξ(G)是G的Betti亏数.图G的C-划分是指:G的一个顶点划分{V1,V2,…,Vn},使得每个G[Vi]为多重完全图(1≤i≤n).一个图的2-因子是指G的一个2-正则支撑子图F,若F为图G的一个2-因子.联系图的顶点划分和四边形2-因子的条件,本文给出了新的上可嵌入的图类.     

平方根图

设G是一个简单图及顶点为u1，u2，…，uv，d(vi)是点vi的度，令^～d(G)={[d(u1)]的平方根，[d(u2)]的平方根，…，[d(uv)]的平方根}，称G是一个平方根图，如果^～d(G)是G的邻接矩阵的一个特征向量，猜想：一个连通图G是一个平方根图的充分必要条件是G是一个正则图或半正则图，这个猜想在本文中得到了证明。