浅谈解线性方程组的方法

线性方程组的求解是代数学的一个重要组成部分,广泛应用于数学与其它科学领域,许多复杂的方程都可以转化为线性方程.总结线性方程组求解的一些基本方法,同时对每个方法都通过实例给出了详细的说明.     

搜索最优迭代参数的一个方法

在求解线性组的方法中,GAOR 方法(Generalized Iterarion Method)是最新的方法之一,其中有两个迭代参数.本文给出一个挑选最优迭代参数的方法.     

解一类不定线性方程组的分块QR方法

本文应用矩阵分块技巧结合QR分解方法讨论了不定线方程组的解存在唯一的充分必要条件,并提出一种计算量较小的计算方法     

解对称线性方程组的总体最小扰动方法

在利用Lanczos方法求解大型对称线性方程组时,由于舍入误差的影响,Lanczos过程易发生中断和数值不稳定.本文提出求解对称线性方程组的总体极小向后扰动(TMINBACK)方法,新方法利用Lanczos过程产生Krylov子空间km(A,r0)的一组基,并求xo km(A,r0)中的近似解xm,使矩阵[A,b]的向后扰动范数‖[ΔA,△b]‖F极小化.同时,为减少计算量和存储量,本文给出新算法的循环格式.在迭代过程中,利用残量范数作为判断算法终止条件的缺点是,若近似值是精确的,残量范数是小的,反之,不一定.本文利用总体向后扰动范数作为判断算法终止条件,克服了范数作为判断算法终止条件的不足,提出了求解大型对称线性方程组的循环总体极小向后扰动(RTMINBACK)方法.数值实验表明,新方法比一些旧的方法求解大型对称线性方程组更有效,并且RTMINBACK方法适合求解病态线性方程组.     

线性方程组的边值问题的摄动解

主要考察依赖于小参数的线性方程组的边值问题的摄动解,总结出几种常见的方程组类型,通过变形和代换,将其转化成含小参数的线性方程,进而可以使用各种摄动方法,如正则摄动法,WKB方法得到它们的通解.     

Excel中用“规划求解”解线性方程组的方法

本文介绍了一种利用Excel中的“规划求解”功能解线性方程组的方法。该方法较其它方法简单,且适用范围较广。     

解模糊线性方程组的SSOR—CG方法

本文给出了解模糊线性方程组的SSOR—CG方法，并通过数值例子说明了算法的有效性。     

GAOR方法的收敛性

本文导出 GAOR 迭代矩阵谱半径的表达式,给出了在 L 矩阵情况下 GAOR 与 GSOR 迭代矩阵谱半径之间的关系,并在系数矩阵为 L 矩阵,H 矩阵,Hermitian 正定矩阵,严格对角占优矩阵及不可约对角占优矩阵的条件下,讨论了 GAOR 迭代的收敛性,进一步扩充了文[2]、[3]的结果.     

矩阵与解线性方程组

线性代数的核心内容是解线性方程组。在寻求线性方程组解的存在定理和求解方法的过程中而产生的行列式理论和矩阵理论构成了线性代数的基本理论。显然,线性方程组的解与其系数和常数项有关。这本来是一个纯代数问题,通过把这个纯代数问题与几何结合起来,在求解线性方程组的过程中从整体上考虑系数与常数项的关系,应用行列式、矩阵理论,使线性...     

关于SAOR方法的某些新结果

本文研究解大线性系统的对称的AOR(SAOR)方法。讨论了SAOR迭代的收敛性,进一步扩充了文[1]的结果,并在系数矩阵是对称正定矩阵的情况下,给出SAOR迭代谱半径的估计式。     

求解大型稀疏线性方程组的广义AOR迭代法(英文)

基于一种新的更一般分裂,文章提出求解大型稀疏线性方程组的广义AOR迭代法,它的显著特征是更易于执行并行计算.进一步,AOR方法的一些性质相应地推广到了新方法中.最后,用数值例子验证了新方法的优点.     

块对称加速超松弛迭代法及其收敛性

给出了解线性代数方程组Ａｘ＝ｂ的一个新的迭代算法模型——块对称加速超松弛迭代法（ＢＳＡＯＲ迭代法），并在系数矩阵Ａ为块Ｈ－矩阵的条件下，证明了该模型的收敛性．在该模型中，对参数取特殊值可得到块对称Ｇａｕｓｓ－Ｓｅｉｄｅｌ迭代法和块对称ＳＯＲ迭代法等常用的块对称迭代算法，并且还可产生许多新的块对称迭代法．即事实上建立了块对称迭代法的一般性收敛理论．     

求解线性方程组的一种迭代算法及其收敛性

对于求解线性方程组Ax=b,考虑当矩阵A为对称正定矩阵或者M矩阵时,文章给出了一种松弛迭代算法并且讨论了其收敛性.从数值结果,可以看出此算法的优越性.     

解非线性对称方程组问题的近似高斯-牛顿基础BFGS方法

给出一个解非线性对称方程组问题的近似高斯-牛顿基础BFGS方法．该方法无论使用何种线性搜索,此方法产生的方向总是下降的．证明在适当的条件下,该方法的全局收敛性和超线性收敛性,给出数值检验结果。     

一类时间分数阶线性扩散方程的数值方法

利用非标准有限差分法给出了求解一类时间分数阶线性扩散方程的一种数值解法.对时间分数阶导数和整数阶空间导数离散后的差分近似过程中,对分母构造了一个关于时间步长和空间步长的函数来近似,证明了该差分格式是收敛和稳定的,通过数值算例验证该方法是有效的.     

带加速因子的线性方程组通用性迭代法的讨论

在带加速因子的线性方程组通用性迭代解法的基础上,用几何方法对加速因子进行了讨论,证明了每次迭代中最佳加速因子的存在性,讨论了在每次迭代中使算法收敛的加速因子的取值范围,设计了一个动态调整加速因子的通用性迭代算法,并进行了程序验证.     

求解大型稀疏对称矩阵极端特征值的子空间加速的截断牛顿法

利用扩展子空间的方法,对求解大型稀疏对称矩阵极端特征值的截断牛顿法进行改进,提出了子空间加速的截断牛顿法。理论分析和数值结果均表明,新方法对计算对称矩阵的极端特征值是有效的。     

关于雷诺方程SOR解法的若干探讨

逐次超松弛迭代（SOR）法是求解代数方程组应用较为广泛和有效的方法之一。此文通过对雷诺方程的求解，对SO方法求解精度判据δ和松弛因子ω选取等问题进行若干深入探讨，并通过大量的数值试验对其进行了分析研究。     

求解线性方程组的超几何球法

由解析几何观点知道,线性方程组解的几何意义是方程组中各个方程所代表的超平面的交点.根据直径对应的圆周角是直角以及直角三角形中短边对小角的原理进一步知道,当将初始点向线性方程组中各个方程所代表的超平面上投影得到投影点时,初始点和其任何一个投影点及方程组的解点都将位于一个相应的超球面上,其中必定存在一个投影点离问题解点的距离最短,即把该点作为下一次迭代的初始点,从而可将线性方程组求解的问题变成球面上逼近解点的迭代问题.利用此方法通过计算几个良(病)态线性方程组算例,说明该方法不仅具有一定的抗病态性,而且简单实用.