G的立方图G3的上可嵌入性

自从Nordhaus，Stewan和White等引入图的最大亏格以来，图的最大亏格以及图的上可嵌入引起了广泛关注．而图的最大亏格rM(G)是指最大的整数k使得图G的一个2-胞腔嵌入到可定向的曲面Sk上．因为图在任意可定向曲面上的2-胞腔嵌入中至少有一个面，关于图的上可嵌入性，刘彦佩，Xuong和Nebseky分别给出不同形式的充要条件．主要证明下述结果：设G是一个简单图，则G^3是上可嵌入的．特别地，当k≥4时，G^4也是上可嵌入的．     

与直径有关的上可嵌入图类

通过对边添加一些限制条件,进一步研究了直径为3和4的图的上可嵌入性,得到了一些新的上可嵌入图类.从而综合已有结果,完整地刻画了这类图的上可嵌入性情况.     

G的立方图G~3的上可嵌入性

自从Nordhaus,Stewart和White[1]等引入图的最大亏格以来,图的最大亏格以及图的上可嵌入引起了广泛关注.而图的最大亏格rM(G)是指最大的整数k使得图G的一个2 胞腔嵌入到可定向的曲面Sk上.因为图在任意可定向曲面上的2 胞腔嵌入中至少有一个面,关于图的上可嵌入性,刘彦佩[2],Xuong[3]和Nebseky[4]分别给出不同形式的充要条件.主要证明下述结果:设G是一个简单图,则G3是上可嵌入的.特别地,当k≥4时,Gk也是上可嵌入的.     

一类新的上可嵌入图

图G的CB一划分是指:G的一个顶点划分{V1,V2,…,Vn},使得每个G[Vi]为多重完全二部图(1≤i≤n).结合图的顶点CB-划分条件,确定了一类顶点的度在moalulo 4下值为0,1或3的上可嵌入图类,较完整地刻画了这类图的上可嵌入情况.     

图的顶点划分与图的上可嵌入性

图G的顶点W-划分是指G的一个顶点划分{V1,V2,…,Vs),其中G[Vi]有生成子图轮W[V1](1≤i≤s).结合图的顶点W-划分以及顶点度条件,得到了一类新的上可嵌入图类,推广了已有相关结果.     

一类上可嵌入图

本文主要证明了如下结果：设C为3－连通图，若G的顶点集存在一个C－划分{V1,V2,…，Vn},使得对每个1≤i≤n，|Vi|≡0(mod 2)，且对任意的ν∈V(G),dG=(ν)≡1(mod 2),则G是上可嵌入的。     

上可嵌入图类

利用图的一些特殊性质,比如图的顶点存在一个C-划分,或者每条边都属于一个3-圈或者图不含割点等,研究图的最大亏格,从而得到一些上可嵌入图类.     

一类上可嵌入图

本文主要证明了如下结果 :设G为 3-连通图 ,若G的顶点集存在一个C一划分 {V1,V2 ,… ,Vn} ,使得对每个 1≤i≤n ,|Vi|≡ 0 (mod 2 ) ,且对任意的v∈V(G) ,dG=(v)≡ 1(mod 2 ) ,则G是上可嵌入的 .     

与支配集有关的上可嵌入图

结合图的支配集与其他相关条件,证明了如下结果:(1)设G是无环连通图,如果G中含有一个子图为轮W,且V(W)={x,y1,y2,,yt}(t≥3)为图G的一个支配集,则图G是上可嵌入的.(2)设G是无环连通图,如果G中含有一个子图为完全二部图D=(X,Y;E),且V(D)=X∪Y为图G的一个支配集(其中|X|≥3,|Y|≥4),则图G是上可嵌入的.     

正则图的上可嵌入性

联系图的顶点划分,研究正则图的上可嵌入性,得到了一类上可嵌入图.     

新邻域条件与图的上可嵌入性

用NG(u)表示一个图G中任意点u的邻域集,结合图G的邻域条件,主要证明了如下结果:设G是2-连通图,若对G中任意相邻的点u和v,即uv∈E(G),一定存在ai∈NG(u),bi∈NG(v)且ai≠v,bi≠u,使得aibi∈E(G)(i=1,2),则G是上可嵌入的.     

关于图的STP数与图的嵌入

图G的STP数是指一个图中所包含的最大的边不交的支撑树的数目．图的STP数记作σ(G)．本文讨论了图的支撑树与图的Betti亏数ω(G)之间的关系：即存在图G的边子集E0满足ω(G)≤p0(2 b(G-E0)/p0-σ(G)),其中，C(G—E0)为G—E0的奇分支数，b(G—E0)为G—E0中具有奇Betti数的分支数，P0=c(G—E0)-1．最后我们讨论了一类图的STP数与图的边连通度以及上可嵌入的问题．     

一类直径为3的2-连通图的最大亏格

用ξ(G)表示图G的Betti亏数，ζ(G)表示图G的衰变数，本文在文献[5]图的结构上增加点和边得到一类直径为3的2-连通类极图(即m=2n-5)．通过计算此类图的ξ(G’)和ζ(G’)的范围，得到了它们的最大亏格。     

边连通简单图的独立数与上可嵌入性

文章讨论了边连通简单图的独立数与上可嵌入性的关系,得到了下列结果:(1)设G是一个k-边连通简 单图(k=1,2),若α(G)≤k,则G是上可嵌入的;(2)设G是一个3-边连通简单图,若α(G)≤5,则G是上可嵌入 的。     

连通3-正则图的最大亏格与上可嵌入性

文章探讨了连通3-正则图的最大亏格与上可嵌入性,并得到了当γM(G)=「β(G)3■时连通3-正则图的结构特征.     

独立数≤5的3-边连通简单图的上可嵌入性

结合边连通度，本文探讨了3-边连通简单网的独立数与上可嵌人性的关系，我们得到了下列结果：设G是一个3-边连通简单图，α（G）是G的独立数，若α／（G）≤5，则G是上可嵌入的，同时我们又得到了两个在3-边连通意义下最小的非上可嵌入图例．     

图的2-因子与图的上可嵌入性

结合图的4-边形2-因子条件,确定了一类新的上可嵌入图类,推广了黄元秋等早期在这方面的结果.并且综合已有结果,较完整地刻画了这类图的上可嵌入性.     

与顶点C-划分有关的上可嵌入图类

图的顶点C-划分是指：G的顶点划分{V1，V2…，Vk}，使得每个G[Vi]为多重完全图(1≤i≤k)。结合图的顶点C-划分的条件，确定了一类点的度在modulo4下值为0或3的上可嵌入图类，综合已有结果，较完整地刻画了这类图的上可嵌入情况。     

特殊二部图的上可嵌入性

探讨二部图的上可嵌入性,证明了如下结果：(1)设G=(X,Y；E),定义G~3=(V(G~3),E(G~3)),其中V(G~3)=V(G),E(G~3)=E(G)∪{e=xy|d_G(x,y)：3,x∈X,y∈Y},则G~3是上可嵌入的；(2)设G=(X,Y；E),|X|=|Y|=n(n≥3),对任一对d_G(x,y)=3的x∈X,y∈Y,均有d(x) d(y)≥n 1,则G是上可嵌入的。     

新的上可嵌入图类

一个连通图G的最大亏格γM(G)=(β(G) ξ(G))/2,其中β(G)=|E(G)|-|V(G)| 1称为G的圈秩数,ξ(G)是G的Betti亏数.图G的C-划分是指:G的一个顶点划分{V1,V2,…,Vn},使得每个G[Vi]为多重完全图(1≤i≤n).一个图的2-因子是指G的一个2-正则支撑子图F,若F为图G的一个2-因子.联系图的顶点划分和四边形2-因子的条件,本文给出了新的上可嵌入的图类.