一些正则图的锥的拉普拉斯谱刻画

称图是由Laplacian谱确定的,如果没有非同构的图具有相同的谱.设G是阶为n的r正则图.本文将证明当r=1,2,n-3,n-2时,G上的锥是由它的Laplacian谱确定的.     

基于圈和三个孤立点的冠图的Q-谱确定性

设G是n阶图,H是m阶图,取n个H的拷贝,并将G的第i个点和第i个H中的每一点相连(i=1,2,…,n),所得到的(n+mn)阶图称为冠图,记为GH.对基于圈和3个孤立点的冠图的Q-谱确定性(无符号拉普拉斯谱确定性),即Cn3 K1的Q-谱确定性进行了研究,证明了当n≠32,64,128时,Cn3 K1由其Q-谱确定.     

图的Laplacian谱半径界的可达性

设G为n阶连通的简单图 ,ρ(G)为图G的邻接谱半径 ,μ(G)表示G的Laplacian谱半径。(d1,d2 ,… ,dn) (其中d1≥d2 ≥…≥dn)为G的顶点度序列 ,令r=max{d(u) +d(v) ｜ (u ,v) ∈E(G) } =d(x) +d(y) ,s=max{d(u) +d(v)｜ (u ,v) ∈E(G) - (x ,y) }。该文证明了μ(G)上下界的可达性 :μ(G) =μ≤ 2 + ρ(LG) ,等式成立当且仅当G是偶图。μ(G)≤ 2 + (r- 2 ) (s- 2 ) ,成立等式当且仅当G为半正则偶图或P4 。μ(G)≥d1+ 1,成立等式当且仅当d1=n- 1。     

图的谱半径和泛圈性

设G=(V,E)是一个n阶m条边的简单连通图,μ(G)为图的邻接矩阵的最大特征值。本文利用图的谱条件讨论了图的泛圈性,证明了n(n≥5)阶图G,如果μ(G)n-2,则G是泛圈图除非G=Kn-1+e。     

有关图(P(1)1∨Pn)∪(P(2)1∨P2n)和(P2∨n)∪Gn-1优美性研究

文章给出了非连通图(P1∨Pn)∪St(m)和(P(1)1∨Pn)∪(P(2)1∨P2n)及(P2∨n)∪Gn-1,证明了对任意自然数n,设s=(n)/(2),则当n≥3,m≥s时,非连通图(P1∨Pn)∪St(m)是优美图;当n≥3时,非连通图(P(1)1∨Pn)∪(P(2)1∨P2n)是s-优美图;当n≥2时,非连通图(P2∨n)∪Gn-1是优美图;其中,Pn是n个顶点的路,P1、P(1)1和P(2)1均是只有一个顶点的平凡图,G1∨G2是图G1与G2的联图,St(m)是m 1个顶点的星形树,Kn是n个顶点的完全图,n是Kn的补图,Gn-1是任意一个n-1条边的优美图.     

图Kn-E(Kr),Kr(∪)Kn的整和数

Z表示所有整数的集合.一个有限子集S(∪)Z上的整和图是指图(S,E)中uv∈E当且仅当u+v∈S.图G是整和图,如果它同构于某个子集S(∪)Z上的整和图.图G的整和数是指使(G∪mK1)成为一个整和图时加入的孤立顶点的最少个数m.1994年Harary在[3]中提出了4个未决的问题,本文完整地回答了其中的第一个问题,即确定了图(Kn-E(Kr))的整和数.具体结论如下:ζ(Kn-E(Kr))={0(r=n,n-1)n-1(n-2≥r≥[2n/3]-1)3n-2r-4([2n/3]-1＞r≥n/2)2n-4([2n/3]-1＞n/2≥r≥2)其中n≥5,r≥2,[x]表示不小于x的最小整数.     

双圈图的零度集合

设G是,n阶简单图.G的特征值零的重数称为G的零度(记作η(G)).在此确定了所有n阶(n≥6)双圈图的零度集合是[0,n-4],并且刻画了n(G)=n-4的所有,n阶(n≥9)双圈图,以及η(G)=n-5的所有n阶(n≥10)双圈图.     

关于r-(P_0,…,P_(t-1))—泛圈图

若G中长为r+tj+i的圈恰好有Pi(0≤i≤t-1)个,其中r+tj+t-1≤n,j是P_0,…,P_(t-1)重复的次数,则称G为r-(P_0,…,P_(t-1))-泛圈图.主要采用构造法,给出当t=8时r-(P_0,…,P_7)-泛圈图的一些结果 .即设n≥14,≥6若2-3+-3≤n2-2+-2且n-(r_((n,)-1))=s(mod8),s=0,1,…,7时,那么存在一个n阶r-(4,4,4,4,5,5,5,5)泛圈图,其中r=r_(0, λ)+s=﹛2~(λ-4)+3+s,当n≤3·2~(λ-4)+2时n-2~(λ-3)+1+s当n3·2~(λ-4)+2时同时,利用类似的方法证明了r-(1,1,3,3,4,4,5,5)—泛圈图、r-(4,4,4,4,5,5,5,5)—奇(偶)泛圈图以及r-(1,1,3,3,4,4,5,5)奇(偶)泛圈图.进一步,给出相应圈长分布的最小可能边数.     

萤火虫图距离矩阵的两个最大特征值和的下界

令n=2r+2t+s+1(r,s≥1,t≥0),Sn-t是一个n-t阶的星,将S_(n-t)中的r对不同的点分别用r条边连接,在另外的t条悬挂边上分别接上一条边,得到的图叫作萤火虫图.令图G是n个点的萤火虫图,主要确定了图G的距离矩阵D(G)=(d_(ij))_(n×n),距离拉普拉斯矩阵L_D(G)与距离无符号拉普拉斯矩阵Q_D(G)的两个最大特征值和的下界.     

给定独立数的无符号拉普拉斯谱半径的下界

设图G为简单连通图,图G的独立数α=α(G)指的是图中顶点独立集最大基数,本文确定了给定独立数α=n-2,n-3条件下一类n阶连通图的无符号拉普拉斯谱半径的下界。