丢番图方程y(y+1)(y+2)(y+3)=n~2 x(x+1)(x+2)(x+3)解的研究

设n1是正整数,利用Pell方程的正整数解的一组恒等式和高次丢番图方程的结果,研究了丢番图方程y(y+1)(y+2)(y+3)=n~2x(x+1)(x+2)(x+3)的正整数解(x,y),分别在2|/n,3|x的情形下和n不同素因数的个数不超过2的情形下,证明了该方程没有正整数解(x,y).     

不定方程x4+3y4=z2的正整数解

利用Fermat无穷递降法,证明了方程x4+12y4=z2无正整数解,方程x4+3y4=z2与x4-12y4=z2均有无穷多组正整数解,并且获得了方程无穷多组正整数解的通解公式,同时还编拟了方程正整数解的计算程序,从而完善了Aubry等人的结果.     

关于丢番图方程x4±6px2y2±3p2y4=z2

设p为素数,利用Fermat无穷递降法,研究方程x4±3px2y2+3p2y4=z2与x4±6px2y2-3p2y4=z2正整数解的存在性,证明该方程在p≡5(mod 12)时均无正整数解,在p≡11(mod 12)时有解且有无穷多组正整数解,获得方程无穷多组正整数解的通解公式和方程的部分正整数解.     

关于勾股数组的解

对大于2的正整数 x,给出了:求满足方程 x~2+y~2=z~2的正整数解(y,z)的一个公式;由 x 所确定的正整数解(y,z)的个数;满足(x,y,z)=1的正整数解的充要条件.     

关于丢番图方程x6±y6=pDz2

设p>3是素数,证明了丢番图方程x6±y6=6pz2,x6+y6=3pz2和x6-y6=2pz2均无正整数解;方程x6+y6=pz2和x6+y6=2pz2在p1(mod24)时均无正整数解;方程x6-y6=pz2在p1,7,19(mod24)时无正整数解;方程x6-y6=3pz2在p(≡/)1,19(mod24)时无正整数解;并且获得了以上方程在p≡1,7,19(mod24)时的全部正整数解通解公式, 从而从正面支持了广义Fermat猜想和Tijdeman猜想.     

关于Diophantine方程的解

运用初等方法及同余理论,研究丢番图方程正整数解。证明了Diophantine方程x3-1=38y2仅有两组正整数解(x,y)=(1,0)(7,3)。     

关于丢番图方程x6±y6=Dz2

设正整数D无平方因子且不被6k+1形素数整除,证明了丢番图方程x6±y6=Dz2,(x,y)=1除开x6±y6=2z2仅有解x=y=z=1外,其他情形均无正整数解;同时获得了方程x6±y6=PDz2(P为奇素数)无正整数解的一些判据。     

关于丢番图方程x2±y4=±z6

利用简洁初等方法,证明了丢番图方程x2±y4=z6,x2+y6=z4,x4±4y4=z3,x4-y4=2z3均无正整数解,方程x4+y4=2z3,(x,y)=1,仅有正整数解x=y=z=1.     

关于丢番图方程x6±y6=Dz2

设正整数D无平方因子且不被 6k +1形素数整除 ,证明了丢番图方程x6±y6=Dz2 ,(x ,y) =1除开x6±y6= 2z2 仅有解x=y =z=1外 ,其他情形均无正整数解 ;同时获得了方程x6±y6=PDz2 (P为奇素数 )无正整数解的一些判据     

关于三角数的一个方程

对于正整数n,设T(n)=n(n-1)/2是第n个三角数.设k是大于1的正整数.论文证明了:当n是平方数时,方程T(x)=kT(y)仅有有限多组正整数解(x,y);当n不是平方数时,该方程有无穷多组正整数解(x,y).