基于能量不变二次化法的Cahn-Hilliard方程的数值误差分析

基于能量不变二次化方法,构造了一个求解Cahn-Hilliard方程的线性数值格式,该线性数值格式对非线性项半显式处理,每步迭代相应的半离散化方程只需要求解一个线性方程;证明了该线性数值格式是无条件能量稳定的,而且是唯一可解的;讨论了该线性数值格式在时间方向的误差估计.数值例子表明:该线性数值格式的数值解在时间方向上基本达到二阶精度, 能够有效模拟相位变化过程.     

带有阻尼项的广义SRLW方程的一个线性差分格式

对带有阻尼项和耗散项的广义对称正则长波方程的初边值问题进行了数值研究,提出了一个三层线性有限差分格式,讨论了差分解的先验估计,利用能量方法分析了该格式的二阶收敛性与无条件稳定性,最后利用数值算例验证了格式的可靠性.     

耗散SRLW方程的拟紧致平均隐式守恒差分格式

对具有耗散项的对称正则长波(SRLW)方程的一类初边值问题进行了数值研究。利用紧致差分格式的构造思想,在数值离散时,引入拟紧致项h212(un j)xxt^,从而对耗散SRLW方程的初边值问题提出了一个新的三层守恒差分格式,其截断误差为O(τ2+h2);分析了新格式的离散守恒律,并合理地模拟了初边值问题本身的两个守恒量;该格式是一个线性差分格式,数值求解时不需要迭代,计算时间比较节约;得到了差分解的先验估计,并用离散泛函分析方法证明了该格式二阶收敛性与无条件稳定性。最后通过数值试验与已有的二阶格式进行了比较,结果表明新格式不仅保持了线性格式计算量小的特点,而且数值精度有了显著地提高,同时数值结果也验证了新格式的二阶精度和守恒性质。     

耗散SRLW方程的拟紧致平均隐式守恒差分格式

对具有耗散项的对称正则长波(SRLW)方程的一类初边值问题进行了数值研究。利用紧致差分格式的构造思想,在数值离散时,引入拟紧致项*从而对耗散SRLW方程的初边值问题提出了一个新的三层守恒差分格式,其截断误差为*;分析了新格式的离散守恒律,并合理地模拟了初边值问题本身的两个守恒量;该格式是一个线性差分格式,数值求解时不需要迭代,计算时间比较节约;得到了差分解的先验估计,并用离散泛函分析方法证明了该格式二阶收敛性与无条件稳定性。最后通过数值试验与已有的二阶格式进行了比较,结果表明新格式不仅保持了线性格式计算量小的特点,而且数值精度有了显著地提高,同时数值结果也验证了新格式的二阶精度和守恒性质。(注:*表示公式,见正文 ）
     

耗散SRLW方程的拟紧致非线性有限差分逼近

本文对具有耗散项的对称正则长波（SRLW）方程的初边值问题进行了数值研究,提出了一个两层隐式拟紧致差分格式,该格式合理地模拟了问题本身的两个守恒律,得到了差分解的存在唯一性,并在差分解的先验估计的基础上用能量方法分析了该格式的二阶收敛性与无条件稳定性.数值结果表明该格式的精度明显优于一般的二阶格式.     

带阻尼项的广义SRLW方程的线性化差分方法

本文对带有阻尼项的耗散广义SRLW方程的初边值问题进行了数值研究,提出了一个具有二阶理论精度的三层线性化差分格式.综合运用数学归纳法和离散泛函分析方法,本文导出了该格式的收敛性和稳定性.数值实验表明该方法是可靠的.     

相场晶体方程的一个高精度能量稳定数值格式

针对具有周期边界条件的相场晶体方程,本文提出了一个具有能量稳定性的高精度数值格式.该格式基于方程的能量泛函结构,在空间上采用Fourier拟谱逼近,在时间上进行三阶精度的向后差分离散,并在格式中增加Douglas-Dupont正则项,以保证格式的能量稳定性.本文证明了数值解的存在唯一性及数值格式的能量稳定性.数值算例验证了算法的高精度和稳定性.     

耗散SRLW方程的一个非线性守恒加权差分算法

我们对具有耗散项的对称正则长波方程的初边值问题进行了数值研究,提出了一个带有加权系数θ的两层Crank-Nicolson差分格式,格式合理地模拟了问题本身的两个守恒量.在差分解的先验估计基础上我们用能量方法分析了该格式的二阶收敛性与无条件稳定性.数值试验表明该方法是可信的,且适当调整加权系数θ可以大幅提高格式的计算精度.     

解mKdV方程的一种隐格式

应用有限差分法求mKdV方程的数值解,得到了mKdV方程数值解的一个差分格式,并将该格式得到的数值解与解析解进行对比．数值结果显示该格式是求解mKdV方程的高精度的格式．     

一种Caputo型时间分数阶波动方程的差分方法

将带阻尼项的波动方程中的阻尼项和对时间的二阶导数,用Caputo分数阶导数替换,从而得到一个带Caputo分数阶阻尼项的分数阶波动方程.对该方程,建立了一种差分格式,证明了此格式差分解的存在唯一性,分析了差分解的收敛性和稳定性,并用数值试验验证了格式的有效性.     

Kuramoto-Svashinsky方程的数值方法

给出一些线性化的时间差分/空间谱方法的数值格式,对非线性对流项进行了处理.格式的优点在于每次迭代只需要解一个线性方程.分析了格式的稳定性,并用数值结果证实了格式的有效性.讨论了K-S方程解的性质,及色散项对解的影响.     

非定常对流扩散方程的高阶差分格式

对流扩散方程主要包含对流和扩散两项。在数值计算中,方程中的扩散项一般采用具有优良物理特性和计算精度的中心差分离散格式,而对对流项的处理就稍显困难,处理不当便会产生数值震荡或数值弥散,给数值计算带来困难。针对对流扩散方程,通过引入指数变换将对流扩散方程变为扩散方程,避免对对流项的直接处理。利用四阶紧致差分格式,首先建立三类特殊方程的高精度差分格式,在此基础上建立一维非定常含源对流扩散方程的高阶格式,并进行稳定性分析,所得格式精度高且绝对稳定。数值算例表明了该格式的有效性。     

正则长波方程的新的守恒差分方法

对正则长波方程进行处理得到一个"耗散项"h2/12uxxt,提出了一个新的守恒的三层差分格式,分析了格式的稳定性与收敛性,截断误差为O(r2 h2).并通过数值例子与已有的格式,C-N格式进行了比较.数值结果表明,本文格式不仅保持了计算量小的特点,而且数值精度有着显著的提高.     

含阻尼项的SRLW方程的一个去耦合线性化差分格式

本文对带有阻尼项的耗散SRLW方程的初边值问题进行了数值方法研究,提出了一个具有二阶理论精度的三层非耦合线性化差分格式,由于该格式解除了原方程中函数 和 的耦合关系,数值求解时只需对函数 和 分别单独求解,其中对函数 的数值求解为线性化差分算法,对函数 的数值求解为显式差分算法直接求解,从而大大提高了数值求解效率。在不能得到其差分解最大模估计的情况下,综合运用数学归纳法和离散泛函分析方法,直接证明了格式的收敛性和稳定性。数值实验表明该方法是可靠的.     

具Robin型阻尼边界二维波动方程的隐式有限差分格式

考虑左边界为零,右边界含Robin型阻尼项的二维波动方程,利用Taylor级数公式展开可得三层离散的隐式差分格式.将离散乘子法和Gronwall不等式用于证明该隐式格式在无穷维范数意义下数值解的存在性,收敛性以及稳定性.另外,可知该格式在时间和空间方向都为二阶精度.用一个数值算例验证了所建格式的理论结果.     

一维四阶双曲方程的紧致差分格式

本文主要研究一维四阶双曲方程初边值问题.首先通过引入一个中间函数将其转化为二阶方程组,然后对方程中的空间导数项采用四阶紧致差分格式离散,时间导数项采用二阶中心差分格式离散,构造出问题的隐式紧致差分格式.数值算例表明该格式具有较好的计算效果.     

Riesz空间分布阶的分数阶扩散方程的数值模拟

提出一种求解Riesz空间分布阶的分数阶扩散方程的数值方法.利用辛普森数值求积公式,将分布阶微分方程离散为一个多项分数阶导数的微分方程;利用四阶差分格式求解此具有多项分数阶导数的微分方程,并运用能量法分析数值格式的稳定性和收敛性.同时,给出数值例子,说明所建立的数值离散格式的有效性.     

非线性四阶Schr?dinger方程的守恒差分格式

非线性薛定谔方程在物理学、光学等许多领域具有广泛应用,对其研究日益火热。主要针对带三次项的非线性四阶Schr?dinger方程的周期初边值问题,构造了一个守恒的线性有限差分格式。首先,证明了该差分格式保持了原方程所具有的守恒性质,满足离散整体能量的守恒性和离散的电荷守恒性;然后,应用Sobolev不等式对差分格式的解进行了先验估计,再用能量方法证明了格式的稳定性以及在平方模的意义下数值解收敛于真实解,且时间方向和空间方向的收敛阶都是二阶的;最后,结合柯西准则验证了该格式的有效性,数值实验表明,该线性格式在不同的时间层求解可以直接进入循环程序,相比于已有的非线性格式,该格式不需要逐层迭代,而且在不同的空间步长下,运用该格式求得的数值解是稳定的。     

广义对称正则长波方程的一个拟紧致守恒差分格式

对一类广义对称正则长波(GSRLW)方程的初边值问题进行了数值研究,提出了一个两层拟紧致差分格式,格式模拟了初边值问题的守恒性质,并利用离散泛函分析方法分析了该格式的二阶收敛性与稳定性.数值结果表明,该格式的精度明显好于一般的二阶格式.     

耦合Gross-Pitaevskii方程的高效保质量守恒格式

该文为耦合Gross-Pitaevskii方程提出了一个新的保质量守恒格式.首先对空间导数利用高阶紧致格式离散得到半离散格式;然后在时间方向上利用基于外推的Crank-Nicolson格式离散,得到一个半显式的数值格式,然而此格式不能保持GP方程固有的质量守恒,因此,对格式得到的数值解利用投影方法进行修正,使其满足离散质量守恒;最后通过数值实验验证了该格式具有高精度以及保持质量守恒.