四数平方和定理的若干注记

摘要：运用初等变换方法和四元数范数性质,得到一个正整数可写成四个正整数的平方和的几个判别条件;还证明了若两个整数可写成四个正整数的平方和,则它们的乘积也可写成另外四个正整数的平方和,并给出相应的算法．     

华沙圈上连续自映射的周期点集的稳定性

文［２］证明了华沙圈是一个Ｓａｒｋｏｖｓｋｉ空间．本文证明了其上任一连续自映射的周期点集是稳定的,也即对于任一华沙圈Ｗ上的连续满射ｆ：Ｗ→Ｗ,若ｆ有一ｎ—周期点,则存在ｆ的某一ε—邻域Ｕε（ｆ）,使得对任意ｇ∈Ｕε（ｆ）,和任意按Ｓａｒｋｏｖｓｋｉ序居于ｎ后面的正整数ｍ、ｇ必有一个ｍ—周期点     

两个四次不定方程的正整数解

该文提出并证明了两个四次不定方程的正整数的公式。     

伪Smarandache无平方因子函数与Euler函数的两个方程

对任意的正整数n,著名的伪Smarandache无平方因子函数Zw(n)定义为最小的正整数m使得n|mn,利用初等方法以及伪Smarandache无平方因子函数Zw(n)和Euler函数φ(n)的性质,研究了方程Zw(φ(n))=φ(Zw(n))的可解性,证明了该方程有无穷多个正整数解。同时讨论了方程Zw(n)+φ(n)=2n的可解性,并求出了该方程的正整数解为n=1。     

一个包含两个Smarandache函数的方程及其正整数解

研究两个包含Smarandache LCM函数SL(n)及伪Smarandache函数Z(n)方程的可解性,即方程Z(n)=SL(n),Z(n)+1=SL(n),利用初等及解析方法获得了该方程的所有正整数解,证明了下面两个结论:(1)对任意正整数n1,方程Z(n)=SL(n)有正整数解当且仅当n=pa.m,其中p为奇素数,a≥1及m为(p~a+1)/2的任意大于1的因数;(2)对任意正整数n1,方程Z(n)+1=SL(n)有正整数解当且仅当n=pa.m,其中p为奇素数,a≥1及m为(p~a-1)/2的任意因数。     

两个包含Smarandache函数的方程及其解

利用初等方法研究两个包含Smarandache函数的方程的解,并且证明了这两个方程有正整数解.     

丢番图方程x~4-Dy~2=1的几类可解情形和求解公式

利用初等方法及方程x⁴-Dy4-Dy²=1的解与Pell方程基本解的关系,找到使x2=1的解与Pell方程基本解的关系,找到使x⁴-Dy4-Dy²=1有正整数解的8类D值,并给出求解公式.当D=1 785,7 140,28 560时,能求出方程的一组解,对所给的其它D值,能求出方程的唯一解.结果表明,有无穷多个非平方的正整数D使方程x2=1有正整数解的8类D值,并给出求解公式.当D=1 785,7 140,28 560时,能求出方程的一组解,对所给的其它D值,能求出方程的唯一解.结果表明,有无穷多个非平方的正整数D使方程x⁴-Dy4-Dy²=1有正整数解.     

数论函数方程φ(xy)=kφ(x)φ(y)的正整数解

设n是正整数,φ(n)是Euler函数。讨论数论函数方程φ(xy)=kφ(x)φ(y)的正整数解问题,得出该方程只有在k=1,2,3情况下有正整数解,并且当k=1时,正整数解为(x,y)=(Q_1,Q_2),其中Q_1,Q_2是满足gcd(Q_1,Q_2)=1的正整数;当k=2,正整数解为(x,y)=(2αQ_1,2αQ_2),其中Q_1,Q_2是满足gcd(Q_1,Q_2)=1的正整数,gcd(Qi,2)=1,i=1,2,α是正整数;当k=3时,正整数解为(x,y)=(2β3αQ_1,2β3αQ_2),其中Q_1,Q_2是满足gcd(Q_1,Q_2)=1的正整数,gcd(Qi,2)=1,gcd(Qi,3)=1,i=1,2,α,β是正整数。     

丢番图方程x~4-Dy~2=1的几类可解情形和求解公式

利用初等方法及方程x~4-Dy~2=1的解与Pell方程基本解的关系,找到使x~4-Dy~2=1有正整数解的8类D值,并给出求解公式.当D=1 785,7 140,28 560时,能求出方程的一组解,对所给的其它D值,能求出方程的唯一解.结果表明,有无穷多个非平方的正整数D使方程x~4-Dy~2=1有正整数解.     

关于方程my(y+1)(y+2)(y+3)=nx(x+1)(x+2)(x+3)

证明了以下两个定理1.设m,n是两个互素的正整数,m是完全平方数,n=p     

数学归纳法的流程图解释

数学归纳法是《高等代数》的基础 ,也是难点之一 .在高等代数中根据正整数的一个最基本的性质———最小数原理 .即正整数集N 的任意一个非空子集S必含有个最小数 ,也就是这一个数a∈S ,对于任意a∈S都有a≤c数学归纳法用以上定理证了 ,但并不形象 .因而教师创造了一些素材来解释教学归纳法 .如利用多米诺骨牌为什么全部倒下等 .但是骨牌必竟还是有限的 .而数学归纳法是关于正整数的命题 ,正整数是无限的 ,所以多米诺骨牌不能解决无限的问题 .计算机语言中的流程图和它的赋值语句则能够很好地解决这个问题 .　　数学归纳法可用右面流程图…     

恰有7个部分的n-分拆的计数

设n是正整数,n-分拆是指将n表为一个或多个正整数的和的形式．两个和式若仅有加数顺序的差异则视为相同的分拆．称和式中的每个加数为这个n-分拆的一个部分．以Pr（n）表示部分数为r的n-分拆的个数．该文研究了部分数为7的n-分拆,得到了P7（n）的简易计算公式．     

一个Diophantine方程组

设D是正整数.1995年,M.Mignotte和A.Petho运用深奥的超越数论方法确定了方程组x2-Dy2=1-D和x=2z2-1在D=6时的全部正整数解(x,y,z).对于D-1是奇素数方幂这个一般情况,给出了确定该方程组全部正整数解的初等方法,并且由此找出了该方程组在D=6和8时的全部正整数解.     

实二阶方阵正整数方幂迹的计算

讨论实二阶方阵正整数方幂迹的计算问题,得到了计算实二阶方阵A正整数方幂迹的一个新公式,此公式只涉及矩阵A的迹trA、行列式detA和n(正整数)次乘法.特别地,当trA或detA为零时,得到了计算trA~n的一些特例.     

一个包含Smarandache LCM对偶函数的方程

对任意正整数n,定义两个Smarandache LCM函数的对偶函数SL*(n)=max{k:k ∈N,[1,2,…,k]| n}和S*(n)=max{m:m ∈N,m!|n}．用初等方法研究函数方程∑d|nSL*(d)=∑d|nS*(d)的可解性,并获得了该方程的所有正整数解.     

关于Smarandache函数的一个猜想

对于正整数a,设S(a)是Smarandache函数。利用有关Goldbach猜想的结果证明了:对于任何正整数k,方程S(x1) S(x2) … S(xk)=S(x1 x2 … xk)都有无穷多组正整数解(x1,x2,…,xk).     

关于Diophantus方程的正整数解问题

本文给出了Diophantus方程xyz=r2 (x y z)的全部正整数解的一种简单的表示形式 ,及此方程的几类特殊形式的全部正整数解     

关于丢番图方程(15n)x+(112n)y=(113n)z

设a,b,c为两两互素的正整数且满足a2 b2=c2.1956年Jesmanowicz猜测丢番图方程(na)x (nb)y=(nc)z仅有正整数解x=y=z=2.利用初等方法证明了:对于任意的正整数n,除去x=y=z=2而外,丢番图方程(15n)x (112n)y=(113n)z无其它正整数解,即当a=3.5,b=16.7,c=113时Jesmanowicz猜想成立。     

关于Diophantine方程x~3+1=3py~2

设p是奇素数,证明了当p=108 s2+1,其中s是正整数时,方程x 3+1=3py2无正整数解(x,y).     

翻摊游戏的一般解

设n是任意给定的正整数,k(0相似文献