Gauss整环及其商环性质

本文研究了Gauss整环及其商环的几个性质,用数论的方法指出了Gauss整环的商环中元素的个数,并给出Gauss整环的商环作成域的两个充分条件.     

Gauss整环的理想和商环

主要讨论了Gauss整环Z[i]的理想中的元素形式和性质,商环中的元素个数,商环的结构及商环构成域的条件.另外,给出了Gauss整环关于映射φ:a+bi→a2+b2作成一个欧氏环的两种证法.     

不定方程x~2+4~k=y~9的整数解

利用初等数论及代数数论的方法研究了不定方程x~2+4~k=y~9(k=3,4,5)在Gauss整环中的可解性,证明该方程当k=4时仅有整数解(x,y)=(±16,2),而当k=3,5时无整数解.     

Gauss整数环的主理想及其商环研究

研究了Gauss整数环商环中元素的个数问题,并用一种新的初等方法解决了以下猜想：Gauss整数环的商环（Z[i]/（n＋mi））元素个数是m2＋n2.     

论素数在整环中的惟一分解

文章是在参考《初等数论》,《近世代数基础》,《高等代数》等学科的基础上将要讨论整数环中的素数与整环的素元密切关系,利用素数在整数环中的概念、性质、有关定理、定义与关于整环中的素元的定义,定理区分素数和素元及其素数在整环中的惟一分解.通过整数环的素数来证明它在整环里的素元分解,并具体例子说明了素数的惟一分解。     

整数环上一元多项式环中两类极大理想的构造

极大理想是交换环中特殊类型的理想,是由交换环构造域的简便方法.通过研究整数环上一元多项式环中某些极大理想的构造方法,给出了任一素数与一次整系数多项式生成极大理想的等价条件,即多项式的首项系数与该素数互质,以及素数2与二次整系数多项式生成极大理想的两个充分条件,使得在此类环中构造及判断某些极大理想的条件较为简便,方法易于掌握.     

高斯整环Z[~(1/2)m]的既约元及其商环中元素的确定

本文给出了高斯整环Ｚ［ｍ］中元素为既约元的一个充分必要条件以及确定其商环中元素个数的一种简便方法。     

GV-理想与素子模

利用w-算子理论,给出了唯一分解整环中GV-理想的等价刻画,证明了在唯一分解整环R中,I=Rα1＋…＋Rα0∈GV（R）,当且仅当N=R（α1,…,αn）是F=R（n）（n≥2）的秩为1的素子模,当且仅当N=R（α1,…,αn）是F=R^（n）（n≥2）的秩为1的极大子模,定义了彬一模中子模的彬一根．作为所得结果的应用,讨论了唯一分解整环中有限生成自由模的循环子模的彬一根．     

高斯整环的商环中一般元素的表达形式

利用同余和等价关系得出了高斯整环的商环中一般元素的表达式及高斯整环的商环的同构形式     

Gauss整数的既约分解

Gauss整数环Z[i]是单一分解整环。因而任一Gauss整数Z=a+bi(a、6∈Z)都可以分解为既约元的乘积。此文首先给出Gauss整数环Z[i]的既约元与其范数的关系,Z[i]的既约元的集合,然后讨论素(自然)数在Z[i]中的既约分解。在以上基础上给出Gauss整数的分解方法。     

高斯整环Z（√m）的既约元及其商环中元素的确定

本文给了了高斯整环（Ｚ（√ｍ）中元素为既有约元的一个充分必要条件以及确定其商环中元素个数的一种简便方法。     

关于不定方程x2+64=y7的解的讨论

在高斯整环中,利用代数数论的方法,证明了不定方程x2+64=y7的有理整数解,推进了不定方程的研究.     

主理想整环上有限生成模的基本结构定理的另一证明

所谓主理想整环(p、i、d)上有限生成模的基本结机定理,是指:如果M≠0是p、i、d、D上的一个有限生成模,则M是循环模的直和:M=Dx_1 (?)Dx_2 (?)…(?)DX_n并且,生成元的阶理想合乎条件:annx_1(?)annx_2(?)…(?)annx_n,annx_i≠D,i=1,2,…n.N·Jacahson在《Basijc Algebraf》一书中利用主理想整环中矩阵的标准形,给出了这个定理的证明;并且提示,如果将主理想整环中元素长度的概念推广到主理想整环上的有限生成模中,可以得到基本结构定理的另一证明.本文根据这个提示,首先证明三个引理,     

关于不定方程x^2＋64=y^11的解的讨论

在高斯整环中,利用代数数论的方法讨论了不定方程x^2＋64=y^11的有理整数解问题,并证明了不定方程x^2＋64=y^11无整数解.     

结式与多项式互素

主要研究唯一分解整环上的多项式环中多元多项式互素.从一元多项式结式的经典定义出发,结合推广的结式性质,给出系数为唯一分解整环上的多个多元多项式是否互素、或是否存在非平凡公因子判定的充分必要条件.     

关于整环上的v—模理论

本文对整环Ｒ及其商域Ｋ，提出了Ｋ＾ｎ中分式ｖ－模的概念，它是整环中ｖ－分式理想的自然推广。同时刻划了ｖ－素理想，ｖ－分式模的素子模之间的关系。     

广义最大公因子整环中的*-理想

主要对GGCD整环中的w-理想与t-理想进行了研究,并讨论了GGCD整环与PVMD之间的联系.证明了R是GGCD整环当且仅当R是w-乘法封闭的PVMD,当且仅当R是t-乘法封闭的PVMD.此外,利用星型算子理论给出了GGCD整环与其多项式环及分式环之间的一些等价刻画.     

素子模与Laskerian模上的w-根

给出了素子模在环R与其多项式环R[X]之间的一个等价刻画,并分别对唯一分解整环与主理想整环中有限生成自由模的素子模进行了讨论.利用子模的w-根的相关结论,给出了有限生成Laskerian模上的w-根的两个刻画.     

关于不定方程x2+4=y17的整数解

在高斯整环中,利用代数数论与同余理论的方法,讨论了不定方程x~2+4=y~(17)的整数解问题,并证明了不定方程x~2+4=y~(17)无整数解.     

关于不定方程x2 + 11 = 4y3

对于某些d,若Q(√d)是Euclid域,则在对应的Euclid整环中算术基本定理成立,利用此来证明不定方程χ2+11=4y3没有整数解.