关于图的控制数

设Ｇ是ｎ阶连通图γｃ（Ｇ）ｄｃ（Ｇ）ｉ（Ｇ）和ｉｒ（Ｇ）分别表示图Ｇ的连通控制数，边通控制划分数，独立控制数和无赘数，本文证明了此结构。     

循环图带宽的上界

给出了连通循环图Ｇ＝Ｃｎ〈ｊ１,ｊ２,…,ｊｒ〉带宽Ｂ（Ｇ）的上界,即Ｂ（Ｇ）≤２ｊｒ,并研究得到了四度连通循环图Ｇ１＝Ｃｍ１ｍ２〈ｋ１ｍ１,ｋ２ｍ２〉的带宽Ｂ（Ｇ１）＝２ｍｉｎ（ｍ１,ｍ２）（ｍ１＝ｇｃｄ（ｍ１ｍ２,ｊ１）,ｍ２＝ｇｃｄ（ｍ１ｍ２,ｊ２））,及五度连通循环图Ｇ２＝Ｃｍ１ｍ２〈ｊ１,ｊ２,ｍ１ｍ２／２〉的带宽Ｂ（Ｇ２）＝４ｍｉｎ（ｍ１,ｍ２）（２ｍ１＝ｇｃｄ（ｍ１ｍ２,ｊ１）,２ｍ２＝ｇｃｄ（ｍ１ｍ２,ｊ２））．     

4连通无爪图的最长圈

设Ｇ为ｎ阶４连通远爪图，δ＝ｍｉｎ（ｄ（ｘ）／ｘ∈Ｖ（Ｇ）），则当ｎ≤６δ－１１时Ｇ为Ｈ图，当ｎ≥６δ－１０时，ｃ（Ｇ）≥５δ－７。     

Hamilton连通图的一个充分条件

设Ｇ是ｎ阶３－连通图，若对任意不相邻二点｛ｕ，ｖ｝Ｖ（Ｇ）有ｄ（ｕ）＋ｄ（ｖ）＋２｜Ｎ（ｕ）∪Ｎ（ｖ）｜≥２ｎ＋１，则Ｇ是Ｈａｍｉｔｏｎ连通的。     

D—闭迹存在的一个充分条件

所获主要结果是：设Ｇ是ｎ≥３阶几乎无桥的简单连通图，Ｇ≌Ｋ１，ｎ－１，若对Ｇ中任何互不相交的三条边ｅ１，ｅ２及ｅ３有ｄ（ｅ１）＋ｄ（ｅ２）＋ｄ（ｅ３）≥２ｎ＋１则Ｇ有一个Ｄ－闭迹，从而Ｌ（Ｇ）是哈密顿图，此结果推广了Ｂｅｎｈｏｃｉｎｅ Ａ等人的结果。     

图的路连通问题

如果图Ｇ的每对不同顶点ｕ和ｖ之间都有哈密顿路相连，则称Ｇ是哈密顿连通的；而如果对于所有满足条件以ｄ（ｕ，ｖ）≤ｑ≤ｎ－１的整数ｑ，ｕ和ｖ之间有长为ｑ路相连，则和Ｇ是泛连通的，其中以ｄ（ｕ，ｖ）是ｕ和ｖ间的距离，而ｎ是Ｇ的顶点数。本文证明了下述两个结果：（１）２ｋ＋１个顶点的ｋ正则简单图是哈密顿连通的，（２）ｋ连通国中任何两顶点之间存在ｋ－１条长度不同的路；进而如果Ｇ的顶点数小于２ｋ，则Ｇ是泛连通的。     

一个关于2—连通图周长的次条件

设Ｇ为ｎ阶２－连通图，顶点ｖ１，ｖ２，…，ｖｎ满足ｄ≤ｄ２≤…≤ｄｎ，其中ｄｉ＝ｄ９ｖｉ），ｉ＝１，２，…，ｎ。给出ｃ（Ｇ）≥ｍｉｎ「ｎ，ｍ」的如下条件：ｊ〈ｋ，ｖｊｖｋ∈Ｅ，Ｊ＋Ｋ〈ｍ，ｄＪ≤Ｊ，Ｄｋ＋１≤ｋｄ（ｖ），ｄ（ｕ）≤Ｊ（其中Ｊ＝ｄ（ｖｊ），Ｋ＝ｄ９ｖｋ））｝→ｄｉｓｔ（ｖ，ｕ）≠２。     

关于图的泛连通性的几个结果

如果对ａ≤ｉ≤ｂ，图Ｇ的任一对顶点ｕ、ｖ都存在长为ｉ－１的路Ｐｉ（ｕ，ｖ），则称Ｇ是［ａｂ］－泛连通的．文中证明了关于图的泛连通性的下述结果：设Ｇ为ｎ阶连通图，且对Ｇ中任一对距离为２的顶点ｕ，ｖ，有ｄ（ｕ）＋ｄ（ｖ）≥ｎ，则图Ｇ是［５ｎ］－泛连通的当且仅当Ｇ是Ｈ连通的．此结果推广了Ｆａｕｄｒｅｅ和Ｓｃｈｅｌｐ的一个结论．     

关于Faudree－Schelp定理的改进

一个图Ｃ＝（Ｖ，Ｅ）是［ｌ，ｍ］－泛连通的，如果在Ｇ的任意一对节点ｘ与ｙ之间有长为Ｋ—１的路Ｐｋ（ｘ，ｙ），Ｋ＝ｌ，ｌ＋ｌ，…，ｍ。Ｇ具有性质Ｐ（Ｋ），如果对Ｇ的任何一对距离为２的节点ｘ和ｙ，有ｄ（ｘ）＋ｄ（ｙ）≥Ｋ。作者探讨了一类产（Ｋ）图的路连通性，改进了Ｆａｕｄｒｅｅ－Ｓｃｈｅｌｐ定理，得到两个定理：定理１设Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）是ｎ阶Ｐ（ｎ—１）图。如果Ｇ是［ｎ—１，ｎ］－泛连通的，则Ｇ是［８，ｎ］－泛连通图（ｎ≥８）．定理２设Ｇ是３－连通ｎ阶Ｐ（ｎ）图。如果Ｇ的独立数α（Ｇ）＜ｎ／２，则Ｇ是［５，ｎ］－泛连通图，ｎ≥５．     

一个关于2─连通图周长的次条件

设Ｇ为ｎ阶２－连通图，顶点ｖ１，ｖ２，…，ｖｎ满足ｄ１≤ｄ２≤…≤ｄｎ，其中ｄｉ＝ｄ（ｖｉ），ｉ＝１，２，…，ｎ。给出ｃ（Ｇ）≥ｍｉｎ｛ｎ，ｍ｝的如下条件：     

涉及距离的哈密顿连通图

证明了下面的结论：设Ｇ是ｎ阶３－连通图，如果对任意满足ｄｉｓｔ（ｕ，υ）＝２的顶点｛ｕ，υ）（Ｇ），有ｍａｘ｛ｄ（ｕ），ｄ（υ）｝＋｜Ｎ（ｕ）∪Ｎ（υ）｜≥ｎ＋１，则Ｇ是哈密顿连通的．     

2—连通无爪图的最长圈

本文引入了图Ｇ的幅度ζ（Ｇ）的概念，讨论了２－连通无爪图的最长圈。设ｃ（Ｇ）图Ｇ的最长圈，对于一个非Ｈａｍｉｔｏｎ２－连通无爪图Ｇ，证明了，如果ζ（Ｇ）〈１／２λ（Ｇ），则ｃ（Ｇ）≥２／３ｐ＋１＋２。     

Hamilton连通图的一个新的充分条件

设Ｇ是ｎ阶３－连通无向简单图，α表示图的独立数．若对Ｇ的所有距离为２的顶点ｕ，ｖ，都有ｄ（ｕ）＋ｄ（ｖ）≥ｎ或｜Ｎ（ｕ）∩Ｎ（ｖ）｜≥α，则Ｇ是Ｈａｍｉｌｔｏｎ连通的，除非Ｇ属于一个特殊图类．     

图的周长

设Ｇ为ｎ阶２连通图，Ｄ（ｘ）＝（ｙ│ｙ∈Ｖ（Ｇ），ｄ（ｘ，ｙ）≤２），（ｄ１，ｄ２，．．．，ｄｊ，．．．，ｄ│Ｄ（ｘ）│为Ｄ（ｘ）中所有顶点的度排成的非减度序列ｄｄ（ｘ）为（ｄ１，ｄ２，．．．，ｄｊ，．．．ｄ│Ｄ（ｘ）│）中当ｊ＝ｄ（ｘ）时的度，δ０＝ｍｉｎ（ｍａｘ（ｄ（ｘ），ｄ（ｙ））ｘ，ｙ∈Ｖ（Ｇ），Ｄ（ｘ，ｙ）＝２），δｉ＝ｍｉｎ（ｄｄ（ｘ）│ｘ∈Ｄ（δｉ－１）│，Ｄ（δｉ－１）＝（ｘ│ｘ     

不含K3图的周长

设Ｇ为不含Ｋ３的２连通的非偶图的图。Ｄ（ｕ）｛ｖ｜ｖ∈Ｖ（Ｇ），ｄ（ｕ，ｖ）＝２｝，δ０＝ｍｉｎ｛ｍａｘ（ｄ（ｕ），ｄ（ｖ）｜ｕ，ｖ∈Ｖ（Ｇ）且ｄ（ｕ，ｖ）＝２｝，Ｄ（δ０）＝｛ｕ｜ｕ∈Ｖ（Ｇ）且ｄ（ｕ）≥δ０｝，δ≥δ０时还满；     

用基本集讨论k－连通图的Hamilton－连通性

设Ｇ是ｎ阶ｋ－连通图（ｋ≥３）．称Ｇ的独立集Ｓ为一个基本集，如果存在｛ｕ，ｖ｝Ｓ使得ｄｉｓｔ（ｕ，ｖ）＝２．本文证明了下述结论：如果对Ｇ的任－ｋ－基本集Ｓ，有ｍａｘ｛ｄ（ｕ）｜ｕＳ｝≥　则Ｇ或者是Ｈａｍｉｌｔｏｎ－连通的或者属于两类例外图之一。     

偶图的周长

设Ｇ（Ａ，Ａ２；Ｅ）为２连通偶图，（Ａ１，Ａ２）为顶点二分划，Ｄ（ｘ）＝｛ｙ｜ｙ∈Ｖ（Ｇ）＼｛ｘ｝，ｄ（ｘ，ｙ）＝２｝，ｄ＾＊ｄ（ｘ）表示Ｄ（ｘ）∪｛ｘ｝中所有的度排成的非减度序列（ｄ＾＊１，ｄ＾＊２，…，ｄ＾＊ｊ，…，ｄ＾＊｜Ｄ（ｘ）｜＋１）中当下标ｊ＝ｄ（ｘ）时的度而当｜Ｄ（ｘ）｜＋１＜ｄ（ｘ）时ｄ＾＊ｄ（ｘ）＝ｄ＾＊｜Ｄ（ｘ）｜＋１。δ０＝ｍｉｎ｛ｄ（ｘ）｜ｘ∈Ｖ（Ｇ）｝，δｉ＝ｍｉｎ｛ｄ＾     

4连通无爪图的最大圈长的一个下界

设Ｇ为ｎ阶４连通无爪图，σ５＝ｍｉｎ，则ｃ（Ｇ）≥ｍｉｎ（ｎ，σ５－７）。     

图平均距离的一个上界

设Ｇ为ｎ阶简单图，ｄＧ（ｕ，ｖ）记为顶点ｕ，ｖ之间的距离，称Ｄ（Ｇ）＝（Σｕ≠ｖｄＧ（ｕ，ｖ）／（ｎ２））为Ｇ的平均距离。本文给出了用Ｇ的顶点数和连通度表示的图平均距离的一个上界     

局部化Fan条件的一个推广

对图Ｇ的任一个导出子图Ｌ,若对↓Ａｘ,ｙ∈Ｖ（Ｌ）,ｄＬ（ｘ,ｙ）＝２＝ｍａｘ｛ｄＧ（ｘ）,ｄＧ（ｙ）│≥│Ｇ│／２,则称Ｌ有局部Ｆａｎ性质,证明了下述结果：设Ｇ是一个２－连通图,若其每个导出子图Ｌ＝Ｋ１．３或Ｚ２在Ｇ中均有局部Ｆａｎ性质,则Ｇ是Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ图。