1型拟差集

1973年,H.J.Ryser研究了循环差集的两种变体,其中之一就是1型拟差集.对于一般的v值,Ryser得到(v,k,λ)-1型拟差集存在的两个必要条件,构造了几个平面1型拟差集.本文给出了(v,k,λ)-1型拟差集存在的两个必要条件,一个乘数定理和关于乘数的若干性质.     

存在I型循环拟差集的一些必要条件

本研究（v,k，λ）_I型循环拟差集存在的必要条件。特别是对v≡2(mod4)的情形，所得到的必要条件可以用Diophantine方程来表示，利用所得到的必要条件，对满足v≡2(mod4),v<100的整数v，考察了（v,k，λ）_I型循环拟差集的存在性问题。     

(40,13,4)-循环差集的计数和构造

我们研究互不等价的(V,k,λ)一循环差集的个数N(V,k,λ)的计算,以及N(v,k,λ)个互不等价的(V,k,λ)一循环差集的构造。本文试图不用电子计算机来处理繁重的计算,对(V,k,λ)=(40,13,4)的情形得出了完全的解答。     

循环差集存在的一个必要条件和素数的一个性质

定义　设υ,ｋ,λ是正整数.模υ的ｋ个互不同余的整数组成的集合Ｄ={ｄ1,ｄ2,…,ｄｋ}叫做一个(υ,ｋ,λ)-循环差集,如果对于每一个α0(ｍｏｄυ),恰好在Ｄ中有λ个有序对(ｄｉ,ｄｊ),使得α≡ｄｉ-ｄｊ(ｍｏｄυ).由于一个循环差集可以展开为一个循环对称区组设计,由著名的ＢｒｕｃｋＲｙｓｅｒＣｈｏｗｌａ定理,有如下结论:定理1[1]　设1≤λ<ｋ<υ-1.若(υ,ｋ,λ)-差集存在,则ⅰ)λ(υ-1)=ｋ(ｋ-1),ⅱ)当υ为偶数时,ｋ-λ为平方数;当υ为奇数时,不定方程ｚ2=(ｋ-λ)ｘ2 (-1)(υ-1)/2λｙ2(1)有不全为零的整数解ｘ,ｙ,ｚ.判定不定方程(1)…     

存在Ⅱ型循环拟差集的两个必要条件

关于Ⅱ型循环拟差集的研究可见献[1]，[2]，[3]。本对于v≡3(mode4)的情形，给出了存在（v,k,λ）－Ⅱ型循环拟差集的两个必要条件。     

循环阿达玛组态

本文指出完全循环阿达玛矩阵与参数v=n,k=(n-n~(1/2))/2 λ=(n-2(n~(1/2)))/4且关联矩阵是循环矩阵的(v、k、λ)——组态等价进而与相同参数的完备差集等价.     

Ⅱ型循环拟差集

本文研究(V,k,λ).Ⅱ型循环拟差集存在的必要条件,特别对2 |V的情形讨论得较详,并且利用这些条件,对于在2≤v≤100范围内的偶数V,考察了(V,k,λ)Ⅱ型循环拟差集的存在性问题。     

区组长度为{3,4}的自反Mendelsohn设计和自反强制Mendelsohn设计

一个Mendelsohn设计MD(v,k,λ)称为是自反的,记为SCMD=(v,k,λ)=(X,B,f),如果存在从(X,B)到(X,B-1)的同构映射f,B-1={B-1;B∈B},其中若B=则B-1=.当λ=1时记作k-SCMD(v).一个{k1,k2}-SCMD(v)称为是自反强制Mendelsohn设计,记作{k1,k2}-SCMMD(v),若{k1,k2}-SCMD(v)中区组长度至少有一个k1和一个k2.该文给出了{3,4}-SCMD(v)和{3,4}-SCMMD(v)的存在性.     

区组长为4的自反有向平衡不完全区组设计

如果从一个有向平衡不完全区组设计DB(k,λ;v)(X,B)到(X,β-1)之间存在一个同构映射f,则这个DB(k,λ;v)被称为自反的,记为SCDB(k,λ;v)(X,β,f),其中β-1={B-1:B∈B},当B=(x1,x2,…,xk-1,xk)时B-1=(xk,xk-1,…,x2,x1).本文主要证明了SCDB(4,λ;v)存在的充分必要条件是λ≡1,2(mod 3)时,v≡1(mod 3)且v≥4,(v,λ)≠(7,1);λ≡0(mod 3)时,v为≥4的任意整数.     

分圆域中单位的一个性质及其应用

本文研究了应用分圆域中单位的性质到差集理论的可能性。我们发现分圆域Q(ξ)/Q中的单位ε(ξ)满足ε(ξ)ε(ξ~(-1))=1当且仅当ε(ξ)=±ξ~i对某一有理整数成立,这里[Q(ξ):Q]=v是素数。这个性质可应用到差集的乘数定理上,本文结尾处给出了一个应用例子。应用本文的思路可以证明n=k-λ=3p时,素数p必为(v,k,λ)循环差集的乘数。     

关于循环差集的一个性质

设V是正整数,D={a_1,a_2,…a_k}是模V的K个不同剩余的集,如果对每个a0(mod V),同余式a_i-a_j≡a(mod V),a_iD,a_jD,恰有λ对解(a_i,a_j),则称D是一个参数为V,K,λ的循环差集(或称完全差集),简称V,K,λ差集。 文[1]研究了对任意一个V,K,λ差集是否至少有一个数与V互素的问题。这对于讨论循环差集的存在和构造问题是有益的。文[1]证明了如下结果:     

组合设计的计数和构造

给出了(b,v,r,k,λ)组态及(v,k,λ)组态的个数,r×n拉丁长方的个数,k-1个相互正交的n阶拉丁方组的个数的几个精确计算公式.并将(b,v,r,k,λ)及(v,k,λ)组态的存在及构造问题转化为判断和寻找一个数论问题的非负整数解的问题.     

利用正交几何构造BIB设计

所谓一个BIB设计B[k,λ,v]是指一个序对(X,■),其中X 是一个v元集合,■是由X的某些k元子集(称为区组)组成的集族,使得X的每个2元子集恰好包含在λ个区组中.本文证明了特征不为2的有限域上正交几何的几个计数定理,利用它们构造了几种BIB设计,并计算出参数.     

2-完美(v,{3,k},λ)-MD存在性

令v与λ为正整数,K为正整数集。一个（v,K,λ）-Mendelsohn设计（简写为（v,K,λ）-MD）是一个对子（X,B）,其中,X是一个v元集合（称之为点集）,B是由X中k-子集（称之为区组）所组成的集合,其中k∈K且所含元素是循环有序的,使得X中任意有序对恰相邻出现在、B中的A个区组中。如果对于所有t=1,2,…,r,X中任意有序对均恰以t-间隔的形式在,B中出现A次,则称其为r-完美设计,并且简记为r-完美（v,K,λ）-MD。主要讨论2-完美（v,{3,k},λ）-Mendelsohn设计的存在性,其中k取自集合{4,5,6,7}。     

具有β1型区组的(12,4,1)-PMD的完全分类

设X是一个v元点集,A是循环有序的k元子集簇.一个完全Mendelsohn设计,记为(v,k,λ)-PMD,是二元组(X,A),使得X中每个有序点对恰好t间隔地出现在λ个区组中.若一个区组恰有u个区组与之不交,则称之为βu区组.本文证明了共有141个不同构具有β1型区组的(12,4,1)-PMD.     

平衡(v,{3,4},1)不相交差族（英文）

v阶加法群G上的(v,k,λ)差族为G的k元子集(基区组)族B={B_i:1≤i≤t},使得ΔB=∪_(B∈B)ΔB恰好覆盖G\0}中的每个元素λ次.若该区组集B中的区组互不相交,则称B为不相交差族,记为(v,k,λ)-DDF.关于k=3,4时(v,k,λ)-DDFs的存在性已经有部分结果.该文考虑(v,K,λ,Q)-DDF,并证明对于任意的素数p≡1(mod 18),存在平衡(p,{3,4},1)-DDF.     

图是λ_k-最优的和超级-λ_k的度条件

设S是连通图G中的一个边子集。若G-S不连通且它的每个连通分支的阶至少为k,则称S是G的一个k限制边割。图G的最小k限制边割的边数称为G的k限制边连通度,记为λk(G).义ζk(G)=min{|[X,X]|∶|X|=k,G[X]连通},其中X=V(G)\X.若λk(G)=ζk(G),则称G是λk-最优的。如果图G的每个最小k限制边割都孤立了一个k阶连通子图,那么称G是超级-λk的。设k是一个不小于2的正整数且G是一个阶不小于2庇的图。本文证明了若对于G中任意一对不相邻顶点u,v都有d(u)+d(v)≥ν+2k-4且G不属于一类特殊图,则G是λk-最优的。最后,给出了图是超级-λk的一个充分条件。     

DTS(v)嵌入到DB(4,1;w)的研究

设(V,B)为一个DB(k,λ;v),(W,(?))为一个DB(k',λ';v')。如果V(?)W并且(?)/v=B,即B={B:B∈(?),B(?)V},我们称(V,(?))嵌入到了(W,(?))中。主要给出了当k=3,k'=4,λ=λ'=1时,DTS(v)的嵌入谱的估计。同时,确定了小阶数的DTS(v)的嵌入谱。     

本质集和1-几乎Hamilton性

设G是图 ,图G的独立集Z称为本质的 (简称本质集 ) ,如果存在 {z1 ,z2 } Z ,使得dist(z1 ,z2 ) =2 (这里dist(v,z)表示v与z间的距离 ) .结合插点方法以及 ∑ki=1N(Yi)和n(Y) (其中Y ={y1 ,y2 ,… ,yk}为G中任一独立集 ,Yi={yi,yi- 1 ,…yi- (b- 1 ) } Y ,i=1 ,2 ,…k,yi 的下标取模k,b(0 相似文献   

有限Boole环的结构问题

若环B中的每个元素x都满足条件x~2=x,则称环B为一个Boole环. 下面几个是Boole环的例子. 例1 单元素环{0},模2剩余类环Z_2以及环Z_2上的多项式环Z_2〔x〕关于理想(x~2 x)的剩余类环Z_2〔x〕/(x~2 x)都是Boole环 例2 设B_1,B_2,…B_n,…是Boole环的序列,令 在B中规定加法和乘法如下: (b_1,b_2,…,b_n,…) (b_1~′,b_2~′,…,b_n~′,…)=(b_1 b_1~′,b_2 b~′_2,…,b_n b_n~′,…)。 (b_1,b_2,…,b_n,…)·(b_1~′,b_2~′,…,b_n~′,…)=(b_1b_1~′,b_2b_2~′,…,b_nb_n~′,…)。可以证明,B关于所规定的加法和乘法运算构成一个Boole环,它是一个没有单位元的无限Boole环,并且其中的每个元素都是零因子。