关于丢番图方程∑i=1^n∑j=1^n（aij）／XiXj=0的整数解

当丢番图方程∑i=1^n∑j=1^naijyiyj=0有一组非平凡的整数解y1^*，y2^*，…，yn^*(yn^*≠0)时，给出了方程∑i=1^n∑j=1^n(aij)/xixj=0满足(x1，x2，…，xn)=1的全部整数解的公式．     

Diophantus方程∑i=0^n（x＋i）^2=y^2的正整数解（I）

探讨Diophantus方程∑I=0^n(x i)^2=y^2在n≤50下的正整数解问题，得到了以下结果：Diophan-tus方程∑I=0^n(x i)^2=y^2在n≤50下有正整数解的充要条件为n∈{1，10，22，23，25，32，46，48，49}。     

多项式f（x）=n↑П↑i=1（x-αi）n↑П↑j=1[（x-bj）^2＋cj^2]的超级数根

用数论中同余和整除的方法证明了:如果a1,a2,Λ,am为互不相同的整数,而(bj,cj)(j=1,2,Λ,n)为互不相同的整数对,且cj≠0(j=1,2,Λ,n),则多项式f(x)在超级数环内有且仅有m2+2mn个根.从而将日格列维奇 A·Б·,彼德罗夫Н·Н·的结论推广到了一个一般的情形.     

关于递推关系aai-1,j-1＋βai-1,j=ai,j

研究了满足ααi-1,j-1+βαi-1,j=αi,j的序列{αi,j}.用发生函数法得到了n+1阶矩阵A=(αi,j)(n+1)×(n +1)的精确表达式.用数学归纳法证明(1-βx-αxy)-n中一般项xiyj(i≥j)的系数为αjβi-j(i+n-1/n-1)(i j).导出了一些有关二项式系数(n k)的新的组合恒等式.     

奇异方程x″＋p（t）f（x）＋q（t）g（x′）=0的可解性

设p(t),q(t)∈C((0,1),(0,+∞)),f(x),g(y)∈((0,+∞),(0,+∞)),并且满足下列条件(1)f(x)是x的减函数,存在正数b＞0,使得f(rx)≤r-bf(x),对任意(r,x)∈(0,1)×(0,+∞),limx→0+xbf(x)＞0;(2)g(y)是y的减函数,limy→0+g(y)=+∞.则下列奇异边值问题x″+p(t)f(x)+q(t)g(x′)=0,0＜t＜1,x(0)=x′(1)＝0.有唯一C1[0,1]正解的充分必要条件是t-bp(t)∈L1[0,1],q(t)∈L1[0,1].     

关于丢番图方程x（x＋1）=Dy^3

设p为素数,证明了丢番图方程x(x 1)=Dy^3在d=p≠1(mod3)时仅有解（p,x,y)=(2,1,1),2,-2,1),(17,5831,126)(17,-5832,126);在d=2p,p≡2,3,5(mod9)时仅有解（x,y,p)=(2,1,3),(-3,1,3);在D=4p,p=5或p≡2,3（mod9)时仅有解（p,x,y)=（3,3,1）,（3,-4,1）,（5,4,1）,（5,-5,1）,（5,6859,133）,（5,-6860,133）。     

关于极限limn→∞（1＋1／n）^n及其相关问题的探讨

本文给出了证明极限limn→∞(1 1/n)^n存在的三种新方法，并对若干相关问题进行了探讨。     

关于重要极限lim↑n→∞（1＋1/n）^n=e的若干问题

分析了重要极限lim↑n→∞（1＋1/n）^n=e的特征，归纳了此类极限的一般性解法。针对学生对此极限所提出的几个疑难问题，给出通俗易懂的解答。     

关于不定方程h∑i=0（x＋i）^n=（x＋h＋1）^n的解

证明了：当１００〈ｎ≤２００时，不定方程ｘ＾ｎ＋（ｘ＋１）＾ｎ＋．．．＋（ｘ＋ｈ）＾ｎ＝（ｘ＋ｈ＋１）＾ｎ。无正整数解。     

关于Diophantine方程（αx^3＋1）／（αx＋1）=f（y）

设α是大于1的正整数，f（z）是整值函数．本文证明了：方程（αx^3＋1）／（αx＋1）=f（y）没有适合x〉1的整数解（x，y）．     

关于不定方程组x±1=6pqu2,x2（-＋）x＋1=3v2的整数解

设p,q是互异的奇素数,p≡q≡1 （mod 6）,利用递归序列、Pell方程的解的性质、Maple小程序等方法证明了不定方程组x-1=6pqu2,x2＋x＋1=3v2仅有平凡解（x,u,v）=（1,0,±1）;而不定方程组x＋1=6pqu2,x2-x＋1=3v2仅有平凡解（x,u,v）=（-1,0,±1）.     

图（∪i=1^saiD3mi）∪（∪j=1^t bjD2nj＋1）的补图的色唯一性

本文证明了Dn是不可约图的充分条件，并讨论了图G＝（∪i=1^sajD3mj)∪(∪j=1^tbjD2nj 1)的伴随唯一性。     

关于方程sum from j=0 to h(x-j)~n=sum from j=1 to h(x+j)~n

(1)Ed.CollignonO)售经证明方程h h∑(形一力“=∑(。+歹)”j—O j;1对于铭=3或4无正整数解。今年一月问,秦淦来信提出关于方料C1)的正整数解z,h的问题。他说用很麻烦的计算可能证明在3≤竹≤100时,(1)式无正整数解。但是对于n>100,无法解决。本文将证明妲墩.2兰曼堕垂要鍪墼篓二, ‘ 当n=l时,显然(1)式有解(2)皂口有(3) z=2∑歹=忍(忍+1)。 . j=1当诏=2时,亦易知(1)式有正整数解设竹≥3,由(1)式得出:z=4∑,=2庇(死+1)。 j=1 『等L 1z”=妾((抖∥一 “)=2善(:,二。)蚤h(x-4) 1尹斗1矿@件1),z”=∑((抖,)“一 “)=2∑(:川)∑∥Ⅵ叫。件¨,…     

关于数列｛（1＋1／n）^n｝收敛性的证明

为了完成这个证明,我们先建立一个不等式。 设x>0,m是自然数,则 f(x,m)~xm一mx+m一1)0(1) 证明(i)当x=1或m=1时,(1)式等号成立。 (11)假定x护1,m并l f(x,m)一xm一mx+m一1 =xm一l一mx十m =(x一1)(xm一,+xm一2十…+1)一m(x一l) 一(x一1)(xm一‘十xm一“十…十1一m) 显然,无论是O1,均有f(x,m)>0 综合(i)、(11)可知,(1)式成立。下面我们来证数列即要证 1、。Ll十,,~)‘- Il严格增 1、。二1_气1」一--下.万,‘”J‘> fi州卜1 1、,火1,卜—)’(2)(2)式可变形为(哗)·+1>碑土2)· n州卜In(3)(3)式可变形为产nZ+Zn、。、:、七丁.一下…     

微分方程f^（n＋1）（X）=ag（x）／f^（n）{b／x}的解法

本文提出了可积的微分方程f^(n 1)（X）=ag(x)/f^(n){b/x}，给出了求解的方法，获得了通积分的具体表达式，所得结论是对有关文献结果的推广。     

关于y″＋py′＋qy=（a0＋a1x）e^λx的特解

利用待定系数法给出二阶常系数微分方程y″＋py′＋qy=（a0＋a1x）e^λx的特解的一般公式。     

Goormaghtigh 方程（x3-1）/（x-1）=（yn-1）/（y- 1）的例外解

证明了Goormaghtigh方程（x³-1）/（x-1）=（yⁿ-1）/（y- 1）的例外解( x , y , n) 满足gcd( x , y ) > 1 以及 y
x .     

关于Pell方程x2-6y2=1和y2-Dz2=4的公解

对于Pell方程组x^2-6y^2=1和y^2-Dz^2=4，证明了：D=2^n(n≥,n∈N)时，仅有正整数解（n=5),(x,y,z)=(485,198,35)。     

关于Diophantine方程（ax^m-1）/（ax-1）=y^n＋1

设a,m是适合m＞2的正整数.证明了当a＞1时,方程仅有有限多组正整数解(x,y,n)适合min(x,y,n)＞1,而且这些解都满足yn＜2xm-1≤2am2-3m+2.