巴斯加和布利安香定理的代数证明及其应用

《高等几何》教材（刘世泽编）中用综合法证明了巴斯加和布利安香定理，为了使学员进一步熟悉射影坐标系，本文采用代数方法给予定理证明及其应用。一、巴斯加和布利安香定理的证明1．巴斯加定理的解析证明巴斯力。定理设一六角形内接于一条二次曲线，则三对边的交点共线，该直线称为巴斯加线。证明如图1所示，设1（l，0，0），2（0，1，0），6（0，0，1），3（l，1，1），4（a；小；，l）‘5（aZ，八，1），取三点形162为坐标三角形，并使直线34，45均不平行于直线16，从而A学P。，Pl一旦，则二次曲线S的方程为：AQg十BX么十叶上一o（…     

二阶曲线及其切线方程的求法

高等几何给出了二阶曲线的射影定义和有关理论，本文从新的角度介绍二次曲线方程和二次曲线切线方程的求法。玉米二阶曲线方程1．l利用射影定义求二阶曲线方程定义平面上成射影对应的两个线束，其对应直线的交点所形成的图形，称为二阶曲线，若两线束不共心，且不成透视对应，则曲线称为常态的，否则曲线称为变态的。定理1已知两个一维几何形式的三对（不同）对应元素，可准一确定一个射影对应。例里求通过五点A（l，0，－1），B（l，0，1），C（1，2，1），D（丑，2，一至），E（l，3，0）的二次曲线。假如图1所示囹1设以A、CH点为线束…     

反演变换的解析式及其应用

反演变换是初等几何的主要内容之一,它常应用于解决证明问题,特别是作图问题上,在高等数学和有关应用科学里也常应用。这一内容,一般都是用综合几何法来研究,本文主要用解析法来研究,给出反演变换的解析式,并看看它的一些很有意义的应用。以反极O为坐标原点建立直角坐标系,设平面上的任意点A的坐标为X、y,它在关于某个反圆的反演变换下的反点A"的坐标JX'、／（如图1）,这时,每个点A可用一个复数Z-X十时确定,它的反点A"可用复数Z-X＋。y确定。'～。y'就是用直角坐标表示的反演变换的解析式。同样,可以求得反演变换的逆变换…     

关于算子矩阵的谱补问题

设H-和H为可分复Hilbert空间，对定义在Hilbert空间 上的缺项算子补矩阵M（A，B，C，X），其中A∈B（H-），B∈B（H），C∈B（H，H-）给定。当三元算子对（A，B，C）满足一定条件时，X取遍B（H-，H）中算子时，利用构选算子的方法，给出算子补矩阵M（A，B，C，X）的谱之交的结果以及其谱配置结果。     

一道课本例题教学的探索

苏课版义务教育课程标准实验教科书九年级（下册）第一章3节《平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定》例4已知如图（1）正方形的对角线AC、BD相交于点O，正方形A’B’C’D’的顶点A，与点O重合，A，B，交BC于点E，A’D’交CD于点F，求证：OE=OF．     

Menelaus逆定理浅探

l定理钱探Menelaus定理是初等几何中证明共线点的一个有力工具，为了证明它，一般我们先证明了以下的Menelaus逆定理．定理1设面ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB被一直线分别截子点X、Y、Z（图1），则有：此定理在初等几何中有很广泛的应用，介于接受能力，中学数学并未提及此定理．下面，我们由它得出如下一个易于中学生接受，同时在中学几何又很有用的定理，以体现高等数学对中学数学的指导．定理2设过凸ABC的一个顶点C任作一直线，分别分对边AB及不过此顶点的中线AD（或BM）为两部分，其分点分别为F、E，则（如图2）：此定理…     

射影几何在初等几何中的应用

射影几何是研究在射影对应下图形的不变性质和不变量的学科,主要的不变性是结合性,主要的不变量是交比,因此初等几何中关于点共线、线共点以及与圆的切线和交比有关的问题都可运用射影几何的有关基础知识去解决。     

关于点列和线束的交比相等定理在无穷远元素下的证明及其应用

本文给出了成透视对应的点列和线束的交比相等定理,在无穷远元素情形下的代数法证明,补充了高等几何中的一个重要定理,在一些高等几何教材中未涉及的不够严密的方面。并为本定理在整个射影平面上的应用,给出了重要的实例。     

线段相等的射影几何证法

利用射影几何知识证明两线段相等,有时是很方便的。下面通过一些例子来说明线段相等的射影几何证法。 一、利用交比相等 例1 设M为已知圆的定弦PQ的中点,过M任作两弦AB和CD。 (1)若AD和BC分别交弦PQ于T和     

一般体上的交比

本文主要是在线性流形(F,A)内研究共线四点的交比,因为体F一般是不可换的,所以交比不是对应一个数,而是对应一个数集。同时,讨论了交比的性质和共线任意四个不同点的交比所对应的数集。且对交比概念进行了推广。     

一类近于凸函数子族的研究

函数g（z）〈G（z）,当且仅当存在单位开圆盘E内的解析函数w（z）∈B0,即满足：w（0）=0,｜w（z）｜〈1,使得g（z）=G（w（z））（z∈E）,设P[A,B]={p（z）：p（0）=1,p（z）在E内解析且满足p（z）〈1＋Az/1＋Bz,-1≤B〈A≤1,一个函数g（z）∈C[A,B]当且仅当（zg＇（z））＇/g＇（z）〈1＋Az/1＋Az.函数族KB＇[A,B]={f（z）：f（0）=f＇（0）-1=0,f（z）在E内解析g（z）∈C[A,B],且Re{zf＇（z）/g（z）}〉B,-1≤B〈A≤1},这是近于凸函数的一个子集,从而这些函数是单叶的．利用Janowski介绍的函数类P[A,B]的性质,参考Khalida Inayat Noor研究CB＋[A,B]的方法,研究这个函数族系数估计和半径问题,同时讨论KB’[A,B]与其他单叶函数子族的关系．     

＂泵站＂到底该修何处

1问题 （参见人教版《义务教育课程标准实验教科书》八年级上册第42页）要在燃气管道L上修一个泵站,分别向A、B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用输气管道最短？教材所给的解答为：用A、B两点表示A、B两镇,用直线L表示管道L。作B关于L的对称点B＇,连A＇B交L于C,则C为水泵站的修建点。     

几个初等几何命题的高等几何背景追踪

高等几何与初等几何之间有着十分密切的关系．在高等几何背景下（如完全四点形定理，共线四点的调和共轭，仿射不变量、配极原则、Brianchon定理、二阶曲线的射影理论等）可以编制出很多初等平面几何题．研究这个问题可以提高我们在高等几何观念下审视初等几何问题的能力．     

西姆松定理的推广

西坶松定理是:如(图1)所示,三角形ABC是一圆的内接三角形,P是圆上任意一点,过P点分别向边AB,BC,CA,作垂线,垂足分别是A1,B1,C1,则顺次连接A1,B1,C1,可得到A1,B1,C1三点共线。     

Pascal定理的应用

Pascal定理是高等几何的一个重要定理,是研究二次曲线的一个有力工具.本文利用Pascal定理证明Brianch定理及Desargues定理,以及探讨了Pascal定理在几何作图和共线点等一些问题上的应用。     

谈谈代沙格定理及其逆定理的应用

代沙格定理:若两个三点形对应顶点的连线共点,则其对应边的交点共线。 逆定理:若两个三点形对应边的交点共线,则其对应顶点的连线共点。 这两个定理是高等几何的重要定理之一,在证明共线点或共点线问题时,显得尤其有效,但在应用时容易出错。究其原因有二,一是难以确定对应的三点形,二是两个三点形的对应边和对应顶点容易弄错,使得证明     

关于有限群的一个公式的又一证明

设A,B是G的任意两个子群,证明下面等式成立:|AB|=|A||B|/|A∩B|一般书中证明此公式都较繁,我们提出一种简单证明如下:证明 令C=AB设C在A中的左陪集的代表系为V_1={x_1,x_2,…,x_m};C在B中的右陪集代表系为     

巧用平移抛物线妙解二次函数题

二次函数类题是初三数学的重要内容，常在中考试题中出现。它往往涉及到一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系、解方程或不等式等知识，计算繁琐，但其中某些问题可利用平移抛物线的方法巧妙求解。解这类问题的依据是：把抛物线左右平移，它的顶点纵坐标不变，它在X轴上截得的线段长不变；把抛物线上下平移，它的对称轴不变。现举例如下：例1已知抛物线y＝x2＋2（m－1）x＋2m－3（1）如果抛物线与X轴的负半轴有两个不同的交点，求m的取值范围；（2）设（1）题中的抛物线与X轴的两点交点为A、B，顶点为C，如果经过A、B、C三点的圆的…     

条件概率P（I/（A∩B∩C））上界的一个估计

设抽样空间为U,A,B,C是随机事件,I和I’是一对互补随机事件.故有下面的结果：如果π1＇（A,B,C）＞π1（A,B,C）＞0,那么P（I/（A ∩ B ∩ C）） ＜ P（I）/P（l＇） · P（A/I）/P（A/I＇） · P（B/I）/P（B/I＇） · P（C/I）/P（C/I＇）当P（I/（A ∩ B ∩ C））的上界是很小的正数时,且A,B,C这些因子同时发生时,可预测I’将要发生.     

—积的几何解释

设f属于C0(I)是个单峰函数，若K（f)=AC*B，则存在闭子区间，J包含I使得（fA 1)J：J→J是个单峰函数（当AC为偶时）或反单峰函数（当AC为奇时），且K((A 1)J=B,从而得到－积的几何解释。