特征函数连续定理及Bochner-Khinchin定理的简单初等证明

一、引言如所周知,特征函数的连续定理是独立和弱极限理论的基石,而Bochner-Khinchin 定理又是平稳过程理论的出发点——相关谱表示定理的证明中所必不可少的.但它们的证明似乎还没有初等到微积分的水平,起码要用Helly 的选择定理.这里给的证明也许是第一个不使用Helly 选择定理的微积分水平的初等证明.而且这里的证明简洁。但因     

积分中值定理的推广及其应用

本文将积分中值定理推广到曲线积分和曲面积分上,得到了相应的曲线积分和曲面积分的中值定理,并给出了证明,最后列举了应用。     

曲线积分与曲面积分计算公式的新证明

曲线积分与曲面积分的计算公式,其证明一般比较复杂。本文的目的,是简化它们的证明。首先,本文将把定积分和二重积分分别加以推广,利用一致连续性给出它们的两个新的表达式,即定理1、定理2。然后应用定理1证明第一型和第二型曲线积分的计算公式;应用定理2证明第一型曲面积分的计算公式。     

积分中值定理的推广及其应用

本文将积分中值定理推广曲线积分和典面积分上，得到了相应的曲线积分和曲面积分的中值定理，并给出了证明，最后列举了应用。     

j不变量生成 Hilbert 类域的简单证明

Silverman证明了如下定理：设K是一个虚二次域,E是定义在复数域上的一条带复乘的椭圆曲线,其自同态环为 OK ,则K的Hilbert类域等于K(j),其中j是椭圆曲线E的j不变量。本文给出了该定理的一个简单证明。     

关于联结集合的一个定理

关于联结拓朴空间上的联结点集,有下面这样一个定理: 定理(*)假定A是联结拓朴空间T上的联结点集,那么,对T—A的每个成分θ,T—θ联结。 这定理的逆一般当然不成立,例如文末举的例子。不过,这里要在单黏连(unico-herent)的局部联结的尺度空间上证明这定理的逆定理。     

Riesz表示定理的推广形式

常见的Riesz表示定理的证明方法是通过在f的零空间的正交补中,构造满足表示定理公式的向量.这里给出著名的Riesz表示定理的一种推广形式,并尝试从不同的角度给出Riesz表示定理的不同证明方法.利用几何测度论的知识给出了一个直接的证明.     

射影变换下的蝴蝶定理

研究射影变换下的蝴蝶定理并加以证明．改变射影平面上蝴蝶定理中相应弦所在直线的位置、去掉条件“M为弦PQ中点”、考虑退化的二阶曲线等情形，得到在射影平面上蝴蝶定理的若干推论．在欧氏平面上运用类比法，得出蝴蝶定理在初等几何中的若干推论，并给出简洁证明．     

关于变态二阶曲线的两个定理

本文用通俗的方法,给出了下面两个结果的证明: 定理1 变态二阶曲线要么表示二实直线(包括二者重合的情况),要么表示二共轭虚直线。定理2 若二阶曲线包含复射影平面上共线的三点,则为变态二阶曲线。     

关于封闭曲线的切线象

W.Fenchel曾证明,封闭空间曲线的切线象的长不小于2π。本文证明的下列定理是Fenchel定理的推广,定理,议c’是空间封闭曲线c的切线象,则必存在一个内接于c’的球面内接n边形p(n≤5),p的长不小于2π。     

二阶曲线上的蝴蝶定理及其有关问题

将圆上的蝴蝶定理推广到二阶曲线上 ,并给出解几“名题”一种简易的证明方法     

二阶曲线上的蝴蝶定理及其有关问题

将圆上的蝴蝶定理推广到二阶曲线上，并给出解几“名题”一种简易的证明方法。     

“形”“数”结合法论证微分中值定理中两辅助函数

我们知道,微分学中关于一元函数的三个中值定理指的是罗尔定理,拉格朗日定理和柯西定理。罗尔定理是证明拉格朗日定理与柯西定理的予备定理。一般地,都是以罗尔定理为基础,通过引进适合罗尔定理条件的辅助函数,便能证明拉格朗日定理与柯西定理。而辅助函数的给出,往往不好理解,不容易掌握。在这里,本文首先应用“静”“动”辩证原理与“形”“数”结合法,形象直观地证明两辅助函数,然后分析研究它们之间的关系,作出的辅助函数必须满足三要素。     

哥西型积分各阶可导的一个简明证法及推广

设C由有限条逐段光滑曲线C (i=1,2,…,n) 所构成,(?)(S)在C上连续,至多在C上有有限个第一类间断点,则(?)称为哥两型积分。在解析函数各阶可导的证明以及圆内狄里赫莱问题的解的证明中都用到它。若C为一条逐段光滑曲线,(?)(S)在C上连续,在一般复变函数教科书中都谈到它存在任意阶导数,且为(?)即相当于在积分号下对Z求n阶导数。此定理的直接证明可见〔1〕,但此法以估计为主,比较麻烦,在一般书中此定理都不给予证明,本文修改介绍〔2〕给出的一个证法,此法充分发挥归纳法的作用,且本文不用含参变量复积分的知识,因为这个内容在基础课中是没有的,并他证明更为简明一些,以供     

论曲线的全曲率(Ⅰ)

§1.引言设c为一曲线,其曲率记作k,则积分为c的全曲率。关于封闭曲线的全曲率,曾为Fenchel,(1928)Liebmann,(1929)白正国(1955、1956)等人研究过。最近作者获得关于一般曲线全曲率的一个定理。(即本文中的定理1。)从它不但可以推出前述各人关于封闭曲线全曲率的主要结果,且可推出其它定理。(这些定理作者曾以另法证明过。)本文目的即述此定理的证明及其应用。     

关于Schwarz定理的一个注记

令C是一个以R为半径且通过A,B两点的圆;C_1是劣弧(?),C_2是优弧(?). 设S是连接A,B且曲率小于1/R的所有曲线组成的集合,H.A.Schwarz曾证明,S中的曲线的长或大于C_2的长,或者小于C_1的长,在本文中我们证明下列定理:定理1 S中的曲线的直径或者大于2R,或者等于(?).定理2 S中的曲线的全曲率或者大于π,或者小于C_1的全曲率.     

齐次Sobolev空间和齐次Besov空间的一些注记

Sobolev空间和Besov空间在偏微分的学习中占有重要地位,与其对应的齐次空间知识的应用也逐渐得到重视.在这里研究齐次Sobolev空间内的主要定理以及齐次Besov空间等价定义.就齐次Besov空间的等价定义给出具体证明过程;对于齐次Sobolev空间中给出的一些定理,利用环上分解的方法做出详细的证明.这些定理以及相关的证明方法对偏微分方程以及其他研究都有很大意义.     

Cauchy型积分导数公式的一个证明

在本文中,我们给出哥西型积分导数公式的另一个证明. 定理设C是一条逐段光滑曲线,φ(Z)在C上连续,若定义     

关于平面代数曲线切线定理的证明

求曲线上一点的切线,关键在于计算曲线在该点的斜率,这一问题在微分学里已经解决,但对于曲线上的奇异点,一般不予讨论,在某些微分几何著作中,论述在 n 重奇异点处求切线斜率的原则,但随着 n 的增大求解的困难也更大,应用本定理的结果,对处理平面代数曲线在奇异点的切线问题就比较简便,本文对此定理给出自己一种证明。若 F(x,y)是关于 x,y 的多项式,则     

关於似收斂定理的一个初等証明

我们知道极大完满域的概念可以通过似收敛来描述,即一个赋值域K是极大完满的充要条件是于其中任一似收敛叙列有似极限,在这里比较重要的一点是需要知道本文所论的那个定理.关于这个定理是由Ostrowski所首先提出并给以证明,不过在其证明中用到了赋值开拓的概念.本文目的是不借助于赋值开拓来证明这个定理.