分数阶扩散方程的一种新的高阶数值方法

研究了分数阶扩散方程具有初边值问题的数值解法.基于Riemann-Liouville分散阶导数的定义,直接对该方程采取积分离散,利用四阶紧致有限差分算子对空间二阶导数近似,得到此方程的高阶隐式格式.证明了该格式是唯一可解的,并采用Fourier方法证明了该隐式格式是无条件稳定的.进一步,利用线性插值的方法提高了格式的误差阶,从所给的数值结果可以看出,改进后的格式的误差阶可达到O(γ2+h4).     

时间分数阶扩散方程的三次样条差分格式

提出求解时间分数阶扩散方程的三次样条差分格式,证明该格式是无条件稳定的,其局部截断误差阶为O(Δt+Δx2)。该分数阶扩散方程是将一般的扩散方程中的时间一阶导数用α(0<α<1)阶导数代替所得到的。数值算例表明三次样条差分格式是有效的。     

分数阶反应-子扩散方程的高阶隐式差分格式及其稳定性分析

针对一类带初边值条件的分数阶反应-子扩散方程,构造了一种新的高阶隐式差分格式,其局部截断误差为O(τ1+γ+ τγh4).并对格式的可解性做了分析.利用Fourier方法证明了格式的无条件稳定性.最后通过做数值算例去验证理论分析是有效可靠的.从所给的数值结果可以得出,该格式具有非常高的精度.     

时间分数阶慢扩散方程的谱方法

用加权移位的三阶Grünwald差分(WSGD)算子逼近时间分数阶导数,空间方向上采用Legendre谱方法,对时间分数阶慢扩散方程构造了全离散格式。用能量方法证明格式的稳定性,用误差估计方法证明格式的收敛性,得到收敛阶为O(τ3+N-m)。数值实验验证了算法的有效性和理论结果的正确性。     

再生核空间中时间分数阶扩散方程的数值解法

提出一种简单的求解时间分数阶扩散方程的新方法,数值结果表明该方法是有效的.     

一类Riesz空间分数阶时滞扩散微分方程的隐-显差分格式

通过对一类含有非线性时滞项的Riesz分数阶扩散微分方程的线性项采用隐式差分格式离散,对含有时滞非线性项采用显式差分格式离散,构造了求解该问题的隐-显差分格式.并证明了方法是收敛和稳定的.最后还利用外推技巧提高了方法的收敛阶,若干的数值结果也验证了本文的理论结果.     

数值求解时间分数阶扩散方程源项反问题

考虑一类时间分数阶扩散方程只与空间变量有关的源项反问题,分析源项反问题的不适定性,将源项反问题转为优化问题,构造出直接求解反问题的反演方法。数值算例表明,该反演算法是比较稳定的。     

基于短记忆原理的分数阶系统时域子空间辨识

针对多变量分数阶系统提出一种基于短记忆原理的时域子空间辨识算法. 该算法能够有效辨识多变量分数阶系统的系数矩阵和分数阶微分阶次. 利用Poisson 矩函数对输入输出信号进行滤波预处理,构造了子空间方法的输入输出矩阵. 通过代价函数将分数阶微分阶次辨识转化为参数寻优问题. 利用分数阶微分的短记忆原理,将分数阶微分阶次和输入输出数据矩阵进行分离,避免了输入输出信号的分数阶微分计算过程. 数值仿真对算法的有效性进行了验证.     

N-S方程的完全四阶紧致差分格式

基于极坐标系下稳态不可压缩黏性流动的Navier-Stokes(N-S)方程,建立了完全四阶精度紧致差分格式,并对圆柱绕流问题进行了数值模拟分析.研究结果表明,该数值格式能够清楚地模拟出圆柱绕流流场特征,可以看到有2个对称且方向相反的旋涡在圆柱形桥墩后方形成.     

时间分数阶色散方程的有限差分方法

提出求解时间分数阶色散方程的一类隐式差分格式,并证明其无条件稳定性和收敛性,收敛阶为O(τ+h2).该分数阶色散方程是将一般的色散方程中的时间一阶导数用α(0＜α＜1)阶导数代替所得到的.数值算例表明本方法是有效的.     

分数阶多点边值问题的再生核数值方法

提出一种新的再生核数值方法解决分数阶多点边值问题.该方法的主要思想是通过移位Jacboi多项式建立满足多点边界条件的再生核空间.基于新的再生核空间的性质,结合配置法获得分数阶多点边值问题的近似解,并给出了该方法的误差估计.数值结果表明本文方法的有效性.     

非线性分数阶微分方程的同伦分析解法

针对非线性分数阶微分方程的求解问题,提出一种利用同伦分析法(HAM)的近似求解方法 .首先,合理选择辅助参数构建同伦方程.然后,通过构建零阶形变方程和高阶形变方程将原问题分解为多个线性问题,并分别求解.最后,获得在较大范围内收敛的级数解析解.数值实验表明该方法能够有效地求解非线性分数阶微分方程.     

一种基于阶次转换的分数阶微分方程近似解法

基于Caputo分数微分和Riemann-Liouville分数微分的理论,通过阶次转换,将高阶分数阶微分方程转换成经典的整数阶微分方程,继而进行近似求解.数值实验结果表明了该方法的有效性.     

一类分数阶最优控制问题的高精度数值方法研究（英文）

研究了一类具有二次型性能指标的分数阶线性系统最优控制问题的高精度数值方法.首先通过分数阶变分法导出了相应的最优条件和分数阶汉密尔顿系统,然后利用正则分数阶Sturm-Liouville问题的特征函数—分数次雅可比多项式和泛函极值的存在条件,对这类分数阶最优控制问题进行了数值求解,并分析了分数阶变分的收敛性.最后给出了数值算例,验证了方法具有高精度.     

带奇异位势与不连续非线性项的分数阶薛定谔方程多解的存在性

本文研究具有奇异位势和有界不连续的非线性项的分数阶薛定谔方程。首次证明了径向分数阶Sobolev空间到加权空间L~1(R~N,Q)中一个新的紧嵌入定理,并利用非光滑临界点理论证明了该方程多解的存在性。     

Camassa-Holm方程的多辛Fourier拟谱格式

对满足周期边界条件的Camassa-Holm(CH)方程,基于其多辛方程组的形式,空间方向用Fourier拟谱方法,时间方向用中点隐式辛格式进行离散,得到了CH方程的多辛Fourier拟谱格式及其离散的多辛守恒律.数值实验验证了所构造格式的有效性与长期数值稳定性.     

利用变分迭代法求Riesz分数阶偏微分方程近似解

变分迭代法是一种有效的求解分数阶偏微分方程的迭代方式。将其应用到求解Riesz分数阶偏微分方程中,给出Riesz分数阶偏微分方程相应的修正泛函方程,对修正泛函方程进行求解;确定拉格朗日乘子,给出初值,通过迭代即可求出方程的解。与其他方法相比,变分迭代法不需要进行变换和数值逼近,计算更加简洁。     

Cahn-Hilliard方程的拟谱逼近的长时间性态

Cahn-Hilliard方程是多年来被广泛关注的热点问题,也以各种方法给出了该方程解的存在性和唯一性等.但在该方程的拟谱逼近中,一般都对相关因子给出了特别的约束.给出了该方程无特别约束条件的半离散显格式及全离散隐格式的Fourier拟谱格式,并证明了该格式全局吸引子的存在性,解的长时间存在性和稳定性,并给出了格式的最优阶误差估计.     

具有修正Leslie-Gower型的分数阶捕食者-食饵系统的动力学分析

讨论了一类具有修正Leslie-Gower型的分数阶捕食者-食饵系统.利用分数阶微分系统的稳定性理论,给出了该系统在平衡点稳定的条件,并对所有平衡点的稳定性进行了讨论.同时,对正平衡点附近的轨线进行了数值模拟.     

一类奇异摄动对流扩散边值问题的移动网格方法

考虑一类非守恒形式的对流扩散边值问题，为了对其数值求解，采用移动网格方法，使用了两种迎风差分格式（一般迎风格式和中点迎风格式），采用的网格有（N 1）个节点并初始化为均匀网格，其节点采用一种迭代算法来自适应移动，该算法等分布分片线性数值解函数弧长，用数值试验证实了该方法产生的数值解是关于摄动参数ε-阶一致收敛的，从而表明了方法的精确性。