莫德尔猜想解决了

数学家们为一个著名的重要猜想出人意外的获得了证明而欢欣鼓舞。数学中一个悬而未决的问题——这个问题已经困扰了研究者们六十多年——最近被一位年轻的德国数学家所解决。“可以毫不夸张地说,至少在数论中,这是这个世纪的定理。它回答了似乎绝对不可能回答的问题,”芝加哥大学的斯潘塞·布洛克(Spencer Bloch)评论道。     

数学理论的评价标准

数学是一门理性科学,弄清数学理论评价的标准对弄清其它理论自然科学的评价机制有一定的意义。本文首先对历史上数学家对单个理论的评价标准作了考察,揭示了数学理论评价标准的演化过程和各个历史时期数学家在评价数学理论时所持的具体不同的标准。其次,作者认为历史上数学家往往只是谈论单个理论的评价问题,而实际上他们在评价理论时,常常要涉及到理论系列的评价问题,本文分“同一层次”和“不同层次”的理论系列二种情况,具体分析了数学家在这种理论系列评价时所持的标准。再次,作者认为历史上的数学家往往言明自己只持一种评价标准,而实际上他们在评价理论时,常常要辅以其他几种标准综合考虑。作者在上述工作的基础上最后从系统论的观点出发提出了数学理论的“结构—功能”综合评价标准的框架,认为自古以来数学家在评价一个数学理论时往往要从数学理论系统的结构和功能二个方面着手综合考察,然后作出判断。在这个过程中,数学家既要考虑到单个理论的本身,又要考虑到与其他理论系列的比较;既要考虑到数学理论的基础(即结构问题)又要考虑到它解决数学问题的能力(即功能问题)。     

“硬问题”就一定硬吗?

数学家们曾开玩笑说,若要长生不死有一个办法,就是找到这样一个问题,它极其重要,重要到你不解决它就不能够死,然后你就把它束之高阁,不去解决它。在计算复杂性理论的领域中,多项式分层结构问题好象正合那些想永远不死的人的意。它很困难——是那样地难,以至于就象美国电话电报公司贝尔实验室的罗纳尔德·格雷汉(Rouald Graham)形容的一样,“多     

h有界与具无限时滞的泛函微分方程的周期解

由于具无限时滞的泛函微分方程在理论上的重要性及其广泛的实际背景,在过去的十年中,它已成为数学家们所重视的一个领域。尤其是关于它的周期解理论在近期更是人们关心的问题(例如见文献[1—4])。与有限时滞方程相比,具无限时滞的方程有较大的难度,这首先是由于要建立定义于(-∞,0]的函数的空间,这时,通常的上确界模已不便使用。为了解决     

当今数学界最重要的问题是什么?

很多数学家都会说,他们正在致力于解决的课题是当今最重要的数学问题。但在这些尚未解决的问题中,有一个却显得卓尔不群,那就是著名的黎曼猜想。黎曼猜想自1859年由德国数学家弗里德里克·黎曼(FriedrichB.Riemann )提出以来,一直困惑着数学家。最近,随着数学家们开始以物理学的观点来思考这个问题,证明黎曼猜想的努力达到了新的高潮。黎曼猜想是黎曼在数论领域(数论是研究整数的数学分支)的唯一涉足。它阐述了一些关于素数的深刻理论。像2 ,3 ,5和7那样除了1和它本身以外再没有别的因子的数,似乎在数轴上毫无规律地出现。欧几里德证明了…     

前五千万个素数

今天我想同各位谈一个问题,这个问题虽然我本人没有从事研究,但却十分神往。从古至今,许多数学家也为之着迷——这就是素数分布问题。你们一定都知道素数是什么:它是大于1而又只能被1整除的自然数。至少数论学家们是这样定义的。不过有时别的数学家也采用另外的定义,例如,函数论学家说素数是解析函数     

用较少变量函数的叠合逼近多变量函数

近年来,用一个固定函数的复合来逼近多元连续函数问题引起了工程师及数学家的广泛的兴趣,因为它是神经网络及小波分析中的一个根本问题。在以往的一系列文章中我们讨论了一个一元函数的复合对多元函数的逼近。本文将讨论一个s元函数的复合对     

四维空间的奥秘

物理学总是为数学家们提供问题。物理学家是实用主义者,他们的首要兴趣是在理论的物理意义而不在它们的严格证明上。这些有待完成的证明成为数学家们的好问题的一个传统来源。这也引起了小小的争执:一些心怀偏狭的数学家斥物理学家们粗枝大叶,同时,一些心怀偏狭的物理学家抱怨数学家们在无物理意义的琐细问题上吹毛求疵。其他的人认识到这两门学科虽有不同,却是相容的,客观的,可以互相学到不     

复杂度理论中某些不可证明的真命题

在复杂度理论研究中,上界不断被改进,但下界的研究却迟迟没有重要进展。对于任何一个NP完全性问题,现有最好的算法也需要指数的时间,但数学家们费尽九牛二虎之力也只能证出一个线性时间的下界。这使我们想到:复杂度理论中的许多真命题是不可证明的。但如果只是并行于Gdel的不完全性定理,得出一些诸如:“下界是2。但不可证”的结论,仍不能说明真实下界与理论下界之间的巨大差距。我们得到了下面的结果:定理1设,f(n)≥n是任一时间可构造的函数(例如2~2~m),A是一个可以用谓词P(c)表示“程序c的时间复杂度t(n)不会低于一个常数”的公     

彭加勒的数学哲学思想

昂利·彭加勒(Henri Poinaré,1854—1912)是一位“无比伦比的数学家、敏锐的物理学家和思想深刻的哲学家”(G.达布的评价)。M.克莱因在谈到这位法国科学家的数学成就和影响时说:“彭加勒被认为是19世纪最后1/4和本世纪初期的领袖数学家,并且是对数学和它的应用具有全面知识的最后一个人”。的确,彭加勒在函数论、代数拓扑学、阿贝尔函数和代数几何学、数论、代数学、微分方程、非欧几何、渐近级数、概率论等数学分支都有开创性的贡献,当代数学的不少领域都溯源于他。不仅如此,他对数学基础和数学哲学问题也兴味盎然,发表了许多富有启发性的见解,本文拟对此作一简要评介。     

以中国人命名的数学成果

在数学王国中,有些研究成果是以中国人命名的,其中著名的有：华氏定理数学大师华罗庚关于完整三角和方面的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”;另外他与数学家王元提出的多重积分近似计算方法在国愿上被誉为、“华—王方法”。苏氏锥面数学大师苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为“苏氏锥面”。熊氏无穷级数学家熊庆来关于整函数与无穷级的亚纯函数的研究成果被国外学者誉为“熊氏无穷级”。吴氏方法数学家吴文俊关于几何定理机器证明的方法被国际上誉为“吴氏方法”。柯氏定理数学家柯召关于卡特兰问题的研究成果…     

泛函微分方程分支理论发展概况

分支(bifurcation)是动力系统理论的一个很重要的问题,它反映流的拓扑结构随参数的变化而引起的质的变异,不论在数学理论上或实际应用上都有较大的意义。因此它一直受到数学家们的关注,在某些方面甚至可以追溯到Poincare时代。近半个世纪来,对分支的研究已有了很大的进展。但最主要的工作还集中于由常微分方程(下文简记为ODE)所确定的连续动力系统的分支上,特别是集中于平面上退化程度不高的分支上,至于对泛函微分方程(下文简记为FDE)的分支的研究,则相对开始较晚,在广度及深度上也都不如ODE,亟待人们去探讨。本文将极扼要地介绍FDE的分支理论的发展过程及现状,希望能为推动这方面的研究提供一点线索。     

几何学家统一几何空间概念

怎样才能知道我们生存的空间是弯曲的,还是平直的;又为什么说咖啡杯象一个面包圈而不象一个网球?数学家们发现这些问题不是如他们以前所认为的那样互不相关,这些问题的解答为我们展开了新的研究领域。     

一个古老猜想的意外证明

一位美国数学家宣称解决了一个著名的猜想,但是他不得不到苏联去取得发言权。一个难住了最优秀的研究者们近七十年的数学猜想现在被路易斯·德布兰吉斯(Lotlis de Bran-卯s)解决了,而这位数学家却被活跃的学术界几乎排除在外。这个猜想称为比勃巴赫猜想,它曾被认为是极其难似证明的,以至     

希望有較多的数学工作者研究多复变数函数論

本文是希望引起較多的同志,特别是年青的数学工作者,对这门学科的注意而作的。多复变数函数論是一个有相当历史的,同时也是非常年青的学科。說它有相当历史,因为历史上研究单复变数函数論的著名数学家,差不多都同时研究过多复变数函数;說它非常年青,因为它一直发展的非常緩慢,直到二十世記三十年代才有較多的数学工作者研究它,到五十年代才显示出它的丰富多采的生命力与远大发展的前途。原因是多复变数函数論研究的問題是此較复杂困难的,只有在其他近代的数学(如代数、拓扑、泛函等)已发展有了一定的基础上,这些問题才有着手研究的可能。     

百年之久的一个数学难题已被解决

一个令人难以兰信的间接证明解决了一个老问题,并且把似乎毫无联系的两个数学领域联系起来了已经向数学家们挑战了一百多年的一个著名数论难题现在已被解决。这个问题涉及数系族,它的证明中令人惊奇而意义重大的地方是,证明过程运用了椭圆曲线,这是完全不同的另外一种数学研究对象。总之,这个问题的解可能是把椭圆曲线的分析和这些曲线的数论联系起来而迈出的一大步。     

关于希尔伯特第16问题——我国数学工作者的新贡献

1900年,著名数学家希尔伯特在国际数学家大会上提出了23个未解决的问题.八十年来的数学发展表明,这些问题的提出是有巨大影响的.时至今日,这23个问题中有的已圆满解决,有的则取得了很大进展.唯独第16问题的问津者不多,进展亦不快. 希尔伯特第16问题的后半部分是属于常微分方程定性理论范围的.这个理论中一个主要的研究对象是下面形式的微分方程——二阶定常系统:     

二阶椭圆型方程的解

几何中一类很有意义的问题——指定曲率问题引起了许多从事几何和分析研究的数学家的关注.对一个n维的Riemann流型(M,g),K(x)是M上的一个给定函数,是否存在另一个与g共形的度量 g_1,i.e.g_1=φg,φ>0,且φ是M上的一个连续函数,使在g_1下其曲率为K(x)。     

希尔伯特——现代数学的巨星

“我们必须知道。我们必将知道.”这是上世纪末、本世纪初具有世界影响的德国数学家大卫·希尔伯特(1862～1943)毕生的乐观信念.希尔伯特是一位伟大的数学家,他的成就和他的感人品格,对数学界有着巨大的影响。     

数学的“诺贝尔奖”——阿贝尔奖

数学家们一直为诺贝尔奖项中缺乏数学奖而抱怨。最接近该奖的“菲尔兹奖” (ＦｉｅｌｄｓＭｅｄａｌ)每 4年授予一次 ,名额不到 40个 ,其声势要比诺贝尔奖小得多 ,更不用说奖金的数额了。但出于挪威政府的好意 ,这一切可能都将发生改变。今年 8月 2 3日 ,挪威首相詹斯·斯托尔坦伯格宣布设立一个基金总额达 2亿克朗 (2 2 0 0万美元 )的年度“阿贝尔奖” (ＡｂｅｌＰｒｉｚｅ)用于数学。这一奖金是为纪念挪威著名数学家尼尔斯·亨立克·阿贝尔 (ＮｉｅｌｓＨｅｎｒｉｋＡｂｅｌ) 2 0 0年诞辰而设立的 ,他死于 1 82 9年 ,年仅 2 6岁。奥斯陆大…