用Hadamard矩阵构造线性码

Hadamard矩阵在实验设计、编码、网络、逻辑电路等方面都有广泛的应用,并且通过多种方式可以构造Hadamard矩阵.本文主要利用反对称Hadamard矩阵构造出了一类二元和三元自对偶线性纠错码     

关于由广义Hardmard矩阵构造的码

定义了一种广义Hadamard矩阵，讨论了广义正规Hadamard矩阵的一些特性．利用广义正规Hadamard矩阵构造了一种码，它们是自对偶的双偶码。     

Hadamard矩阵与三元自偶码

研究Hadamard矩阵生成的三元自偶码,从理论上证明了对任意的Hadamard乱阵Hn(n＝2,8,20）,矩阵G＝（In,Hn)都生成极值自偶码,并对Dawson在1985年提出的一个问题给出了否定回答。     

Z8上的自自偶码

求出Ｚ８上码的生四及校验矩阵，并由此得到了Ｚ８上的码为自对偶码的必要条件是其码长为偶数；证明了满足一定条件的一对４元码可以构造出Ｚ８上的自对偶码，并给出了构造８元自对偶码的一个方法。     

Z_8上的自对偶码

求出了Ｚ８上码的生成矩阵及校验矩阵，并由此得到了Ｚ８上的码为自对偶码的必要条件是其码长为偶数；证明了满足一定条件的一对４元码可以构造出Ｚ８上的自对偶码，并给出了构造８元自对偶码的一个方法     

关于Z_8-码的几点研究

研究了Z8-码的重量计数器以及广义的MacWilliams恒等式,同时研究了两个与Z8-码C相关的码C(1)和C(2)的特性,得到了如下结论:若Z8-码C是自正交的,则C(1)和C(2)是自正交的四元码;若Z8-码C是类型为8n2的自对偶码,则C(1)是自对偶四元码。     

关于Hadamard矩阵Kronecker积的构造和正规性

利用矩阵的Kronecker积的性质,构造出任意高阶的Hadamard矩阵,推导出以此构造的Hadamard矩阵的行列式、转置、递阵的计算公式,得出正规的Hadamard矩阵的Kronecker积的正规性结论.     

关于由Paley矩阵构造的码

从n阶Paley矩阵S出发,可以构造一个码C,它含有码字0＝（0,0,…,0）,1＝（1,1,…,1）以及矩阵（S＋I＋J）／2和（－S＋I＋J）的全部行向量,其中n是奇素数的方幂,I和J分别是单位矩阵和全1矩阵,证明了当n＝1（mode4）时,C是（n,2(n 1),(n-1)/2)码;而当n=3(mod4)时,C是（n,2(n 1),(n-3)/2)码。     

关于Hadamard矩阵的若干结果

研究了著名的Ｈａｄａｍａｒｄ猜想,对任一正整数Ｋ,给出了４Ｋ×４Ｋ阶Ｈａｄａｍａｒｄ矩阵存在的一些必要条件。     

五元域上LCD码的构造

基于最优线性码与射影几何理论,针对不同码长最优码的距离特性,研究了低维五元最优LCD码的构造。首先利用删截等方法构造了较小码长的三维和四维最优线性码以及最优LCD码;其次,借助部分已知矩阵和删截等方法构造了较大码长的三维和四维最优线性码以及最优LCD码;最后,利用已知最优LCD码和特殊码长最优自正交码构造了任意大码长的最优LCD码,完全解决了三维和四维最优LCD码的构造问题。这些LCD码的构造方法对于五元高维最优LCD码以及一般域上最优LCD码的研究具有重要的理论指导意义。     

有限域上长为2^m的自正交循环码

设Fq是一个奇数阶有限域。借助有限域上多项式的因式分解确定了Fq上所有长为2^m的自正交循环码的生成多项式及其个数。     

环F_2+uF_2+…+u~kF_2上的自对偶码

文章研究了环F2+uF2+…+ukF2上的自对偶码,给出了其存在的充分必要条件,并定义了环上线性码的高阶挠码,最后考察了F2+uF2+…+ukF2(k≥2)与F2+uF2上自正交码之间的关系。     

四元码链和量子纠错码的构造

研究量子纠错码的构造,并构造出具有较好参数的量子纠错码。首先利用随机搜索的方法,得到一些具有较好参数的短码长自正交码及由这些自正交码所形成的自正交码链;其次根据这些自正交码的对偶码可得到一系列相应参数的L-链;最后通过组合构造方法和得到的这些L-链构造出量子纠错码。得到一些码长n满足20≤n≤36和n=40,45,50,55,60、对偶距离达到5或6的自正交码,并根据这些自正交码和它们的对偶码分别构造出了相应参数的自正交码链及L-链。构造出具有较好参数的量子纠错码,其中码长在20≤n≤30范围内的量子纠错码的参数达到或超过了已知的量子纠错码,码长在31≤n≤36和40≤n≤64范围内的量子纠错码都是新的。     

二元最优自正交［15s+10,4］码的分类

自正交码是一类重要的纠错码,其中的特殊类型——自对偶码一直是研究的重点。研究二元域码长为n=15s 10(s≥0)的四维最优自正交码的特征,并且确定其完整分类。建立了最优[15s 10,4]自正交码的生成矩阵与两个线性方程组之间的联系,将确定最优[15s 10,4]自正交码的问题转化为求解线性方程组的问题。确定出所有最优[15s 10,4]自正交码的生成矩阵,并进一步得到互不等价的最优自正交码的完整分类,给出了互不等价且不含全零坐标的最优[15s 10,4]自正交码的生成矩阵和重量多项式。因此,二元域上最优[15s 10,4]自正交码的参数、结构特征和等价问题得到了完全解决。     

最优二元自正交码

构造一般二元自正交码是经典纠错码和量子纠错码研究的难点。研究基于并置二元循环矩阵的1-生成子拟循环码结构。以向量移位等价、线性码等价以及二元自正交码码字偶重量特点等为基础,设计特殊二元拟循环码结构,构造了28个最优或已知最优二元拟循环自正交码。提出自正交码截短-删除方法,构造出所获得自正交码的62个衍生码。文中的90个二元自正交码与文献[13]中最优或已知最优线性码比较,分别有67和23个二元自正交码是最优和已知最优。构造结果验证2个方法对一般二元自正交码构造的有效性,同时能较好解决量子纠错码构造中具有尽可能大对偶重量自正交码的设计问题。