多项式理论中的标准分解式结构

多项式理论是《高等代数》中重要组成部分,标准分解式是因式分解理论中的重要表现形式,而《高等代数》教材对标准分解式用途和方法很少涉及,本文主要就是讨论一元多项式的标准分解式以及妙用标准分解式定性的解决多项式的整除,最大公因式,互素和最小公倍式等问题.从而在因式分解式结构理论的角度来研究和理解多项式.     

三次单位根的应用

本文通过几个例子介绍了三次单位根在复数计算、证明与多项式整除中的应用。     

具有相同特征值的矩阵的刻画

文章首先给出关于多项式的牛顿恒等式新的证明,利用牛顿恒等式和矩阵的迹的性质,得出两个矩阵具有相同特征值的充分必要条件.     

单位根及其应用

本文阐述了单位根的定义、性质及其在因式分解、解二项方程、证明恒等式等方面的应用。     

环链多项式的性质

主要讨论具有两个分支环链L的几个多项式不变量的微分性质.对环链L的Jones多项式V(L;t)以及在Jones多项式基础上定义的几个L的多项式不变量X(L;t),Φ(L;t)求k阶导数,并研究它们在t=1时的整除性质,即V(k)(L;1),Φ(k)(L;1)和φ(k)(L;1)的整除性质.先将环链L用拆接关系式分解成纽结的形式,然后根据纽结的多项式不变量性质,得到具有两个分支的环链多项式不变量性质,进而得到L的多项式不变量的性质.     

单位根在解一类非线性方程组中的应用

利用单位根在多项式整除。性研究中的应用引伸到解决一类非线性方程组中，使这一类对称方程组的解的问题得到较为满意的结果。     

四元数多项式的因式分解

提出了不可约四元数多项式的概念,并得出了四元数多项式整除的重要性质,最后给出了四元数多项式因式分解的一般形式,为求四元数多项式方程的根提供了理论依据.     

有限域上线性q-相伴多项式及其应用

先探讨利用有限域上线性q-相伴多项式由低次不可约或本原多项式构造高次不可约多项式或本原多项式。其次证明多项式与其线性q-相伴多项式的整除关系等价,通过求次数低的多项式的最大公因式,给出他们的线性q-相伴多项式的最大公因式,比直接求高次数的线性q-相伴多项式的最大公因式大大减少了计算量。     

关于矩阵多项式的一个性质及其应用

本文推导了关于矩阵多项式的一个性质,利用此性质来简化一类矩阵恒等式的证明。     

关于整系数多项式不可约性的思考

整系数多项式的可约性与不可约性是代数学长期以来关注的主要内容.本文主要研究整系数多项式的不可约性.运用分类讨论的方法,给出在整数点有特殊取值的多项式的性质;在此基础上,利用多项式整除的性质及反证法,证明具有特殊取值的多项式不可约性,从而完善了整系数多项式不可约性的理论.     

Hopf环链的Jones多项式的微分性质

利用纽结的Jones多项式的性质来研究由n个平凡纽结按照Hopf环链方式构成的环链的多项式的微分性质。讨论了环链L的Jones多项式V(L;t)以及在Jones多项式基础上定义的几个L的多项式不变量X(L;t),Φ(L;t)的基本性质;求k阶导数,并研究它们在t=1时的整除性质。这些性质的研究将有利于讨论三维流形不变量的性质。     

一类树形图簇的伴随多项式的恒等式及其因式分解

文章通过研究图的伴随多项式的重要恒等式与因式分解,给出了证明色等价图的结构性质.     

最大公因式的求法探讨

一般求多项式f(x)、g(x)的最大公因式d(x)的两种方法是:①将多项式分解为标准分解式。②辗转相除法。第一种方法虽然简单,但标准分解式不易求。第二种方法虽然可行,但在次数较高时,计算工作量太大。这里试图将两种方法结合起来,以求得对某些问解较简便的计算。设f(x)、g(x)是数域P上多项式,d(x)是f(x)、g(x)的最大公因式,则存在u(x)、     

环链的Homfly多项式的微分性质

本文通过Homfly多项式的性质研究了环链的Alexander多项式的微分性质,给出一阶Alexander多项式的刻画,研究了纽结的Homfly多项式的整除性质,证明了纽结的Homfly多项式的K阶偏导数在x=1,y=-1,z=0时能被k!整除.     

三次对称多项式x3+y3+z3-3xyz的因式分解及其应用(Ⅰ)

从三次对称多项式x~3+y~3+z~3-3xyz的因式分解出发,给出这个分解在恒等式证明、代数式简化、3次方程求根等方面的直接应用.     

Sρ(m,n)类图簇的伴随多项式的恒等式及其因式分解

本文通过研究S^ρ（m,n）类图簇的伴随多项式的恒等式和因式分解,给出了证明色等价图的结构性质。     

纽结多项式零点的性质

研究了链环和纽结的Jones多项式性质以及零点分布性质.利用的Jones多项式的某些点取值的性质、微分性质以及三角函数的性质,特别是正弦函数和余弦函数的性质,研究了环面纽结多项式的性质和它们多项式根的性质,同时讨论了单位根的有关性质,讨论了它们之间的内在联系,从而给出某些单位根不是环面纽结多项式的根,证明了当6≤n≤8时,单位根e2p+1/nπi不是环面结Tp,q(其中,(p,q)=1)的琼斯多项式的零点.这些性质的研究将有利于研究整系数多项式与纽结多项式之间的关系.     

关于多项式的根的几个应用

以例题的形式,从以下4个方面对多项式的根的应用进行了探讨:利用多项式的根解决整除问题;利用多项式的根计算行列式;利用多项式的根判断矩阵的正定性;利用多项式的根求循环矩阵的特征值.     

几个重要恒等式的概率法证明

本文通过几个实例说明对一些组合恒等式的证明可以用求概率的方法得到。甚至运用求随机变量的数字特征(如数学期望)加以证明,这就为我们解决组合恒等式证明问题带来了极大的方便。     

Bell多项式矩阵与两类下三角函数矩阵的关系及其应用

应用下三角矩阵分解的统一方法与变量换元得到了Bell多项式矩阵与两类下三角函数矩阵的关系,通过研究其性质及其应用得到了一系列的重要的组合恒等式。