一类图的优美性

本文引进齿顶边星图Ｗｎ（ｍ１，ｍ２，…，ｍｎ）的概念，证明了Ｗｎ（ｍ１，ｍ２，…，ｍｎ）是优美图，而当ｍ１＝ｍ２＝…＝ｍｎ＝Ｋ时，解决了陆书环先生提出的猜想。     

一类优美图

设u、v是两个固定顶点，用b条内部互不相交且长度皆为a的道路连接u、v所得的图用Pa,b表示.K.M.Kathiresan证实P2r,2m-1（r,m毕为任意正整数）是优美的，且猜想：除了（a,b)=(24-1,4m-2）外。所有的Pa,b都是优美的。该文第二作者已证实P2r-1,2m-1是优美的，并且证实了当r≤7时的P2r,2m也是优美的。该文证实r=9时P2r,2m也是优美的。     

图的优美性

本文定义了一类特殊结构的图ωm1,m2,…,mn,证明了当m1,m2,…,mn≡0(mod4)时,ωm1,m2,…,mn是优美图和交错图.它是一类优美图n-C4m=ω4m,4m,…,4m()n个的推广.     

图CnUP4的优美性

证实了圈CnUP4，当n＝12k＋1（k≥5），n＝12k＋3(k≡0，1，5（mod6），且k≥5），n＝12k＋5（k≡1，2（mod4），且k≥5）时的优美性。     

一类新的优美图的构造及其证明

优美图是图论中极为有趣的重要研究课题之一,有着广泛的应用价值和研究前景．讨论了一类新的构造优美图的方法,并且给出了它们都是优美图的严格的数学证明,从而得到了图Gn=TVkn具有优美标号算法并且都是优美图等结论．所给的新的优美标号不同于现有的文献的结果．     

一类图的优美性

设￣／Ｑｎ（ｎ≥３，ｎ∈Ｎ）表示王冠Ｑｎ的回路Ｃｎ上的每相邻顶点之间都加入一个顶点后得到的图，证明了图￣／Ｑｎ都是优美图。     

优美图所有优美标号的生成算法

给出了由n条边生成的所有优美图的所有优美标号的生成算法,并把代数理论和计算机工具引入了优美图的研究.利用该算法,可以根据需要得到优美图及其优美标号.     

图2Cn的优美性

给出二个偶圈的不交并及与圈相关的一类图的优美性及其优美标号。     

双圈图的优美性

针对双圈图, 设计一种图的优美性判定算法, 并对17个点内的所有双圈图进行优美性验证, 得到了该范围内所有的优美图和非优美图. 结果表明, 在17个顶点范围内, 除∞ 型双圈图C_(m,n)外, 其余所有双圈图都是优美的, 其中(m+n)(mod 4)={1,2}. 最后给出该类图的非优美证明, 并进一步猜测当顶点数大于17时, 该结论仍成立.     

k-优美图的性质及图Cn1,n2,…,nt(t)的平衡性

讨论了 k优美图的性质 ,并利用平衡图 H及 k优美图 G给出了构造新的 k优美图—— G∪H及 G( X·∪ni=1 Yi)的方法 ,同时也讨论了图 Cn1 ,n2 ,… ,nt( t)的平衡性 .     

几类并图的优美标号

 对非连通并图的优美性进行了研究,给出了几类非连通的并图,得出了如下结果：对任意的正整数n,m,设s是不超过n/2的最大整数,P_n是n个顶点的路,St(m)是m+1个顶点的星形树,路P₂的补图与路P_n的联图记为A_n,则当n≥2时,A_2n与任意一个具有n-1条边的优美图的并图是一个优美图;当n≥5,m≥s+2时,A_n与星形树St(m)的并图是一个优美图,从而A_n与星形树St(n)的并图是一个优美图;当n≥5时,A_n与任意一条路P_n的并图是一个(n－s)-优美图。     

一类包含优美树的优美图

设T_m是m个顶点的优美树,G_n是n个顶点的空留,证明了联图G_nVT_m是优美图．     

关于不连通优美图及优美图的构造

在本文中,我们称G是不连通图,如果G至少具有两个不是孤立点的分支。迄今为止,许多作者对优美图问题进行了大量的研究,但对不连通图的优美性讨论尚少。本文首先研究不连通图的优美性,给出了几类不连通的优美图,并提出两个猜想。其次讨论优美矩阵,得到了几个有意义的结果。最后给出几类新优美图的构造方法。     

2类包含K4的优美图及其注记

利用计算机为辅助工具,分别给出了2类包含图K4的图K4+Gn+1和K4+Kn,n的优美标号,从而证明了图K4+Gn+1和K4+Kn,n是优美图,并由K4+Kn,n的优美性给出了边数为m的极小优美图的顶点数f(m)的范图是{(1+√8m+1)/2}≤f(m)≤{2(√m+3-1)).     

非连通图2C_(4m)∪G的优美标号

讨论了非连通图2C4m∪G的优美性,给出了非连通图2C4m∪G是优美图的一个充分条件.     

非连通图D_(2,6)∪G的优美标号

讨论了非连通图D2,6∪G的优美性,给出了非连通图D2,6∪G是优美图的一个充分条件,证明了若图G是特征为k且缺k+9标号值的交错图(9≤k+9≤|E(G)|),则非连通图D2,6∪G存在缺k+1和k+6标号值的优美标号.     

带两条悬挂边的回路是优美图

本文研究一个回路任意增加两条悬挂边所得到的图,证明了这类图都是优美图.     

一类单圈图的优美性和平衡性

设L为简单无向图G的一个顶点标号,L称为图G的优美标号,若L满足以下两条：（1）L为G的顶点集V到{0,1,2,…,｜EI｜}的一个单射;（2）由L’（e）=｜L（u）-L（v）｜（其中e=uv）决定的边标号L’是G的边集E到{1,2,…,｜EI｜}的一个双射．进一步,若存在正整数c,使得对每一个uv ∈ E（G）满足L（u）≤c〈L（v）或L（w）≤c〈L（u）,则称L为图G的平衡标号,其中c为平衡特征．主要研究一类单圈图的平衡性并给出相应的平衡标号及其特征．     

非连通图D4∪G的优美标号

讨论了非连通图D4uC的优美性,给出了非连通图D4uG是优美图的3个充分条件。