欧氏空间中闭曲线的切线象

W.Fenchel曾于1928年证明:3维欧氏空间中光滑闭曲线的切线象的长不小于2π在本文中我们证明了下述定理;定理 设c’是n维欧氏空间中分段光滑闭曲线c的切线象,则必存在一个内接于c’的球面m边形(m≤n+1),其长不小于2π.它是Fenchel定理的推广.     

关于分段光滑曲线的扭转

令■是一条分段光滑的平面凸曲线,其角点为A_1,A_2,…,A_n;■是一条分段光滑的空间曲线,其角点为A_1~*,A_2~*,…,A_n~*.假定■=■,∠A_i≥∠A_i~*(i=1,2…,n),■(s)■(s),其中k表示曲线的曲率,s是弧长参数.在本文中我们证明下列定理:定理 ■,当且只当■与■相合同时才■.定理 设■的全曲率至多是π/2,■与■在A的切线的夹角为α,■与■在B的切线的夹角为β,■与■在A~*的切线的夹角为α~*,■与■在B~*的切线的夹角为β~*,则     

论曲线的全曲率(Ⅰ)

§1.引言设c为一曲线,其曲率记作k,则积分为c的全曲率。关于封闭曲线的全曲率,曾为Fenchel,(1928)Liebmann,(1929)白正国(1955、1956)等人研究过。最近作者获得关于一般曲线全曲率的一个定理。(即本文中的定理1。)从它不但可以推出前述各人关于封闭曲线全曲率的主要结果,且可推出其它定理。(这些定理作者曾以另法证明过。)本文目的即述此定理的证明及其应用。     

关于Schwarz定理的一个注记

令C是一个以R为半径且通过A,B两点的圆;C_1是劣弧(?),C_2是优弧(?). 设S是连接A,B且曲率小于1/R的所有曲线组成的集合,H.A.Schwarz曾证明,S中的曲线的长或大于C_2的长,或者小于C_1的长,在本文中我们证明下列定理:定理1 S中的曲线的直径或者大于2R,或者等于(?).定理2 S中的曲线的全曲率或者大于π,或者小于C_1的全曲率.     

R3中紧致凸曲面的等周不等式

∑是R^3中紧致凸曲面,∑上有一定长为L的简单闭曲线C,由C围成的区域D的面积为A,利用△∑r^2=4＋4H（r,n）、散度定理和庞加莱不等式,得等周不等式为L^2≥4πA＋4πp0H0,其中H0=min{Hp,Hp为∑在p点的平均曲率},p0=max{（r,n〉p,（r,n）p为三在p点的支撑函数的值}。     

局部对称空间中的紧致极小子流形

设Nn p(c)为n p维的常曲率空间,Mn为Nn p(c)中的n维紧致极小子流形,Yau得到了一个Simons不等式相对应的结论.本文将常曲率空间的类似问题推广到局部对称空间中,得到了两个主要定理.     

球面中具平行平均曲率向量的子流形的一个整体特征

设Mn是等距嵌入到n+p维球空间Sn+p(1)的n(>2)维紧致子流形,具有平行的非零平均曲率向量且Ricci曲率有正的下界(n-1)c(0相似文献   

关于平面代数曲线切线定理的证明

求曲线上一点的切线,关键在于计算曲线在该点的斜率,这一问题在微分学里已经解决,但对于曲线上的奇异点,一般不予讨论,在某些微分几何著作中,论述在 n 重奇异点处求切线斜率的原则,但随着 n 的增大求解的困难也更大,应用本定理的结果,对处理平面代数曲线在奇异点的切线问题就比较简便,本文对此定理给出自己一种证明。若 F(x,y)是关于 x,y 的多项式,则     

关于π-正则类函数空间的基的研究

定义了π-可分群的主不可分解Bπ’-特征标,推广了群的主不可分解特征标的概念,得到了特征标π-理论的一些重要性质。文中的结果推广了一些著名的定理,例如,将Isaacs证明的主不可分解特征标为p-正则类函数空间的一组基的结论推广到主不可分解Bπ’-特征标为G的π-正则类函数空间的一组基,等。     

复射影空间中拟全实极小子流形

运用活动标架法和Bochner技巧, 研究复射影空间CP^(n+p)/2中拟全实极小子流形曲率与几何特征的关系, 得到了截面曲率和Ricci曲率的刚性定理. 证明了: 若Mⁿ的截面曲率处处不小于(n+3)/2(n+1)或Ricci曲率处处不小于n+1-3p/n+12p/n²(n≥4), 3n/4+2(n≤4), 则p=n,M=RPⁿ.     

O（n）—时间有序树生成算法

以平面上长2π—2的简单、封闭随机行走为编码,构造了n结点有序树的顺序生成和随机生成算法.并证明顺序生成或随机生成任意一棵n结点有序树均是O(n)-时间的。对于有序树的生成来说,简单、封闭的随机行走是最有效的编码.     

常高阶平均曲率子流形的一个余维数约化定理

研究正曲率空间形式Sn+p((c)(c0)中的常高阶平均曲率的n维等距浸入紧致闭子流形Mn,在第二基本型模长平方的一个拼挤条件下,得到了一个子流形余维数降低到一的余维数约化定理。     

关于R^（n＋p）中具有平行中曲率的紧致子流形

本文运用一定的代数技巧,给出了一个较文《殴氏空间中闭子流形的拓扑》中有关定理具有更强几何结论的定理,同时得到了一个关于浸入在S~(n+p)(c)中的n维(n≥2)紧致子流形的几何结论。     

围长不小于r的2圈分布图的最大边数

阶为 n的图 G的圈长分布是序列 ( c1,c2 ,…cn) ,其中 ci 是 G中长为 i的圈的数目 ,图 G的圈长分布满足 c1=c2 =… =cr- 1=0且对 i=r,r 1 ,… ,n有 ci≤ 2 ,∑ni=rci>0 ,则称图 G是围长不小于 r的 2圈分布图 ,用 fr( n,2 )表示阶为 n的围长不小于 r的 2圈分布图的最大可能的边数 .证明了对每个整数 n≥ r 2 ,有fr( n,2 )≥ n 2 k -2 r 2 4n -2 4k2 8k 4r2 -1 2 r 5,其中 k=[( 5 6 0 n 6 0 ( r2 -3 r) 85) / 3 0 ],这里 [x]表示不超过 x的最大整数 .     

De Sitter空间中具有调和曲率的类空超曲面

研究了de Sitter空间中具有调和黎曼曲率张量的紧致类空超曲面,得到了这类超曲面的一个刚性定理:de Sitter空间S1n+1中具有调和黎曼曲率张量且截面曲率非负的紧致类空超曲面全脐或等距于Mn=M1p(c1)×M2n-p(c2),这里c1,c2为常数.     

De Sitter 空间中具有调和曲率的类空超典曲面

研究了de Sitter空间中具有调和黎曼曲率张量的紧致类空超曲面,得到了这类超曲面的一个刚性定理:de Sitter空间S1n+1中具有调和黎曼曲率张量且截面曲率非负的紧致类空超曲面全脐或等距于Mn=M1p(c1)×M2n-p(c2),这里c1,c2为常数.     

Sasaki空间形式~(2n+1)(c)中极小积分子流形的一个Pinching定理

设M是Sasaki空间形式 M2n+1(c)的一个n维极小积分子流形,B是M的第二基本形式, UM UMx是M的单位切丛. M2n+1(c)的积分子流形的最大维数是n,关于第二基本形式模长平方已经得到=∪x∈M了较好的Pinching定理(四川师范大学学报(自然科学版),1999,22(2):158～161).研究函数f(u)=‖B(u,u)‖2,u∈ UM,给出关于第二基本形式的一个Pinching定理.     

二项式系数的James P. Jones问题

研究了Wolstenholme定理的逆命题,证明：若p∈P,2(?)p,2(?)t,n=prt,且t满足1/2pk＜1/2p(k+1),2(?)k,则(2n-1 n)(?)(mod n3),即此时Wolstenholme定理的逆命题成立.     

deSitter空间中完备类空子流形的余维数约化

设M~n为等距浸入到de Sitter空间S_p~(n+p)(c)中的完备类空子流形,平均曲率H有界且具有平行单位平均曲率向量场.如果Mn的第2基本型模长平方S满足S≤n~2-n~(1/2)/nH~2+c/n,证明了该子流形的余维数p可约化为1.     

局部对称空间中关于第二基本形式模长平方的一个刚性定理

设N^n＋p是截面曲率KN满足1／2〈δ≤KN≤1的n＋p维局部对称完备黎曼流形，M^n是N^n＋p的具有平行平均曲率向量的n维紧致子流形，我们讨论这类子流形，得到其关于第二基本形式模长的平方、及余维数减小的刚性定理，将常曲率空间中的类似问题推广到局部对称空间。