关于Mannheim曲线的侣线

在三维欧氏空间中,若一条曲线C的主法线与另一条曲线C~*的付法线重合,则称此曲线C为Mannheim曲线。1872年Mannheim研究了这种曲线,得出了一条曲线C为Mannheim曲线的充要条件是其曲率k.挠率τ满足:k=λ(k~2+τ~2)~[1,2] (λ为常数)。 (1)在本文中将上述曲线C~*称为Menrheim曲线的侣线,简称为Mannheim侣线。在这里首先     

极坐标系中关于曲线r=r(θ)的研究

研究了极坐标系中曲线r =r(θ)的切线、法线、渐近线方程 ,给出了r =r(θ)的单调性、极值、凹凸、拐点的定义和判别法 ,从而解决了《数学分析》中未曾解决的极坐标方程所表示的曲线的作图问题     

平面非闭曲线的凸性

平面简单闭曲线的凸性,许多微分几何书上都有讨论。本文就平面非闭曲线的凸性作一探讨。所讨论的曲线C:r=r(s)(s在某一区间内变化)总假定对弧长s有三阶连续导矢且r≠0;在个别处要求有四阶连续导关;在逗留点s=s。处要求有更高阶的连续导矢,且存在m(m≥3)阶导矢,使r(m)(s_0)≠r(s_0)。所讨论的曲线Frenet公     

欧拉—萨瓦里方程的一般图解方法

如图1所示,若瞬心线(?)和(?)的曲率半径分别为 O_1P=R_1和 O_2P=R_2,共轭曲线 K_1K_1和 K_2K_2的曲率半径分别为 O'_1C=ρ_1和 O'_2C=ρ_2两共轭曲线的切点C 至瞬心 P 的距离 CP=r,及瞬心线的法线 O_1O_2和共轭曲线的法线 O'_1O'_2之产的夹角为     

关于曲面上曲率线的测地曲率

设在曲面∑:(?)=(?)(u、V)上有一点p,经过p点有∑上一条曲线T:u=u(s),v=v(s),(s为T的弧长),T在P点处的单位切矢为(?),∑在P点的单位法矢为(?),并记(?)×α=(?),则(?)、(?)、(?)构成T在P点的一右旋动标三棱形。T在P点的曲率矢在(?)上的投影称为T在P点的法曲率,记为k_n,k_n=k(?)(?),曲率矢k(?)在(?)上的投影称为T在p点测     

关于等宽曲线的讨论

一、等宽曲线的两个充要条件定义平面上简单的严格凸的闭曲线(即卵形线)垂直每个方向都可作两条相互平行的切线,称为这个方向上的最高线和最低线,两切点称为相互对应。定义卵形线称为等宽曲线,如果每个方向上的最高线、最低线之间的距离为常数。全体等宽曲线记为(?)。(注:以下出现的α_1、α_2为曲线在一点的单位切向量和单位法向量,K为曲率。) [1]文已经证明:如γ(s)为卵形线,则若γ(s)为等宽曲线,必有:(α)任两对应点联线     

非正则变距偏置曲线自交点去除算法

为消除最大偏置距离对变距偏置曲线的限制,拓展变距偏置曲线在CAD/CAM中的应用范围,给出了非正则变距偏置曲线中自交点探索和去除算法。算法应用基曲线的法线扫描变距偏置曲线,采用曲线上的点为圆心、偏置距离为半径的圆限制法线的长度范围。该算法可探测并去除非正则变距偏置曲线中的自交区域,实例验证了该算法的有效性。     

空间曲线的一种伴随曲线

讨论一条空间曲线x =x(t)的伴随曲线 :x (t) =γ(t) /x(t)·γ(t) ,证明了 :当原曲线x(t)带非零曲率和挠率时 ,其伴随曲线也带非零曲率和挠率 ;伴随曲线具有对称性。     

三维欧氏空间中的达布曲线

在三维欧氏空间中,经过空间曲线上的一点,且与该点的达布向量平行的直线称为曲线在此点的达布线.如果一条曲线和另一条曲线的点之间建立这样的一一对应关系,使得在对应点的达布线重合,则这2条曲线被称为达布曲线对,其中一条叫做另一条的达布侣线.主要研究了三维欧氏空间中达布曲线对的一些性质,并得到了如下结论：2条曲线的主法线平行的充分必要条件是它们的达布线平行;2条曲线的主法线平行,则它们在对应点的切向量成固定角;2条曲线为达布曲线对的充分必要条件是在对应点它们的从切平面重合.同时研究了三维欧氏空间中一条空间曲线具有达布侣线时它的曲率和挠率需要满足的关系.     

曲线ρ=r+aγ+b∫from n=S_0 to S(βds)的曲率和挠率计算

已知曲线Γ:r=r(s)的基本向量为α,β,γ,曲率和挠率分别为κ,τ,研究了由γ,β和r所作出的曲线Γ-:ρ=r+aγ+b ∫ from n=S_0 to S(βds)的曲率-κ和挠率-τ的计算问题.     

关于曲线ρ=r+aβ+b∫SS0γds的曲率和挠率的计算

已知曲线Γ:r=r(s)的基本向量α、β、γ且曲率和挠率分别为k、τ,研究了由β、γ和r所作出的曲线Γ:ρ=r aβ b∫SS0γds的曲率k和挠率τ的计算问题.     

Said-Ball曲线的降多阶逼近

文章首先给出了Said-Ball曲线的一种降多阶逼近方法,它主要考察了原曲线与降阶曲线之间在最小二乘范数下的距离函数,通过距离函数取最小值,从而得到降阶曲线控制顶点的显式表示式。该方法还考虑了原曲线与降阶曲线在两端点处分别达到(r,s)阶连续的情形(r≥0,s≥0),给出了降阶误差界的估计及数值例子。     

挠曲线的切线曲面的局部性质

本文对空间挠曲线 (c) r-r (s)的切线曲面 r=r (s) +νa (s)的局部性质进行探讨。     

构造曲线族证明二元函数极限不存在

当我们说二元函数极限(?)时,必须明确点p(x,y)在平面上是以任何方式趋于点P_0(a,b),因此,要证明(?)不存在,常可寻找一个经过点P_0的、含参数k的曲线族,使点P沿其中不同的曲线趋于点P_0时,f(p)有不同的极限.例如,在证明(?)不存在时,可用曲线族,y=kx,而在证明(?)不存在时,则用曲线族y=kx~2.我们自然要问:上述曲线族是怎样找出来的?还有没有其他曲线族也满足要求?上述曲线族是最简单的吗?由于微分方程是探求平面曲线的工具,本文就使用微分方程来解决这些问题.当然我们只能在有若干阶连续导数的曲线中讨论.     

用曲线的自然方程研究曲线的性质

§引言一般微分几何教程,用曲线的自然方程来讨论曲线的一些具体性质是不多的。本文用曲线的自然方程讨论曲线一些整体性质。本文只讨论平面曲线,空间曲线在另一文中讨论。先说一下平面曲线论唯一存在定理:已给一个在开区间(a,b),(端点a可以是-∞,b可以是+∞)里的连续函数Kr(s),平面上一点(x_0,y_0)和一个幺矢α_0=icosφ_0+jsinφ_0及s_0∈(a,b),那么存在唯一一条平面有向曲线     

关于曲线ρ=r＋αβ＋b∫s0^sγds的曲率和挠率的计算

已知曲线Г：r=r（s）的基本向量α、β、γ且曲率和挠率分别为k、τ，研究了由β、γ和r所作出的曲线Г^-：ρ=r＋αβ＋b∫s0^sγds的曲率k^-和挠率τ^-的计算问题。     

广义Laplace-Stieltjes变换的(p,q)级

研究了定义在右半平面的一条从原点出发的Jordan曲线上的广义Laplace-Stieltjes变换所表示的整函数F(s)的增长性.首先定义F(s)在圆周|z|=r上的最大模M(r,F)和最大项m(r,F);其次介绍由最大模所表示的(p,q)级;最后经过研究发现了由最大模所表示的(p,q)级与A_n、λ_n(n=1,2,…)所表示的(p,q)级之间的等价关系.     

曲线的主法线曲面

在三维欧氏空间中,作为特殊曲线,Mannheim曲线、Bertrand曲线以及一般螺线具有良好的几何和代数性质.讨论了三维欧氏空间中特殊曲线的主法线曲面.根据渐近曲线的方程,具体给出主法线曲面的一族非直线的渐近曲线.再根据平均曲率、高斯曲率及主曲率函数,能得到曲线的主法线曲面的极小轨迹、常高斯曲率曲线及两个主曲率函数之比为常数的曲线.还给出曲面上测地线和腰曲线的性质.     

空间曲线的副法线曲面

利用活动标架及曲线的理论与性质等研究了曲线的副法线曲面,得到了一些特殊曲线的副法线曲面的特征,特别是确定了这些曲面上的一些特征曲线.根据曲面的平均曲率、高斯曲率及主曲率函数,得到了副法线曲面的极小轨迹和常高斯曲率曲线,以及曲线的挠率中心轨迹在该曲线的副法线曲面上的特殊性质.对Mannheim侣线的副法线曲面进行了研究,结果表明,沿Mannheim曲线的两个主曲率之比为-1;Mannheim曲线是Mannheim侣线的副法线曲面的极小轨迹.     

导线生成的可展曲面

讨论了沿着一条曲线的某些直线族构成可展曲面的条件.主要结果是：(1)以Γ：r=r(s)为导线,以α(s)cos　θ(s)+γ(s)sin θ(s)为母线方向的直纹面可展当且仅当tan θ(s)＝k(s)/τ(s),其中α,γ分别是Γ的单位切向量、副法向量,k,τ分别是Γ的曲率、挠率函数;(2)设Γ是曲面S上的一条曲线,则以Γ为导线,以ε(s)cos θ(s)+n(s)sin θ(s)为母线方向的直纹面可展当且仅当θ(s)=∫ss0τg(s)ds+θ0,其中n(s)是曲面在S处的单位法向量ε=n×α,τg是沿导线Γ的测地挠率.