用Newton切线法求解非线性方程f(x)=0

在初等数学中,我们知道许多类型的方程的解法,可知四次和四次以下的整式方程有一般的解法。方程的根可以用解析式表达,然而,对于五次以上的方程和超越方程,其方程的根都无法用一个式子表示。即使能表示成解析式,往往也很复杂,使用不便。因此,对一般的非线性方程而言,我们往往研究求根的近似值的近似方法。本文就尝试用Newton切线法的思想来研究非线性方程f(x)=0,给出了其近似根的求法。     

时间分数阶电报方程的一种解技巧

提出了求解时间分数阶电报方程的一种计算有效的解技巧.我们考虑了带初边值条件的时间分数阶电报方程的解问题,借助于变量分离技巧和Adomian分解法,得到该问题分别在齐次和非齐次Dirichlet边界条件下的解析解和近似解,它们都可显式地表示成级数形式,从而易于近似数值计算.     

指标方程有特殊根时三阶线性方程的解

用幂级数解法或合成解法解有正则奇点的三阶线性方程,它的指标方程的根之差为整数（包括重根）时,不能求全部解．但已知一个或两个解后,用降阶法可求所缺的解．用合成解法求解有极点的三阶线性方程,当指标方程有二重根时,由非重根得一个解．然后利用降阶法求所缺的解;指标方程有三重根时作变量变换可以求解．笔者解决了这些问题,与文献[1]一起构成了三阶线性方程的完整解法．     

几何学与可积性

可积性的概念来源于常微分方程或偏微分方程和方程组，大致说是可求出用解析形式表示的精确解。对于非线性方程，几乎难以得到，而且对可积性也没有统一精确的定义。20世纪60年代，由于浅水波方程——KdV方程求解的成功引出了一系列可积的非线性方程及方程组，     

分式方程的特殊解法

分式方程的一般解法是:(1)化整:用方程中诸分母的最低公倍式乘方程,而得到整式方程。(2)解整式方程,求得其根。(3)验根:将以上所得到的根分别代入原方程,检验其是否合适:合适者是原方程的根;不适合者是增根,舍去。对于特殊的方程,有着简便的解法。此时如用一般解法,则显得笨拙,麻烦。文[1]中提“约分法”,[2]中提出“部分通分法”。我们也提出几点如下:1)将假分式化成整式与真分式的和,2)利用分解式     

一类非线性微分方程的重正规解法

利用重正规化理论讨论了一类2阶2n+1次非线性奇摄动微分方程,得到解的一致有效表达式.所得结果当n=1时即是相关文献中分别用格林函数方法和逐步近似解法得出的结果.同时将方程推广到更一般的形式,得到所讨论方程小振幅解的表达式,揭示了该方程还具有其它性态的解,且丰富推广了一些相应结论.为讨论相关类型的非线性方程提供了一种简捷有效的方法.     

解非线性方程的常微分方程方法

目的是提出解非线性方程的一类新方法，我们证明了求非线性方程ｆ（ｘ）＝０在某区间内的根ｘ与自变量在［０，１］区间上的某常微分方程初值问题的在该区间右端点的值等价故由常微分方程数值解法可得到方程ｆ（ｘ）＝０在［ａ，ｂ］内的根ｘ的近似值，作为例子中给出了一个新的二阶收敛的迭代公式。     

一类非线性二维奇异积分方程

研究复平面单位圆域内一类非线性二维奇异积分方程的可解性。文中应用泛函分析方法,在某些假设条件下,我们得到了此类非线性方程可解的几个充分条件,同时给出方程的解的表示式。     

一类典型二阶非线性微分方程的近似解析解研究

在非惯性转动参照系中研究力学体系的运动,常常会出现一类分子分母都含非线性项的二阶非线性微分方程,很难求得其近似解.用Adomian分解法研究了这类典型二阶非线性微分方程的近似解,在给定的初始条件和参数下得到了近似解的解析表达式,并作出了近似解析解的解曲线;与直接用Mathematica软件得到的数值解曲线和用同伦渐近法得到的近似解析解曲线进行了比较,结果表明,在第一个1/4周期时间内,用Adomian分解法得到的近似解解曲线与直接用Mathematica软件得到的数值解曲线十分吻合,并且其误差比用同伦渐近法得到的解曲线更小.     

求大挠度板高级变分近似解的一种算法

采用变分法求解薄板大挠度问题的高级近似解时将导致多元三次代数方程组.为了求解这样的非线性代数方程组,本文给出了一元化三次方程迭代解法.这个方法首先对每个方程进行"一元化"处理,然后用一元三次方程根的公式计算近似解,再通过迭代过程求出任意精度的解.文中对受均布荷载作用的周边固定圆板的大挠度问题进行了具体讨论,计算了它的三级变分近似解.数值结果表明,该法是简便可行的.     

非线性非完整系统相对平衡状态流形的稳定性

本文研究非线性非完整系统相对于非惯性系平衡状态流形上的稳定性问题。首先,将非线性非完整系统的相对运动问题当作一个有条件的完整系统问题来处理。其次,当系统存在平衡状态时,用一次近似方程来研究其相应完整系统平衡态流形的稳定性问题;如果一次近似方程是常系数的,其特征方程不可避免地会出现零根,零根的数目等于非完整约束方程的数目与非完整系统平衡状态流形的维数之和;将这些零根简单地去掉,就可据其它根是否有负实部来判断稳定性。最后,举例说明此方法的应用。     

函数方程的一种有效的近似解法—牛顿法

牛顿法,也称切线法,它的基本思想是将非线性方程f(x)=0逐步转化为线性方程来求解.牛顿法应用范围较广,可解代数方程和超越方程,也可解非线性方程组,既可求方程实根,也可求复根;既可求单根,也能求重根.牛顿法程序简单,其在单根附近具有二阶敛速,因此是近似根精确化的一种相当有效的方法.     

爆破拆除高耸建筑定轴倾倒动力方程解析解

文章研究了高耸建筑沿底端塑性铰有根竖直体单向倾倒的动力方程,提出了其角速度解析解和角位移近似解析解,并与数值解比较;剪力墙和框剪结构的近似解析解误差比近似解大,但在工程应用范围内,约小于3%,高烟囱的近似解析解误差较小,约小于2%,由于解析式对初始角限制少,但又受底塑性铰的限制,因此可依据情况灵活应用.     

扁球壳的非线性固有频率

本文用最小作用量原理推导出扁球壳大振幅时的变分方程,继之将协调方程化为两个方程,选取扁球壳中心最大振幅为摄动参数,采用摄动变分法,将非线性方程线性化,对周边固定的扁球壳进行了求解,一次近似得到了扁球壳线性固有频率,二次近似和三次近似得到了扁球壳的非线性固有频率。从本文特征关系式容易给出圆薄板的线性和非线性固有频率,给研究这方面的动力工程问题提供了有价值的参考。     

非线性方程数值解法探究

本文主要介绍非线性方程的数值解法是直接从方程出发,逐步缩小根的存在区间,或逐步将根的近似值精确化,直到满足问题对精度的要求.主要做法有二分法,牛顿法和弦截法等三种方法.     

环支圆板横振特性的一个新的解析解法

该文给出了受任意个同心环支圆板横振特性的一个新的解析解法，将环支反力视为作用于板上的待定外力，在求得板受迫振动的解析解后，由边界条件确定积分常数，利用环支处板位移为零条件决定环支反力，所得频率方程是一阶数等于环支个数的行列式，可数值计算出固有频率，而振型函数用一解析式表示。     

正余弦函数法结合sine-Gordon方程的解求BBM方程的新行波解

为研究BBM方程的解析解法和行波解。首先用试探函数法获得了sine-Gordon方程及约化方程的精确解，然后采用sine-Gordon方程的约化方程和精确解构造了正余弦函数法，最后利用正余弦函数法找到了BBM方程的许多新显式行波解。     

一个强非线性振子的牛顿谐波平衡解

应用牛顿谐波平衡法求解一个具有有理式恢复力的非线性振子的近似频率和近似周期解.这种方法先用牛顿法将非线性方程线性化再用谐波平衡法求解,这样避免直接使用谐波平衡法时需要求解非常复杂的非线性代数方程组.用这种方法可以容易得到高阶近似角频率和近似周期解的显式表达式,这些近似解对小振幅和大振幅的非线性振动问题都有效.当振幅很大时,一阶近似角频率与精确角频率的百分比误差为7.845%,而二阶近似角频率与精确角频率的百分比误差为2.636%.与数值方法给出的"精确"周期解比较,二阶近似解析周期解比一阶近似解析周期解要精确的多.     

论推广的Korteweg-de Vries-Burgers方程

本文提出并研究了一类推广的KdV-burgers方程。首先讨论了它的定性特征:系统的平衡点、平衡点性质、周期解存在性及相迹方程式等,并经数值计算给出了三种情况下的相图。其次,找到了方程精确解的隐式表达。最后,给出了二次、三次及四次近似下的解析解的显式表达。通过讨论看出,在二次近似下,第一类推广的KdV-burgers方程包含有线性波动解;而在三次近似下,除线性波解外,还可能有椭圆余弦波解及孤波。特别,在四次近似下,还会出现Burgers冲击波型式解。     

球面正压大气的Legendre函数解及特征波动数值解正确性的验证

正压大气是最简单的大气模型,它可以讨论高空槽脊等天气系统的许多动力学过程.在非均匀基流的情况下,即使对小扰动的线性方程,由于其方程系数非常数,一般情况下也难求出其解析解,只能依靠数值计算得到数值解.但数值解的正确性是需要验证的.在特殊情况下,将球面正压大气方程组化为连带Legendre方程,解析求出该方程的频散关系和特...