关于正规约数和函数的Graham问题

设n是大于 1且适合s(n) =[n/2 ]的正整数 ,其中s(n)是n的正规约数和函数 ;ω(n)是n的不同素因数的个数 ,p1,p2 ,… ,pω(n) 是n的适合p1相似文献   

关于奇完全数的存在问题

如果正整数n适合δ（n）＝2n，则称n是完全数。w（n）是n的不同素因数的个数。本文证明了：如果n为奇数且w（n）2，则n不是完全数；如果正奇数n有标准分解式，其中p1、p2、…、ps是适合p1＜p2＜…＜ps的素数，a1、a2、…、as是正整数，则当a1＝1时，n不是完全数。     

关于Diophantine方程x~(d(n))+y~(φ(n))=z~(σ(n))

对于正整数n=2tpa11pa22…pakk,这里pi是奇素数,mi是正整数,i=1,2,…,k,2p1p2…pk,t是非负整数.设d(n),φ(n),σ(n)分别表示n的约数函数,Eu ler函数和约数和函数.给出了:n=2和3时,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)正整数解的一般公式;并证明了ai(i=1,2,…,k)中至少有两个为奇数或存在i及奇素数p,使pi≡1(modp)且ai≡-1(modp)两种情形时,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)没有正整数解.     

关于费马大定理（Ⅱ）

证明了方程x~(2p)+y~(2p)=z~2((x,y)=1,P(>3)是素数)如有解,则必有4P~2|x或4P~2|y.对方程x~(2p)+y~2=z~(2p),x~(2p)+y~(2p)=z~p和x~(2p)+y~p=z~(2p)也得到了类似的结果.此外,我们还有以下的结果:(1)设r(N)表示使得方程x~(2n)+y~(2n)=z~2有解的正整数n(≤N)的个数,则r(N)=o(N)(N→∞).(2)如果正整数x,y,z和n满足x~n+y~n=z~n,x2,则必有x~2>nz+n-3.     

关于奇完全数素因数的指标

对于正整数a,设δ(a)是a的所有约数之和。如果正整数n满足δ(n)=2n,则称n是完全数。设n是奇完全数,p是n的素因数,r是p在n的标准分解式中的次数。此时,I(p)=δ(n/p~r)/pr称为奇完全数n的素因数p的指标。设q是奇素数,s是正整数。文中运用初等数论方法证明了:如果I(p)=q~s,则s是适合s≥22的偶数。     

方程x~3+1=3py~2有正整数解的必要条件

对于正整数n,设Q(n)是n的无平方因子部分;设p是适合p≡1(mod 6)的奇素数.运用Petr组的性质证明了:如果方程x3+1=3py2有正整数解(x,y),则p≠Q(3s2-2),p≠Q(12s2+1),且3p≠Q(s2+2),其中s是正整数.     

关于Diophantine方程x3+33m=Dy2

设D是无平方因子正奇数。本文证明了：当D不能被6k l之形素数整除时，如果方程x^3 3^3m=Dy^2有适合gcd(x，y)=1的正整数解(x,y,m)，则D≡3(mod 8)，D的素因数p都满足P≡11(mod 12)，而且D的素因数个数必为奇数。     

关于广义Mersenne 数的素因数

设p是奇素数, a 是大于1的正整数,又设 X ( a, p ) = ( a^p- 1) / ( a- 1) , Y( a, p ) = ( a^p+ 1) / ( a+ 1) ,当 q= 2p+1 是素数时,如果( a/ q )= 1且 qa- 1,则 q 必为X( a, p )的素因数; 如果( a/ q )= - 1 且 qa + 1, 则 q 必为 Y( a, p )的素因数,其中( a/ q)是 Legendre 符号.     

关于Diophantine方程x3+33n=Dy2

设D是无平方因子正整数．证明了：当D不能被形如6k 1之形素数整除时，如果D含有素因数p适合P=5(mod 12)，则方程x^3 3^3n=Dy^2没有适合god(x，y)=1的正整数解(x，y，n)．     

关于Diophantine方程 x3-33m=2Dy2

设D是无平方因子正奇数.证明了:当D不能被6k 1之形素数整除时,如果方程x3?33m=2Dy2有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y,m),则D≡1(mod4),D的素因数p都满足p≡11(mod12),而且D的素因数个数必为偶数.     

一类指数丢番图方程的解数

设 a, b , c, k 是适合 a + b = ck, gcd( a, b) = 1, c∈ { 1, 2, 4} , k > 1且 k 在c = 1或 2 时为奇数的正整数;又设ε= ( a + - b ) / c,ε = ( a - - b ) / c. 证明了:当( a, b, c, k )≠( 1, 7, 4, 2) 或( 3, 5, 4, 2) 时,至多有1 个大于 1的正奇数 n 适合 (εⁿ-εⁿ) / (ε-ε) = 1,而且如此的 n 必为满足n < 1+ ( 2logπ) / log k + 2 563. 43( 1+ ( 21. 96π) / log k )的奇素数.     

关于素数个数的一个不等式

对于正整数x,设π（ｓ）表示适合ｐ≤ｘ的素数p的个数.对于正整数n,设ｆ（ｎ）＝π（ｘ）＋π（２ｘ）＋…＋π（ｎｘ）.证明了：当ｘ≥４且ｎ≥６时,ｆ（ｎ）＞π（ｎ（ｎ＋１）ｘ／２）.     

关于广义Ramanujan-Nagell方程x2+D=4pn的解数

设p是奇素数，D是适合pD的正奇数.证明了：当D≠4pr-1，其中r是正整数时，方程x²+D=4pⁿ至多有1组正整数解(x,n).     

Diophantione方程xd(n)+yd(n)=zφ(n)的本原解

对于正整数ｎ，设ｄ（ｎ）和φ（ｎ）分别是除数的函数和Euler函数，又设ｐ是奇素数.证明了：当ｎ＝１，2，４或ｐ时，方程ｘｄ（ｎ）＋ｙｄ（ｎ）＝ｚφ（ｎ）有无穷多组本原解（ｘ，ｙ，ｚ）；当ｎ≠１，2，４，ｐ或ｐ2时，该方程无本原解（ｘ，ｙ，ｚ）.     

含有一类幂零子群的有限群

令Ｇ是一个有限群，Ｐ是一个固定奇素数．Ｍ＜Ｇ表示Ｍ是Ｇ的真子群．记Ｊ２（Ｇ）＝（Ｍ：Ｍ＜Ｇ，｜Ｇ：Ｍ｜非素数幂，且｜Ｇ：Ｍ｜，＝１｝．本文讨论当Ｊ２（Ｇ）的元皆为幂零群时Ｇ的结构．     

数论函数方程φ（n）=S（n～k）的非平凡解

对于正整数a,设φ（a）和S（a）分别是a的Euler函数和Smarandache函数,k是给定的正整数。本研究运用初等数学方法给出了方程φ（n）=S（nk）有适合n＞1的正整数解n的充要条件。由此推知：如果k=[（pα-1-1）/α],其中p为奇素数,α是大于1的正整数,[（pα-1-1）/α]是（pα-1-1）/α的整数部分,则该方程有正整数解n=pαm适合n＞1,其中m∈{1,2}。     

关于同余式sum from i=1 to k(x_i~2)≡o(mod p)解的个数与二次域Q(p~(1/2))的类数

最近,Takashi Agoh对于素数p≡1(mod 4)给出了计算二次域Q(p~(1/2))的类数h的一个公式,此公式仅依赖Q(p~(1/2))的基本单位∈,素数p以及数α=1+(?)(-1)N_k,其中N_k为同余式x_1~2+…+x_k~2≡0(mod p),1≤x_1相似文献   

关于Chowla猜想

设a、b是给定的非零整数,p是素数,x是p次本原单位根该文证明了:当a>b>0,a是奇数且p>max(30,2alog(2ea))时,a-bx不是平方数