Fresnel积分∫+∞0sinx2dx和∫+∞0cosx2dx的计算

在一般的<高等数学>[4]教材中对于Fresnel积分的计算少有涉及,而在实际问题中,例如在研究光的衍射时,就会遇到Fresnel积分.因其被积函数的原函数不是初等函数,不能用牛顿-莱布尼茨公式来计算其积分值,但我们仍然能够通过其它途径来求其值.本文将给出几种求解Fresnel积分方法.     

泊松积分∫0^＋∞e^—x^2dx的一种算法

本文改变了泊松积分计算必须采用Γ函数的传统算法，给出了一种新的算法．     

运用围道积分计算∫＋∞—∞e^ax^2＋bxdx

用复分析中围道积分计算非正常积分,只在复平面内适当选取积分路径（围线C）和被积函数f(z),就能较好地解决。本文分三种情形探讨计算开∫＋∞－∞eax^2 bxdx的非正常积分。     

浅析广义积分∫a^＋∞f（x）dx收敛的必要条件

广义积分收敛的必要条件具体地说为：若函数f(x)在[a，b]上黎曼可积，则f(x)在[a，b]上有界且几乎处处连续，而当f(x)的无限广义积分收敛时，则f(x)在其广义积分收敛的区域内几乎处处连续但不一定有界。若无穷级数收敛，则其一般项必收敛于0，而当f(x)的无限广义积分收敛时，f(x)却不一定收敛于0(当x趋于无穷大时)，要使f(x)收敛于0(x→∞)，还需附加一定的条件。     

概率积分∫0＋∞-ax2dx=1/2√π/a（a〉0）的几种求法

文章对原概率积分进行研究,将其推广到较为一般的情形,并利用数学中已知的变量代换、含参变量积分、重积分和瓦利斯公式等多种方法对其进行推导和证明,确定推广后的概率积分的合理性．     

运用围道积分计算∫integral from n=-∞ to +∞(e~(ax~2+bx)dx)

用复分析中围道积分计算非正常积分 ,只要在复平面内适当选取积分路径 (围线C)和被积函数 f (z) ,就能较好地解决。本文分三种情形探讨计算形如∫+∞-∞eax2 +bxdx的非正常积分     

求积分∫_0~∞e~(-(x~2/2))dx 及∫_0~∞(sinx/X)dx的“概率论”方法——兼談“正态分布”的一种引进方式

本文主要结果是给出了第一个积分的四种新的解法和第二个积分的一种新的解法。此外,还附带给出了”正态分布”的一种引进方式,它有别于“已知第一个积分的值”而定义“正态分布”的传统引入方式,且同样是可在概率论教学中使用的。     

论证广义积分intergral from 0 to ∞dx/(bx~r c)~(n 1)的通用公式

对于计算广义积分∫_0~( ∞) dx/(bx~r c)~(n 1) (其中n,r为自然数,且r≥2,b>0,c>0)的值,当n,r都较小时,利用复变函数中的留数定理可以较简便地计算出其值.但当n,r都较大时,计算将非常繁锁。因为需要求得方程 bx~r c=0的所有正根α_i,及(1/n!) d~n[(z-α_i)~(n 1)/(bz~r c)~(n 1)]/dz~n 的值,再求和.因此有必要寻求其通用公式。     

泊松积分的几种简便证明

在一般的《高等数学》教材中对于泊松积分的计算少有涉及,而在实际问题中,例如在研究热传导或是概率问题的时候,都会遇到泊松积分。但由于其被积函数的原函数不是初等函数,因此,不能用牛顿-莱布尼茨公式来计算其积分值。而一般证明方法比较繁锁,笔者在此给出泊松积分的几种较为简便的证明方法。     

关于不定积分∫f（x,√x^2-a^2）dx的一点诠释

不定积分∫f（x,√x^2-a^2）dx的不同表达形式来自于不同的积分变换。按习惯，我们严格地给出了此类积分所需变换的逆，得到有利于整理积分表达式的三个等式，同时，用两个实例给出了所论积分的合理表示式。     

三角积分∫dx/sin~nx和∫dx/cos~nx的积分公式

利用分部积分公式 ,结合递推公式 ,得到了三角积分∫ dxsinnx和∫ dxcosnx的积分公式 ,该结果是有一定的理论价值和应用价值 .     

Fresnel型高阶积分的统一表达式

菲涅尔(Fresnel)衍射积分在物理光学、微波技术与天线等多学科领域有着重要的应用.本文采用复分析、伽马函数性质、积分变化等方法对Fresnel型高阶积分进行了求解和计算,证明了一般情况下统一的数学表达式.     

三角积分∫dx／sin^nx和∫dx／cox^nx的积分公式

利用分部积分公式,结合递推公式,得到了三角分∫dx/sin^nx和∫dx/cosnx的积分公式,该结果是有一定的理论价值和应用价值。     

定积分∫xf(x)dx from b to a计算的简化及应用

在高等数学的定积分计算和应用中,常会出现积分模式∫abxf(x)dx,给出其简化计算方法及应用举例.     

含参量定积分np∫10xnf(x)dx和∫10(4)(x,t)f(x)dx的极限问题

针对两类特定型含参量定积分的极限问题.首先,依据函数在某端点的连续性将定义域分割成两部分,并在该端点的局部邻域上建立一个与被积函数相关的不等式.其次,通过实例和应用定积分的可加性、单调性和极限的夹逼定理获得该特定型含参量定积分的极限值.     

对求解∫R（x~n,（a~2-x~2）~（1/2））dx,∫R（x~n,（a~2＋x~2）~（1/2））dx型不定积分方法的思考

不定积分的计算是数学分析的一个重要方面,同时也是大学数学的一个重要方面。不定积分的计算方法很多,常用的积分方法有分解法,换元法,分部积分法;对某些无理函数的积分的求解通常使用换元法。初学者对形如含a2-x2,a2＋x2,x2-a2因式的积分经常按教材的总结一律用三角代换来计算,其实针对不同的题型可采取不同的方法从而简化积分运算,针对如何求以下两类∫R（xn,a2-x2）dx∫,R（xn,a2＋x2）dx积分总结归纳出一些规律。     

对积分∫0+∞(sinx/x)dx的深入研究——兼论对偶与非对偶法则之比较

对积分Ι=∫0 ∞(sinx/x)dx=π/2 (1)的计算方法进行深入研究,从多种渠道得出这一结果,值得注意的是本文应用了Fourier积分变换的对偶性质,巧妙而不失优美地给出了一个新方法,同时还得到一个新的收敛积分:∫ ∞ 0(sinx/x)2dx=π/2.(2)     

关于不定积分∫f(x,(x~2-a~2)~(1/2))dx的一点诠释

不定积分∫f(x,(x~2-a~2)~(1/2))dx的不同表达形式来自于不同的积分变换。按习惯,我们严格地给出了此类积分所需变换的逆,得到有利于整理积分表达式的三个等式,同时,用两个实例给出了所论积分的合理表示式。     

关于等式∫abf（x）dx＝∫abf（a＋b－x）dx的推广与运用

由等式∫a b f（x）dx ＝∫a b f（a ＋b －x）dx 的特征与功能,变换定积分的上、下限,并进行特殊推广与一般推广,得到一些新结论,可为有关恒等式的证明及一些定积分的计算提供便捷的途径。