微分学研究中两种对立的方法论——学习马克思《数学手稿》的一点体会

在如何认识微积分这个问题上,始终存在着两种对立的思想斗争。旧高等数学教材没有很好反映微积分中对立统一的矛盾运动,有些观点是形而上学的。毛主席教导说:“教育要革命。”为了积极开展微积分学领域中的两种思想斗争,批判唯心论和形而上学,坚持唯物论和辩证法,我最近学习了马克思、恩格斯关系微积分学的一些论述,受到了很大的启发。 下面谈三个问题。     

谈微分的两重性

微积分产生于十七世纪下半叶,三百多年来,由于数学家们受唯心论和形而上学世界观的束缚,微积分学中某些基本概念长期得不到辩证的解释,造成了思想混乱,“已经达到的成果和传统的思维方式之间的这个冲突”一直未能解决.伟大革命导师马克思,由于制定政治经济学原理,写作《资本论》的需要,于十九世纪六十年代开始研究微积分.到八十年代初,前后写下了内容极其丰富的《数学手稿》.马克思在《数学手稿》中,用辩证唯物主义和历史唯物主义的科学方法,剖析了微分学的历史发展过程,推导和论证了微积分学中一些最基本的概念,使它们第一次得到了完全辩证的解释.马克思的《数学手     

略谈数列极限的教学

<正> 微积分学是以函数为研究对象的。极限是微积分学的一个重要基础概念和一种基本的数学方法,微积分学的其他许多基本概念都要通过极限概念来描述,微积分学的一些重要运算,也要用极限运算来表达。因此,正确理解和掌握极限概念是学好微积分学的前提和关键。然而极限概念又素来是微积分学教学的一个难点,     

笛卡尔的“Mathesis Universalis”思想的译名归属

"Mathesis Universalis"是笛卡尔哲学体系中一个重要概念,但由于在原著中占据篇幅不大,所以未受到应有的重视,它的译名问题也一直未有定论。有学者认为"Mathesis Universalis"与形而上学沉思的关联问题是研究该问题的一个突破口,"Mathesis Universalis"思想具有形而上学的倾向,所以应该译为"普遍科学",而不是译为"普遍数学"。但笔者持相反观点,认为将"Mathesis Universalis"翻译为"普遍数学"没有狭隘了其含义,思想本身的形而上学的倾向也没有就此薄弱,相反仅仅翻译为"普遍科学"似乎忽略了其与数学的关系。     

几个重要的概念的正反叙述及应用

在微积分学中,经常会遇到一些重要概念的定义,如极限的定义,函数在一个集合上的一致连定续性的义,级数或广义积分的一致收敛性定义等,为了更好地掌握这些概念以及更好地利用这些概念去得到一些新的结果、新的命题,往往需要从反面来了解这些概念,还样才能对这些概念有更深入的理解。本文就在这一方面作一些介绍。     

用运动的矛盾观点认识微分

微分——这是高等数学基本概念之一。微分与积分是一对矛盾,正象数学中加法与减法是对立统一一样,微分运算与积分运算是高等数学的两种互逆的运算。把微分的基本计算公式反过来,就得出积分的基本计算公式。所以,微分法是整个高等数学计算方法的基础,而正确认识微分概念是正确认识微积分学的重要问题。正因为这样,微分概念一出现就引起人们极大的注意,一直到现在还是数学工作者争论的重要问题之一。对于微分这个概念,资产阶级的学者们曾作过种种的解释,由于他们的形而上学宇宙观的束缚,他们不但不能正确认识它的本质,相反却把它搞得神秘莫测。到了十九世纪末,马克思和恩格斯把唯物辩证法运用于高等数学,对导数和微分概念及其本质作出正确的、精辟的分析,才彻底清除了微分概念的神秘性和思想     

简评微分学的历史发展过程——学习马克思《数学手稿》的体会之二

从微积分学产生,直至马克思、恩格斯以前的二百多年间,在各种科学和技术领域里,微积分的方法已得到极为广泛的应用;微积分的理论也处在不断发展和完善的过程中,但微分演算的本质一直没有得到阐明。受唯心论、形而上学束缚的数学家们,不能用辩证唯物主义的观点来观察和处理问题,致使微分学在理论上一片混乱。马克思从无产阶级革命斗争的需要出发,十分注意研究自然科学。对微分学又有“独到的发现”(在马克思墓前的讲     

微积分学中的哲学思想

从哲学的观点出发,分析导数概念中的量变和与质变,微分与积分的辨证关系,指出了微积分学中的美学价值,探析了微积分学中的哲学文化内涵,以培养学生的科学人文精神.     

微分是零与非零的矛盾统一——兼批微分的线性主部定义

微分是微积分中的一个基本概念,它是导数的另一种表示形式,是从研究机械运动规律产生的,所以,它同导数一样,是一个充满着矛盾的概念.本文试谈对微分本质的认识,并说明微分的线性主部定义是形而上学的.(一)对微分的认识马克思用辩证唯物主义的观点,剖析了微分学的发展过程,说明了初等代数学要向微积分学发展的必然趋势.马克思说:“y的微分是代数发展的终点;它成了在自己领土上     

二元函数极限求解的方法和策略

函数极限概念与函数极限求法是近代微积分学的基础,文章对二元函数极限定义和它们的求解方法进行了归纳和总结,并在某些具体的求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明,以便于我们了解函数的各种极限以及对各类函数极限计算方法。函数极限的求法有很多,每种方法都有其优缺点,对某个具体的求极限问题,我们可以根据它的类型选择最优的方法。     

浅析由卷积微积分性质所得推论的应用条件

卷积积分是计算连续时间系统零状态响应的数学工具．指出在利用由卷积微分性质和积分性质所得推论简化求解卷积运算时,参与卷积的两个函数都要受到条件限制．通过理论分析并用实例论证了由卷积微分性质和积分性质所得推论的局限性,进一步推导证明：该推论的应用条件是参与卷积的两函数都应在-∞处收敛．还利用理论分析结果对一个具体的连续时间系统进行了分析．     

极坐标系下二重积分计算方法浅析

讨论高职数学教学中二重积分计算方法,有利于高职学生解决学习中的难点,学好高等数学这门学科。二重积分的计算,是在熟悉定积分计算的基础上,将二重积分化为两次定积分来计算。对二重积分化为两次定积分,重点应放在配置积分限,然后是计算定积分的问题。     

李善兰微积分思想研究

基于李善兰传统数学著作和成果的研究,发现李善兰也在微积分理论方面,在数学思想上与近代西方微积分理论是保持一致的。李善兰得到了一些关于积分的数学表达式,这些数学公式与近代西方微积分中的公式是一致的,但是没有形成统一的理论。虽然如此,但是这一理论对晚清数学的应用和发展都起到了重要的作用,对近代西方微积分理论传入我国并且得以接受和传播都起了一定的作用。     

一种分数阶线性系统求解方法

针对在实际情况中应用越来越广泛的分数阶微积分系统,首先介绍了分数阶微积分定义及其基本性质.由于分数阶系统的特征方程一般说来不是真正的多项式,它是一个具有复变量的分数阶指数的伪多项式,可以将其近似化成高阶的整数阶系统,然后运用整数阶系统的控制方法去研究、分析.最后提出了一种基于分数阶微积分定义分析分数阶线性系统的方法,并用具体实例验证了该方法的有效性.     

方框在微积分教学中的运用

微积分是高等教育中非常重要的一门平台基础课,其教学质量的提高具有重要意义。本文通过教学的亲身体会总结了方框在微积分教学中的运用。运用方框法能快速学好微积分中的极限、导数等知识点,同时运用方框方法可以快速解决微积分中积分方法—凑微分法。运用方框方法可以让数学基础薄弱的同学快速掌握微积分的内容。     

一类三重积分的新算法

主要讨论有关某一类的三重积分的计算问题。积分是微积分学与数学分析里的一个非常重要的核心概念,积分的运算方法也因此一直被不断的总结与研究。随着积分变量的增加,重积分就变的更加难以计算。三重积分的计算问题更一直被很多人所关注,一般情况下是把三重积分化为三次定积分来计算。近年来,出现了一些新的方法和手段去解决三重积分的计算问题,这里提出一种结合《概率论与数理统计》的相关内容,根据服从[0-1]区间上均匀分布的顺序统计量的有关知识,利用顺序统计量的数学期望以及条件数学期望,直接把三重积分的计算变为一重积分的计算方法,进而达到简化计算三重积分的目的。     

关于积分中值定理"中值点"位置的估计

根据某些函数的特性,利用泰勒公式和微分中值定理对积分中值定理中“中值点”在区间(a,b)内的位置进行了讨论,得到了一种非常实用有效的近似估计方法,改善了已有方法估计的精度．     

分数阶粘弹性积分本构模型

以整数阶微积分和Boltzmann迭加原理分析粘弹性积分模型的方法,引进Jumarier微积分定义和Riemann - Liouville微积分定义,建立蠕变积分本构模型和松弛本构模型,从而补充只有分数阶导数描述粘弹性理论而没有分数阶积分描述粘弹性的理论,使得分数阶微积分描述粘弹性的理论更加全面.     

关于定积分换元法的教学思考

通过对现行高等数学教材中定积分换元法的不同表述的分析,认为有些表述对替换函数的限制条件过于严格,并以例题加以说明之.结论是同济大学《高等数学》第4版中定积分换元法的叙述在教学上是恰当的.     

对称性在定积分中的应用

归纳总结了对称性在计算定积分中的妙用，使一些较复杂的计算变得简单，并对对称性不明确的怎样通过构造对称性化简积分问题作了研究。