具抛物线不变集的二次系统至多有一个极限环

本文证明以抛物线为不变集的平面二次系统至多存在一个极限环。从而证明了具有以二次代数曲线为不变集的平面二次系统至多存在一个极限环。再结合文献[1],彻底解决了系统(1)的极限环的分支问题。以二次代数曲线为不变集的平面二次系统,其极限环的存在性、不存在性及唯一性等问题已有了大量的结果。当二次曲线为椭圆,一条直线,二条(相交,平行或重合)直线,双曲线这四     

一类代数极限环个数的上界

对平面多项式系统,如果一极限环又是代数解的实闭分支,则称此极限环为代数极限环。这类极限环的个数问题迄今未有人研究过。本文应用代数几何的知识得到了下述初步结果: 定理对非退化的m次平面多项式系统,对应于只以通常二重点和尖点为其非光滑     

E_n的焦点量与一类Poincaré分枝

本文对含小参数ε的实平面n次系统■证明了同心圆的Poincaré分枝完全由焦点量决定,且由此产生的极限环的最大个数为M(n)——E_n细焦点的最高重次。本文还对E_2(ε)及缺二次项的三次系统E_3~((3))(ε)依次给出了由上述分枝产生3个及5个极限环的实例。     

两个关于Liénard方程极限环存在性定理

则(1)式或(1＇)式在(x,y)平面上至少存在一个极限环。 定理2 设ⅰ) 满足定理1的条件ⅰ)和ⅱ);     

一类平面E3的极限环

当p=q=r=s=0时,(1)式为文献[1]的二次微分系统的I类方程,并已证明:对于任意的a,l,n,I类方程至多有一个极限环;当l=m=n=0时,(1)式为文献[2]研究的平面三次系统,并利用二次型理论,Poincare-Bendixson定理,Levinson-Smith定理得出一系列结论.本文在更大的参数范围内得到(1)式存在极限环的充分条件.作地形系.当n~2 4s<0时,(3)式是一族包围原点的闭曲线;当n~2 4s≥0时,(3)式以P为分界线,当C>φ(k)时,λ(x,y)=c是一条围绕原点且包含Γ于其内部的闭曲线,当C<φ(k)时,λ(x.y)=c是由两个互不相交(可能重合)闭分枝组成,分别位于Γ内部.借助Poincar(?)-Bendixso定理和无穷远的方     

以抛物线为特殊积分的二次系统的极限环

平面二次系统(E_2)以二次代数曲线(包括退化情形)为一条积分曲线时的极限环问题,已有不少人进行了研究。主要结果为:当二次曲线为椭圆、一条直线、二条直线(相交、平行或重合)、双曲线这四种情形之一时,分别证明了极限环的存在性、唯一性和不存在性。本文研究剩下的一种情形,即系统(E_2)以抛物线为一条积分曲线时极限环的存在性问题。先给     

非线性定常系统极限环的存在与唯一性

1.设a,l、m、n、b为实数,对于非线性定常系统 dx/dt=ax-y+lx~2+mxy+ny~2 dy/dt=x+bxy (1) 得到定理1 若a=0,且l-b=0或m~2-4n(n+b)≥0,则系统(1)在整个平面上不可能有极限环。定理2 当真a≠0,但l=0或l-b=0时,系统(1)可分别在两奇点O(0,0)、N(0,1/n)外围出现极限环,但不能同时存在,如存在必唯一。定理3 若n=0或n+b=0成立,则当a≠0时,系统(1)可存在包含原点O的极限环,但最多一个。     

n=3的Hilbert第十六问题:H(3)≥11

用H(n)记平面n次多项式微分系统的极限环最大个数。用C_(?)~k表示套在一起的一串k个包含重数和为m的多个奇点的极限环,用“ ”号分开同一串极限环内包含的包住不同奇点的极限环,并简记C_(?)~k C_(?)~k=2C_(?)~k等。例,是指一个包围九个奇点的极限环大圈包住两串包围三个奇     

具有二次代数曲线解的二次系统

具有直线解的二次系统,极限环的个数问题已经研究清楚。本文进而研究具有二次代数曲线解的二次系统极限环的个数问题,得到的结果是:除椭圆可以是极限环以外,无其它极限环,从而否定了在文献[1]中得出具有双曲线或抛物线解的二次系统可以出现极限环的结论。     

“旋转向量场和一类平面二次系统极限环大范围性态”一文的注记

Perko在他的“旋转向量场和一类平面二次系统极限环大范围性态”一文中[见J.Diff.Equs, 18(1975), 63-86],研究了半完全族的性质。     

平面三次微分系统多重Hopf分枝的环性:M(3)≥7

近年来,英国数学家M.G.Lloyd等三人,中国奥地利访问学者D.M.Wang和刘一戎等先后给出不同的例子证明,平面三次多项式微分系统至少存在六个小振幅极限环,即由原点产生的多重Hopf分支的环性(Bautin意义下)值M(3)≥6。 我们研究具有中心型奇点的N次多项式系统的一次非线性unfolding系统(n>     

关于Ⅱ置类方程极限环的集中分布问题

本刊1981年第20期研究通讯专栏中“一类二次系统极限环的集中分布”一文对Ⅱ类方程极限环的集中分布给出三组条件 ⅰ),ⅱ),ⅲ)(这里我们把对应于方程系数的区域记为A,B,C),当方程的系数均不满足三组条件时,该文仅给出两个焦点同时存在极限环的例子。由此就断定“这类二次系统极     

“以抛物线为特殊积分的二次系统的极限环”一文的注记

文献[1]研究了二次系统具有抛物线解时极限环的存在性问题,把所有有可能存在极限环时的此类系统分为以下两种形式(本文均按照原文记号),即     

一类二次系统极限环的分布

陈兰荪、王明淑解决了二次系统的Ⅱ类方程在δ=0时的极限环集中分布问题。我们解决了这类方程在δ≠0时的极限环集中分布问题。因此这一类二次系统极限环集中分布问题就完全被解决了。     

具有中心二次曲线解的Kolmogorov型三次系统的极限环

平面n次微分系统(E)_n具有二次代数积分曲线时的极限环问题,已有不少的研究成果,如文献[1—7]。在生态学等生物数学领域中描述两物种相互作用的数学模型常是具有二条直线解的一类n次微分系统(?)_n,称之为Kolmogorov模型:     

二次系统（Ⅲ）m=0极限环的唯一性

文献[1]§20研究了二次系统极限环(2,2)分布的不可能性,其中p.553脚注1)猜想:二次系统(Ⅲ)m=0 在条件 下,当1 ax=y交椭圆     

对无环性的一个注解

众所周知,对下述非线性微分方程(?)=y—F(x),(?)=—g(x) (1)的研究是常微分方程定性理论的一个重要方面,对方程(1)的极限环的存在性、唯一性及唯三性筹已有非常丰富的结果,而对极限环的不存在性,许多结果是利用下面定理来得到的:     

Филиппов定理的改进

关于Liénard方程(1)或其等价方程组:(1′)的极限环的存在性问题,一般认为以定理的结果为最好,最有代表性,本文证明定理中的某些条件是多余的,     

二次系统(Ⅲ)_(δ=-m)的极限环之唯一性问题

考虑二次系统(川)。二一一一y+占x(y一1)+l扩+n夕,夕~x(1+ax+by),(l)·X心f‘t其中0<,<1.不失一般性,取b一一1.注意到y~l为无切直线.令二~xl(l一yl),y~y:,dt~(l一y:)dt,,并仍以x、y、r记之,系统(1)化为分一一y+。y,+(l一y),[一占x+(l+1)犷+ax31-夕一(l一y),x(l+ax).(2) 定理1当a占(21一l))o时,系统(1)无环. 证取Dulae函数丑(,)~(1一y),‘一‘,对系统(z), (BpZ)二+(BQZ),一(1一y),‘+‘[一舀+a(l一21)x2],定理即可得证.1一zV不妨取.为研究系统(l)的极限环,仅需考虑“>0.不妨取a。,8>。,可作变换劣l~一苦,t:~一t.从而,不失一…     

关于Hanusse定理的完整化

在蓬勃发展着的非平衡态统计热力学理论,及其在生物学、化学等领域的应用中,体系稳定化的极限环性质的研究,占据着一个重要的位置.1972年,P.Hanusse对空间均匀体系证明了下述定理:“如果反应阶段只是单分子和双分子的,在包含两个可变中间产物的反应序列中,不可能有包围不稳定结点或焦点的极限环.”