圆锥曲线的切线的统一几何作图法

圆锥曲线的切线作图早已解决,且方法也很多。1979年第5期《数学通报》上《圆锥曲线的切线的几何作图法》一文中,分别介绍了抛物线、椭圆、双曲线的切线作法,但方法较繁,记忆困难,实用也不方便。笔者根据圆锥曲线的共性,由圆锥曲线的光学性质得到它们切线的统一作法。由于方法更为简便,因此易于记忆,实用方便。今介绍如下,以供参考。 我们知道,在解析几何中谈到圆锥曲线的切、法线性质:圆锥曲线上任一点的切线及法线,分别为这点与两焦点所联两直线所构成的内、外角的平分线。(抛物线的另一焦点可理解为对称轴上的无穷远点。)     

圆锥曲线中的平分弦性质

讨论了过坐标平面内任意一点作双曲线的切线的几种情况;得出了双曲线、椭圆、抛物线中平分弦的一组性质.     

由双曲线的渐近线、切线求双曲线的方程

双曲线有一条几何性质中谈到,双曲线夹在渐近线内,逐渐接近于它而不与它相交。中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y=±(b/a)x,而中心在原点,焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是y=±(a/b)x,这条性质不难理解,但在应用,比如在解由双曲(?)的渐近线、切线求双曲线方程这类问题时,往往出现错误。本文就这类问题进行讨论研究,试提出解此类问题的方法.先看一个具体的例题:双曲线的渐近线方程是y=±2x,它的一条切线方程是x y-1=0,试求此双曲线的方程。不少学生是这样解的:     

广义圆锥倒角V型柔性铰链设计与分析

设计了一种新型的广义圆锥倒角V型柔性铰链,铰链切口由圆锥曲线及其切线构成,铰链具体类型包括抛物线倒角V型、椭圆倒角V型、双曲线倒角V型、抛物线型、椭圆弧型、双曲线型和直梁型.以极角θ作为变量推导此类柔性铰链的柔度方程.通过有限元分析和实验研究验证了理论模型的正确性和有效性.分析了设计参数对柔性铰链柔度的影响规律,结果表...     

圆锥曲线的三种表示和有心力问题

对有心力问题给出了一个简捷的讨论,揭示了圆锥曲线(椭圆、抛物线和双曲线)的第三种表示———(r,β)表示的意义.     

"黄金椭圆"的几个有趣性质

在研读了双鹂先生的论文《有趣的“黄金双曲线”》的基础上,对“黄金椭圆”的性质做了一些探讨,旨在使这类特殊的圆锥曲线的性质研究更加完备.     

例谈"解析法"简化运算的解题策略

例 1　如图 ,已知梯形 ABCD中 | AB| =2 | CD| ,点 E分有向线段AC所成的比为 λ,双曲线过 C、D、E三点 ,且以 A、B为焦点 ,当 23≤ λ≤34时 ,求双曲线的离心率 e的取值范围。 ( 2 0 0 0年全国高考第 2 2题 )。解 :以 AB所在直线为 X 轴 ,AB的中垂线为 Y 轴建立坐标系Xo Y,不妨令 (不失一般性 ) | CD| =2 ,则 A、B、C、D、E的坐标分别为 A( - 2 ,0 )、B( 2 ,0 )、C( 1 ,h)、D( - 1 ,h)、E( x0 ,y0 ) ,双曲线方程为　　　　　　　　　x2b2 - y2b2 =1(其中 a2 + b2 =4,c=2 ,a>0 ,b>0 ,e=2a)即 b2 x2 - a2 y2 - a2 b2 =…     

两条圆锥曲线相交的判定

直线和圆锥曲线相交的充要条件是由直线方程和圆锥曲线方程导出的一元二次方程的判别式△＞0，但若仅用△＞0来判定两条圆锥曲线相交则是错误的．例1已知椭圆与抛物线y2＝6（y-3/2），当m取什么数值时，椭圆与抛物线有交点？并指明交点个数及位置关系．误解：将y2=6（x-3/2）代入椭圆方程，整理得当△≥0时，两曲线有交点，解-32m＋128≥0得m≤4．当m≤4时，椭圆与抛物线有交点．剖析：上面的解答是错误的．举一个反例，当m＝4时，椭圆是显然它与抛物线y2＝6（x-3/2）无交点．不能用判别式的值来判定两条圆锥曲线是否相交的根本原因在于，圆…     

圆锥曲线的角度逼近插补方法研究

根据角度逼近法圆弧插补原理，提出了椭圆弧、双曲线、抛物线（统称圆锥曲线）的角度逼近数控插补法，通过数学方法分别导出椭圆弧、双曲线、抛物线的插补递推公式，得到了简便的插补运算算法及程序，为数控机床提供了加工圆锥曲线的方法，并拓宽了CNC系统的插补功能。     

圆锥曲线离心率的一个公式

我们知道 ,圆锥曲线可由平面与圆锥相截而得 ,当平面与圆锥轴线的交角 (0≤ ≤ π2 )小于圆锥半顶角 α(0 <α<π2 )时 ,曲线为双曲线 ;当 =α时 ,曲线为抛物线 ;当 >α时 ,曲线为椭圆 ( =π2 时为圆 )。由此可见 ,曲线的形状由 和 α的大小所决定 ,因而 ,它的离心率 e也由 和α的值所确定。那么 e、 、 α之间有怎样的关系式呢 ?答案如下 :　　　　 e=cos cosα　　　　　　 (*)我们用解析几何的知识来证明 (*)式 ,在直角坐标系 O-xyz,取原点 O为圆锥的顶点 ,取 Z轴为圆锥的轴线 ,设平面过点 (0 ,0 ,C)且平行 x轴 ,则圆锥面与平面…     

最终范数连续半群的扰动

主要给出了一个在Hilbert空间中最终范数连续半群的扰动定理.设T(t)为Hilbert空间H上的C0半群,当t>t0≥0时按范数连续,A为其无穷小生成元.又设B是A相对有界的,D(A)D(B),T(t)B BT(t),且存在δ>0使得K0< ∞.这里Kλ=sup∫0δe-λt‖BT(t)x‖dt x∈D(A),‖x‖≤1,(λ≥0).则当2ε<1/limKλ时,A εB生成半群TB(t)且TB(t)当t>2t0时按范数连续.     

拟对角扩张C*-代数的性质

0→J→A→B→0是一个拟对角扩张.证明以下结论:(1)如果J和B具有弱可比性质,则A也具有弱可比性质;(2)如果J和B具有强消去性质,则A也具有强消去性质;(3)如果J和B具有n-无孔性质,则A也具有n-无孔性质.     

曲线ρ=ep/(1-ecosθ)的焦点弦

在以圆锥曲线的焦点(椭圆为左焦点,双曲线为右焦点)为极点,由焦点向相应准线所作垂线的反向延长线为极轴的广义极坐标系里,方程     

三角形外接椭圆的面积极值问题

利用数学分析的知识研究了以下问题：任意给定一个三角形A0B0C0,在它的外接椭圆中,面积最小的是哪一个,其面积为多少？本研究利用牛顿法求出了这个问题的数值解．     

以点带面学椭圆 快乐轻松做解析

圆锥曲线在高考中的地位不言而喻的.研究圆锥曲线,无外乎抓住其方程和曲线两大特征.它的方程形式具有代数的特性,而它的图像具有典型的几何特性,因此,它是代数与几何的完美结合.椭圆是解析几何中的主干知识,在高考中具有重要地位。椭圆的定义是建立椭圆的标准方程和研究椭圆的几何性质的基础,     

浅议FANUC 0i数控系统车削圆锥曲线零件的编程方法

在数控车削加工中,圆锥曲线类零件(包括椭圆、抛物线、双曲线,圆除外)是较难加工的。对在数控车削中遇到的加工圆锥曲线类零件的编程方法作了较全面的举例、总结及优化,使三种曲线的编程更加简单,加工更加方便。     

论FANUC0i数控系统车削圆锥曲线(双曲线)零件的用户宏程序编程应用

在数控车削加工中,圆锥曲线类零件(包括椭圆、抛物线、双曲线、圆除外)是较难加工的,一般的手工编程无法实现,利用数控系统提供的用户宏程序功能,可以很好的解决。本文对在数控车削中遇到的各类圆锥曲线类零件的宏程序编程做了较全面的举例和总结。并且将椭圆、抛物线、双曲线三种曲线的加工坐标公式全部统一在参数方程下,将三种曲线宏程序的编程思路也做了统一,使三种曲线的宏程序编程更加简便。     

论FANUC 0i数控系统车削圆锥曲线(椭圆曲线)零件的用户宏程序编程应用

在数控车削加工中,圆锥曲线类零件(包括椭圆、抛物线、双曲线,圆除外)是较难加工的,一般的手工编程无法实现,利用数控系统提供的用户宏程序功能,可以很好地解决。本文对在数控车削中遇到的各类圆锥曲线类零件的宏程序编程做了较全面的举例和总结。并且将椭圆、抛物线、双曲线三种曲线的加工坐标公式全部统一在参数方程下,将三种曲线宏程序的编程思路也做了统一,使三种曲线的宏程序编程更加简便。     

巧用圆锥曲线定义解题

圆锥曲线的定义看似简单,但若能巧用它,对我们的解题还是大有帮助的。 大家知道,平面内与两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆;平面内与两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线;这是椭圆、双曲线的第一种定义。根据椭圆、双曲线的这种定义,我们在解题时若遇到有动点到两定点的距离之和或之差的问题,应注意利用定义来帮助解题。如下例:     

物体作圆锥曲线运动的时间计算

在比耐公式的基础上导出了物体在受到与距离平方成反比的有心力作用下的轨道方程.系统阐述了物体作圆锥曲线运动的时间计算问题,并给出了物体作圆、椭圆、抛物线、双曲线运动的时间计算公式.对于双曲线的情况,同时给出了引力和斥力作用下的时间计算公式.